Grundlagen der Analysis

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1 Grudlge der Alysis Witersemester 208/9 5. Februr 209 Die Vorlesug orietiert sic i Ilt ud Nottio m Buc Alysis : Differetil- ud Itegrlrecug eier Veräderlice vo Otto Forster, ds uf der Vorlesugsseite verlikt ist. Dieses Dokumet etält die Auswl der Defiitioe ud Sätze, die i der Vorlesug bedelt werde. Es ist ict ls vollstädiges Vorlesugsskript zu verstee, soder ls Verzeicis des relevte Stoffes. Für Erkläruge der Defiitioe ud Sätze sei uf die Vorlesug oder ds Buc verwiese. Iltsverzeicis Ntürlice Zle ud vollstädige Iduktio 2 2 Die reelle Zle 3 2. Körperxiome Aordugsxiome Absoluter Betrg Arcimedisces Axiom Vollstädlickeit 5 3. Itervllsccteluge Dezimlbrucetwicklug Folge ud Grezwerte 7 4. Eiige Receregel Bescräkteit Divergez Uedlice Reie 9 5. Receregel Absolute Kovergez Kovergezkriterie Fuktioe ud Stetigkeit 2 6. Expoetilfuktio Grezwerte vo Fuktioe Stetigkeit Zwiscewertstz Mootoie ud Umkerfuktio Logritmus Allgemeie Poteze

2 7 Komplexe Zle 9 7. Defiitio durc Hizume der Wurzel us Kojugtio ud Betrg Komplexe Zleebee Komplexe Nullstelle vo Polyome Kovergez im Komplexe Komplexe Expoetilfuktio ud trigoometrisce Fuktioe Trigoometrisce Fuktioe ud ire Umkerfuktioe Polrkoordite Komplexe Poteze Differetitio Defiitio ud Beispiele Differetitiosregel Komplexe Fuktioe Lokle Extrem Mittelwertstz Mootoie Regel vo l Hospitl Potezreie ud Tylorpproximtio 3 9. Potezreie Tylorreie Itegrtio Itegrtiosregel Prtielle Itegrtio Awedug: Itegrle ud Kovergez vo Reie Ntürlice Zle ud vollstädige Iduktio Wir screibe N für die Mege der türlice Zle, d.. N = {0,, 2,... }. I Beweise verwede wir ds Prizip der vollstädige Iduktio: Um zu zeige, dss eie Aussge A() für jede türlice Zl N gilt, geügt es die folgede beide Aussge zu zeige:. (Iduktiosfg): A(0) gilt. 2. (Iduktiosscritt): Für eie beliebige Zl N gilt: We A() gilt, d uc A( + ). Beispiel.. Wir zeige die Gleicug i= i = (+) 2 für lle N. Wir zeige die Aussge durc Iduktio über, d.. die Aussge A() ist i= i = (+) 2. Iduktiosfg: Die zu zeigede Aussge A(0) ist 0 der Summe gilt. i= i = 0, die direkt c Defiitio Iduktiosscritt: Sei N eie beliebige Zl. Wir dürfe A() eme ud müsse A( + ) zeige. Ageomme A() gilt, d.. i= i = (+) 2. Wir müsse + i= i = (+2)(+) 2 zeige. Es gilt + i= i = ( i= i) + + c Defiitio. Nc Ame ist letzteres gleic (+) Durc Ausrece erält m (+) 2 ++ = (+) = (+2)(+) 2, lso isgesmt die zu zeigede Eigescft. Defiitio.2 (Fkultät). Für N ist! (die Fkultät vo ) defiiert durc! =. Geuer: 0! = ud ( + )! =!( + ). 2

3 2 Die reelle Zle Wir defiiere die Mege der reelle Zle R ict direkt, soder crkterisiere sie durc Axiome. Es gibt drei Arte vo Axiome: Körperxiome (Gesetze der Grudrecerte) Aordugsxiome (Gesetze für <) Vollstädigkeitsxiom (Lückelosigkeit vo R) 2. Körperxiome Wir eme zuäcst, dss die reelle Zle über die Grudrecerte +,,, / verfüge ud dss es die Zle 0 R ud R gibt. Für zwei Zle x, y R ist lso uc x + y R usw. Die Eigescfte der Grudrecerte sid durc die eu Axiome eies Körpers gegebe. Ei Beispiel eies Axioms ist ds Distributivgesetz, welces (x + y)z = xz + yz für lle x, y, z R besgt. Wir gebe die restlice Körperxiome ier ict ud verweise uf die Vorlesug Liere Algebr für Iformtiker oder ds Buc. Es geügt, die vertrute Receregel für die Grudrecerte zu kee. Mit de Opertioe eies Körpers k jede türlice Zl N ls Elemet vo R verstde werde, vermöge + + ( Summde). Auc gzzlige Poteze köe defiiert werde. Für lle x R ud N ist die Potez x R defiiert durc x 0 = ud x + = x x. M screibt x für ( x ). Es gelte die Potezgesetze x x m = x +m, (x m ) = x m, x y = (xy), für lle x, y R ud m, N. Diese Gesetze k m durc Iduktio über beweise. Zle i Dezimlbrucdrstellug mit edlic viele Nckommstelle, wie zum Beispiel.32 köe ebeflls defiiert werde. Der Ausdruck z z 2... z k.z k+... z bezeicet die Zl +k z i 0 k i. Zum Beispiel ist.32 durc gegebe. 2.2 Aordugsxiome i= Weiteri eme wir, dss für jede reelle Zl bestimmt ist, ob diese positiv ist. Wir screibe x > 0 we x R positiv ist ud eme folgede Axiome. (A) Für jedes x R gilt etweder x > 0 oder x = 0 oder x > 0. (A2) We x > 0 ud y > 0 d x + y > 0. (A3) We x > 0 ud y > 0 d xy > 0. Wir defiiere x < y ud y > x ls Abkürzug für y x > 0. Wir screibe x y ud y x flls x > y oder x = y gilt. Der folgede Stz erfsst eiige ützlice Receregel für die Ordugsreltio. Stz 2.. Für lle x, y, R gilt:. We x < y d + x < + y. 2. We x < y ud > 0 d x < y. 3. We x < y ud < 0 d x > y. 3

4 4. We x 0 d x 2 > 0, isbesodere > We x > 0 d x > We 0 < x ud x < y d y > x. Beweis. Wir beweise ur eiige der Pukte. Pukt : Seie x, y, R ud sei x < y. Nc Defiitio etsprict ds y x > 0. Es gilt y x = (y ) (x ), d.. wir be (y ) (x ) > 0, lso uc x < y, c Defiitio. Pukt 4: Sei x R mit x 0. Nc (A) tritt geu eier der drei Fälle x > 0 oder x = 0 oder x > 0 ei. We x > 0 folgt die Aussge direkt us (A3). Der Fll x = 0 ist wege der Ame x 0 ict möglic. Im letze Fll gilt x > 0. Nc (A3) folgt d ( x)( x) > 0. Es gilt ber ( x)( x) = x 2, lso uc x 2 > 0. Pukt 5: Sei x R mit x > 0. Nc (A) muss x 0 gelte, lso existiert x R. Nc dem vorgeggee Stz gilt ( 2 ( x) > 0. Nc (A3) d uc x 2 x) > 0. Ds bedeutet ber x > 0. Stz 2.2 (Beroulli Ugleicug). Es gilt (x + ) + x für lle x > ud lle N. Der Beweis k durc Iduktio über erfolge. 2.3 Absoluter Betrg Für jedes x R defiiere wir x R durc { x, flls x > 0, x := x, sost. Nc Defiitio gilt x 0. Stz 2.3. Für lle x R gilt x x ud x x. Beweis. Wir betrcte die drei möglice Fälle für x c (A). We x > 0, d gilt x = x c Defiitio. Wir be d sofort x x. Für x x müsse wir x x zeige. Es geügt dfür x < x zu zeige. Dfür wiederum geügt es 0 < 2x zu zeige, ws us 0 < x ud 0 < 2 folgt. Der Fll für x < 0 folgt log. Der verbleibede Fll x = 0 ist trivil. Stz 2.4. Die folgede Aussge gelte für lle x, y R. Es gilt x = 0 geu d we x = 0. xy = x y x + y x + y (Dreiecksugleicug) Beweis. Wir zeige ur die Dreiecksugleicug. Nc (A) ist x + y etweder positiv, gleic ull oder egtiv. We x + y > 0, d gilt x + y = x + y c Defiitio ud wir müsse x + y x + y zeige. Ds folgt us x x ud y y (vorgeggeer Stz) mit (A2). Der Fll x + y < 0 folgt log. Im Fll x + y = 0 ist 0 x + y zu zeige, ws us 0 x ud 0 y folgt. Stz 2.5. Für lle x, x 0 R ud lle ε > 0 gilt: Es gilt x x 0 < ε geu d we x 0 ε < x < x 0 + ε. Beweis. Übug. 4

5 2.4 Arcimedisces Axiom Wir werde see, dss us dem oc felede Vollstädigkeitsxiom (ds wir später gebe) folgede Aussge folgt. Diese Aussge ist uc ls rcimedisces Axiom bekt. (Arc) Für lle x > 0 ud y > 0 gibt es N sodss x > y. Die folgede Aussge sid Kosequeze vo (Arc). Stz 2.6. Für lle ε > 0 gibt es N mit < ε. Beweis. Sei ε > 0. Setze x := ε ud y :=. Nc (Arc) existiert N mit y < x, lso < ε. Divisio durc (d.. Multipliktio mit ) liefert < ε. Stz 2.7. Für lle b mit b > ud lle K R existiert N mit b > K. Beweis. Sei b > ud K R. We K 0 d gilt die Aussge, weil lle Poteze vo b positiv sid, c (A3). Betrcte lso de Fll K >. Setze x := b. D gilt b = ( + x) + x c Defiitio ud Beroulli-Ugleicug. Nc (Arc) gibt es eie Zl, sodss x > K. Drus folgt + x > K. Zusmme ergibt ds b + x > K, ws zu zeige wr. Stz 2.8. Für lle c mit 0 < c < ud lle ε > 0 existiert N mit c < ε. Zum Beweis k m Stz 2.7 mit b := c ud K := ε verwede. 3 Vollstädlickeit Alle biser formulierte Axiome werde uc vo der Mege der rtiole Zle erfüllt. Wir bruce oc ei Vollstädigkeitsxiom, ds die Lückelosigkeit der reelle Zle bereitstellt. Defiitio 3.. Sei M eie Mege vo reelle Zle. Eie Zl eißt obere Scrke für M flls x für lle x M gilt. Eie Zl eißt Supremum für M flls die kleiste obere Scrke für M ist. Ds bedeutet:. ist eie obere Scrke für M. 2. Für jede obere Scrke b für M gilt b. Eie Mege M eißt c obe bescräkt, we sie eie obere Scrke t. (Vollstädigkeitsxiom) Jede ictleere ud c obe bescräkte Mege t ei Supremum. Beispiel 3.2. Sei M die Mege { + N}, d.. M = { 2, 2 3, 3 4,... }. Die Zl ist eie obere Scrke für M, d + für lle gilt. Die Zl ist sogr Supremum für M. Der Beweis erfolgt durc Widerspruc. Wir eme, dss es eie kleiere obere Scrke b < gibt ud leite drus eie Widerspruc er. We b eie obere Scrke ist, d muss + b für lle N gelte. Für b < k ds ber ict sei: Aus b < folgt 0 < b. Nc Stz 2.6 gibt es d N mit < b. Gleiczeitig gilt + = + <. Dmit be wir + < b. Drus folgt b < +, ws ber der Ame widersprict, dss + b für lle N gilt. Also muss die Ame, dss es eie kleiere obere Scrke ls gibt, flsc gewese sei. Die reelle Zle erfülle ds Vollstädigkeitsxiom, die rtiole ber ict. We m zum Beispiel de Umfg eies Kreises durc eigezeicete 4-Ecke, 8-Ecke, 6-Ecke usw. pproximiert, d ist die Mege ller solcer Approximtioe eie Mege vo rtiole Zle. Ds Supremum dieser Mege ist 2π, ws keie rtiole Zl ist. 5

6 Gzzliger Ateil. Für x > 0 defiiere wir: x := sup{ N x} Stz 3.3. Für lle x > 0 ist x N ud es gilt x x < x +. Beweis. Defiiere M ls die Mege ller gze Zle kleier-gleic x, d.. M = { N x}. D x die kleiste obere Scrke ist, ud d x kleier ls x ist, k x keie obere Scrke sei. Also gibt es m M mit m > x, d.. m + > x. D k ber m + ict i M sei, d x eie oberere Scrke ist. Somit gilt ict m + x. Wege (A) muss lso m + > x gelte. Wege m M gilt uc m x. Wir be lso gezeigt, dss die türlice Zl m die Eigescft m x < m + t. Ds eißt ber, dss M gleic {0,,..., m} ist. Die kleiste obere Scrke dieser Mege ist m N, lso m = x. 3. Itervllsccteluge Wir verwede folgede Nottio für Itervlle: [, b] = {x x b} [, b) = {x x < b} (, b] = {x < x b} Defiitio 3.4 (Itervllscctelug). Eie Itervllscctelug ist durc eie Folge vo Itervlle [, b ], [ 2, b 2 ],... gegebe (für jede türlice Zl ei Itervll [, b ]), die folgede Eigescfte be müsse:. < b für lle N. 2. Ds Itervll [ +, b + ] ist ect i [, b ] etlte, d.. es gilt + ud b + b ud eie dieser Ugleiceite ist ect, lso > + oder b + < b. 3. Für jedes ε > 0 gibt es ei N mit b < ε. Pukt sgt, dss lle Itervlle ictleer sid. Pukt 2 sgt, dss ds Itervll [ +, b + ] ect i [, b ] etlte ist. Pukt 3 sgt, dss die Itervlle beliebig klei werde. Stz 3.5. Für jede Itervllscctelug gibt es geu ei x R, ds i lle Itervlle etlte ist, d.. x [, b ] für lle N. Beweis. Setze x := sup{ N}. Nc Defiitio ls obere Scrke gilt x für lle N. Nu bemerke wir, dss wir für jedes folgede Ugleicuge be: 2 b... b 2 b Drus folgt, dss jedes b i eie obere Scrke für die Mege { N} ist. Nc Defiitio vo x ls kleiste obere Scrke folgt drus wiederum x b. Somit be wir x b für beliebiges, lso ist x i lle Itervlle etlte. Es bleibt oc zu zeige, dss x die eizige reelle Zl mit dieser Eigescft ist. Ageomme x R mit x x wäre uc i lle Itervlle. Setze ε = x x. Becte: ε > 0. Nc der dritte Eigescft der Itervllsccteluge gibt es ei N mit b < ε. D x ud x beide i [, b ] liege folgt x x b. Ds eißt d ber ε = x x b < ε. Ds ist ict möglic, lso muss usere Ame, dss es ebe x oc eie zweite Zl mit der Eigescft gibt, flsc gewese sei. 6

7 3.2 Dezimlbrucetwicklug Wir köe jetzt zeige, dss die üblice Drstellug reeller Zle i der Form z z 2... z k.z k+..., wobei jedes z i {0,,..., 9} ttsäclic eie eideutige reelle Zl defiiert. Die Folge defiiert eie Itervllscctelug. := z i 0 k i i= b := + 0 k Die drei Eigescfte der Itervllscctelug sid mit dieser Defiitio ict scwer zu beweise. Stz 3.5 zeigt lso, dss z z 2... z k.z k+... eie eideutige reelle Zl bestimmt. Beispiel 3.6. Für de Ausdruck.... ist die Itervllscctelug [, b ] = [, 2], [ 2, b 2 ] = [.,.2], [ 3, b 3 ] = [.,.2], [ 4, b 4 ] = [.,.2], usw. Beispiel 3.7. Für de Ausdruck ist die Itervllscctelug [, b ] = [, 2], [ 2, b 2 ] = [,.], [ 3, b 3 ] = [,.0], [ 4, b 4 ] = [,.00], usw. Die Zl ist i lle diese Itervlle etlte. Also gilt.0 =. Beispiel 3.8. Für de Ausdruck ist die Itervllscctelug [, b ] = [0, ], [ 2, b 2 ] = [0.9, ], [ 3, b 3 ] = [0.99, ], [ 4, b 4 ] = [0.999, ], usw. Becte, dss die Zl i lle diese Itervlle etlte ist. Also gilt 0.9 =. 4 Folge ud Grezwerte Eie Folge ( ) N ist gegebe durc eie reelle Zl für jede türlice Zl. Wir screibe uc ( 0,, 2,... ). Weiteri screibe wir ( ) k für die Folge ( k, k+, k+2,... ), d.. ( k+ ) N. Beispiele := defiiert die Folge ( ) = (, 2, 3,... ). := ( ) defiiert die Folge ( ) = (,,,,... ). := + defiiert die Folge ( ) = ( 2, 2 3, 3 4,... ). := 2 defiiert die Folge ( ) = ( 2, 2 4, 3 8, 4 6,... ). Defiitio 4. (Kovergez eier Folge). Eie Folge ( ) N kovergiert gege R flls es für jedes ε > 0 ei N N gibt, sodss < ε für lle > N gilt. Die reelle Zl eißt d Grezwert der Folge. M screibt lim für de Grezwert der Folge ( ) N, we dieser existiert. Beispiele lim = 0. Beweis: Sei ε > 0. Nc Stz 2.8 gibt es ei N N mit N < ε. D gilt sicer uc < ε für lle > N, ws die gewüscte Aussge zeigt. 7

8 lim ( ) t keie Grezwert. Ageomme wäre ei Grezwert. Für ei beliebiges ε > 0 müsste d < ε für lle ireiced große gelte. D die Folge immer bwecseld die Werte ud immt, bedeutet ds: < ε ud < ε. Mit der Dreiecksugleicug folgt drus ber 2 = = + 2ε, lso ε, ws für beliebiges ε > 0 sicer ict wr ist. Usere Ame, dss ei Grezwert der Folge ist, muss lso flsc gewese sei. lim + =. Dies beweist m log zum erste Pukt. lim 2 = 0. M zeigt zuäcst, dss 2 < für lle > 4 gilt. Dmit folgt d die Aussge. Im erste Pukt be wir gezeigt, dss es für jedes ε > 0 ei N N gibt, sodss mit < ε für lle > N. D existiert ber ei N N (ämlic zum Beispiel N := mx(n, 4)) sodss 2 < ε für lle > N gilt. < Stz 4.2. Jede Folge t öcstes eie Grezwert. Beweis. Ageomme ( ) N ätte zwei versciedee Grezwerte ud. Setze ε := 2. D ei Grezwert ist, gibt es c Defiitio ei N N, sodss < ε für lle > N. D ei Grezwert ist, gibt es c Defiitio ei N N, sodss < ε für lle > N. Für lle > mx(n, N ) gelte beide Ugleicuge. Durc Additio der beide Ugleicuge erlte wir + < 2ε. Mit der Dreiecksugleicug erlte wir = + ( ) + = + < 2ε = Ds eißt ber <, ws wege (A) ict möglic ist. Usere Ame, dss die Folge zwei versciedee Grezwerte t, muss lso flsc gewese sei. 4. Eiige Receregel Stz 4.3. Für lle kovergete Folge ( ) N ud (b ) N gilt: lim ( + b ) = (lim ) + (lim b ) lim ( b ) = (lim ) (lim b ) Beweis. Wir zeige de erste Fll. Sei lim = ud lim b = b. Zu zeige ist lim ( + b ) = + b. Sei ε > 0. Nc Ame existiere N N ud M N sodss < ε 2 ud b m b < ε 2 für lle > N ud lle m > M gilt. Wir be d + b ( + b) = + b b + b b < ε 2 + ε 2 = ε für lle > mx(n, M), womit lim ( + b ) = + b gezeigt ist. Stz 4.4. Für lle kovergete Folge ( ) N ud (b ) N gilt: We (lim b ) 0 d lim ( /b ) = (lim )/(lim b ). Becte: We (lim b ) 0, d muss es ei N N gebe, sodss b 0 für lle > N. Stz 4.5. Seie ( ) N ud (b ) N zwei kovergete Folge mit < b. D gilt (lim ) (lim b ). Becte: Uter de Ame des Stze gilt ict immer (lim ) < (lim b ). Die Aussge 2 < k äquivlet i 2 < 2 umgeformt werde. M zeigt durc Iduktio, dss diese Aussge für lle > 4 gilt. Für = 4 folgt die Aussge durc Ausrece. Für de Iduktiosscritt dürfe wir ebe > 4 oc 2 < 2 eme ud müsse ( + ) 2 < 2 + zeige. Dzu be wir ( + ) 2 = < = < = 2 2 < 2(2 ) =

9 4.2 Bescräkteit Defiitio 4.6 (Mootoie für Folge). Eie Folge ( ) N eißt mooto wcsed flls + für lle N gilt. Eie Folge ( ) N eißt streg mooto wcsed flls < + für lle N gilt. Defiitio 4.7 (Bescräkteit). Eie Folge ( ) N eißt c obe bescräkt flls die Mege { N} eie obere Scrke t. Stz 4.8. Jede kovergete Folge ( ) N ist c obe bescräkt. Beweis. Sei := lim (der Grezwert existiert c Ame). Nc Defiitio der Kovergez gibt es ei N N, sodss < für lle > N gilt. D gilt ber k mx{ 0,,..., N, + } für lle k N. Stz 4.9. Eie mooto wcsede, c obe bescräkte Folge ( ) N kovergiert gege := sup{ N}. Beweis. Für jedes ε > 0 gibt es N N, sodss 0 N < ε. Aderflls ätte wir ε für lle. D ieße ber, dss ε eie obere Scrke für { N} wäre, die kleier ls ist. Wege der Defiitio vo ls die kleiste obere Scrke ist ds ict möglic. Wege der Mootoie der Folge gilt d N für lle > N. Drus folgt d 0 N < ε. Dmit be wir gezeigt, dss für jedes ε > 0 ei N N existiert, sodss ε für lle > N. Ds eißt, lim =. 4.3 Divergez Defiitio 4.0. Eie Folge ( ) N divergiert bestimmt gege flls für jedes K R ei N N existiert, sodss > K für lle > N. Wir screibe d lim =. Defiitio 4.. Eie Folge ( ) N divergiert bestimmt gege flls für jedes K R ei N N existiert, sodss < K für lle > N. Wir screibe d lim =. Beispiele: Es gilt lim = ud lim 2 =. We eie Reie weder kovergiert oc bestimmt divergiert, sprece wir vo ubestimmter Divergez. 5 Uedlice Reie Mit dem Grezwertbegriff köe wir die Bedeutug vo uedlice Summe erkläre. Für eie Folge ( ) N betrcte wir die Prtilsumme: s 0 = 0 s = 0 + s 2 = Allgemei: s := k. Die Folge (s ) N der Summe eißt uedlice Reie. We diese Folge kovergiert, so screibe wir k für ire Gezwert. k := lim k 9

10 We der Grezwert ict existiert, d sge wir, dss die Reie k ict kovergiert. Die Defiitio der besimmte Divergez vom Grezwert der Prtilsumme uf die Reie. Etsprecede Defiitioe gelte, we die Summtio ict mit 0 soder mit m N begit.: k := lim k=m k k=m Mit de folgede Sätze gebe wir eiige Beispiele. Stz 5. (Uedlice geometrisce Reie). Für x R mit x < gilt Beweis. Es gilt k 0 (vgl. Stz 2.6). =0 x = xk+ =0 x = x. x (siee Übuge) sowie lim k x k+ x = x, d lim k x k+ = Der Stz erfsst lle Möglickeite für die Kovergez der uedlice geometrisce Reie. Für x gilt =0 x = (vgl. Stz 2.7). Für x < divergiert die uedlice geometrisce Reie ubestimmt. Stz 5.2. Es gilt k= k(k+) =. Beweis. M zeigt mit Iduktio k= k(k+) = Stz 5.3 (Uedlice rmoisce Reie). Die Reie k= k 5. Receregel + ud verwedet lim + =. kovergiert ict. Stz 5.4. Seie k ud b k kovergete Reie ud sei u R. D gelte die Gleicuge ( ) ( ) u k = u k, k + b k = ( k + b k ). Isbesodere sid die Reie uf de recte Seite der Gleicuge koverget. 5.2 Absolute Kovergez Defiitio 5.5. Eie Reie k kovergiert bsolut flls die Reie k kovergiert. Stz 5.6. Jede bsolut kovergete Reie ist uc koverget. Wir bemerke zuäcst, dss die Umkerug gilt ict, d.. dss es kovergete Reie gibt, die ict bsolut kovergiere. Zum Beispiel werde wir see, dss ( ) k+ k= k koverget ist. Wir be ber sco gesee, dss k= k ict kovergiert. Der Stz mct eie Aussge über die Existez eies Grezwerts, oe de Grezwert kokret zugebe. Biser be wir oc keie Tecike keegelert, mit dee m solce Aussge beweise k. Folgeder Stz ist dfür ützlic. Stz 5.7 (Cucy). Eie Folge ( ) N kovergiert geu d, we es für jedes ε > 0 ei N N gibt, sodss N < ε für lle > N gilt. Beweis vo Stz 5.6. Wir beutze Stz 5.7, um die Kovergez der Folge der Prtilsumme zu zeige. Sei ε > 0. Wir müsse N N fide, sodss N k k < ε für lle > N 0

11 gilt. D k kovergiert, liefert Stz 5.7 ei N, sodss N k k < ε für lle > N. Mit der Dreiecksugleicug erlte wir die gewüscte Ugleicug: N N k k = k k = k k < ε k=n+ k=n+ 5.3 Kovergezkriterie Mjortekriterium: Stz 5.8. Sei k= c k eie kovergete Reie. D kovergiert k= k bsolut, we k c k für lle k gilt. Beweis. Wir zeige, dss die Folge der Prtilsumme der Reie k= k mooto wcsed ud c obe bescräkt ist. Nc Stz 4.9 folgt drus die Kovergez der Folge der Prtilsumme ud dmit uc der Reie. Die Folge der Prtilsumme vo k= k ist sicer mooto wcsed, d die Summeglieder k lle ictegtiv sid. Mit der Ame k c k be wir m m k c k k= für lle m. Also ist k= c k eie obere Scrke für die Prtilsumme. Beispiel: k= k= Ds Mjortekriterium zeigt, dss die Reie Nc Stz 5.2 wisse wir bereits, dss 2 k= k(k+) k > 0, lso zeigt ds Mjortekriterium, dss k= k 2 c k bsolut kovergiert. kovergiert. Es gilt k 2 2 k(k+) bsolut kovergiert. k= k 2 für lle De Wert der Reie k m so ber ict bestimme, m weiss ur, dss es i gibt. Zur Iformtio: k= k = π Quotietekriterium: Stz 5.9. Die Reie k= k kovergiert bsolut, we es eie Zl 0 q < gibt, sodss (k+) k q für fst lle k gilt (d.. für lle bis uf edlic viele k). Beweis. Wir beutze ds Mjortekriterium mit der geometrisce Reie. Sei N N so gewält, dss (k+) / k q für lle k N gilt. Solc ei N existiert c Ame. D gilt k N q k für lle k > N. Diese Aussge zeigt m durc Iduktio. Der Iduktiosfg N+ N q N q N+ folgt direkt us q ud q q N+ (wege 0 < q < ). Für de Iduktiosscritt be wir: (N+) N k+ k q wege (k+) / k q N q k q = N q k+ c Iduktiosme Wir köe u ds Mjortekriterium wede. Die Reie k=n N q k kovergiert, d k=n N q k = N k=n qk gilt ud d die geometrisce Reie für 0 q < kovergiert. Mit k N q k für k > N zeigt ds Mjortekriterium, dss die Reie k=n k bsolut kovergiert. D kovergiert ber uc k= k bsolut, d öcstes oc edlic viele Summde izukomme.

12 Beispiele: Die Reie k= k! kovergiert bsolut. Hier gilt = k! (k + )! = k + 2, (k+)! k! lso köe wir ds Quotietekriterium mit q = 2 verwede. N.B.: Der Grezwert der Reie ist e = Die Reie k= xk k! kovergiert bsolut für lle x R. Hier gilt x k+ x k! = (k + )! = x k + 2 (k+)! x k k! für lle k N mit k > 2 x. D es ur edlic viele türlice Zle 2 x gibt, köe wir ds Quotietekriterium ebeflls mit q = 2 verwede. N.B.: Der Grezwert der Reie ist e x. Actug! Es geügt im Quotietekriterium ict k+ / k < zu zeige. Zum Beispiel kovergiert die rmoisce Reie k ict, ber für lle k gilt: Leibizsces Kriterium: k+ k = k k + < Stz 5.0. Sei ( k ) k eie Folge mit k 0 ud k k+ für lle k. Gilt weiteri lim k k = 0, so kovergiert die Reie Beispiel: Die Reie ( ) k k. k= ( ) k+ k= kovergiert c dem Leibiz-Kriterium (mit k = k ). Über de Grezwert mct ds Kriterium wie immer keie Aussge. Hier ist er l(2). Actug! Aus lim k k = 0 llei k m ict scließe, dss k kovergiert. Die rmoisce Reie ist ei Gegebeispiel. Es gibt oc eie Azl weiterer Kovergezkriterie (z.b. Cucy-Kriterium, Wurzelkriterium). Auc we keies der Kriterie wedbr ist, k es oc sei, dss eie Reie kovergiert. D muss m direkt mit der Grezwertdefiitio rbeite. 6 Fuktioe ud Stetigkeit Eie Fuktio f : R R ordet jeder Zl x R eie Zl f(x) R zu. Der Grp der Fuktio ist die Mege der Pre {(x, f(x)) x R}. Zeicet m de Grpe i ei x-y- Koorditesystem, so befidet sic über jedem x-wert geu ei y-wert (ämlic y = f(x)). k 2

13 Beispiele: Idetisce Fuktio id(x) = x. Betrgsfuktio bs(x) = x. Die floor-fuktio: f loor(x) = x. Qudrtfuktio sq(x) = x 2 ud llgemeier Polyome p(x) = k x k + k x k + + x + 0. Stückweise defiierte Fuktioe: x 2 flls x > 0, f(x) = 2 flls x = 0, x 2 sost. Fuktioe müsse ict gltt sei, z.b. { flls x rtiol (d.. x = m f(x) = für geeigete m, N), 0 sost. Es gibt uc Fuktioe, die ict für lle Argumete x R defiiert sid. Sid D ud W Teilmege vo R, so screibt m f : D W, we f jedem x D eie Wert y = f(x) i W zuordet. Die Mege D eißt Defiitiosbereic vo f ud W eißt Wertebereic. Beispiele: f(x) = x. Hier z.b. D = R \ {0} ud W = R \ {0}. f(x) = x. Hier z.b. D = {x R x 0}. Jede Folge ( ) N k ls Fuktio mit Defiitiosbereic N gesee werde, mittels f() =. I der Regel rürt ei Defiitiosbereic D R der, dss der Fuktiosterm ict sivoll ußerlb vo D defiiert werde k. M k de Defiitiosbereic uc willkürlic eiscräke. Beispiel: id : R \ {42} R. Fuktioe gibt es uc mit Defiitios- ud Wertebereice, die ict Teilmege vo R sid, so gibt es zweistellige Fuktioe mit Defiitiosbereic R R oder eier Teilmege dvo. Defiitios- ud Wertebereic köe uc gz dere Mege sei, wie die ller Teilmege vo N, usw. Im Folgede sid ber, we icts deres gesgt ist, Fuktioe immer uf eier Teilmege der reelle Zle defiiert ud liefer reelle Zle zurück. 6. Expoetilfuktio Die Expoetilfuktio exp: R R ist defiiert durc exp(x) = x k k!. Stz 6.. Die folgede Aussge sid wr: exp(0) =. exp(x + y) = exp(x) exp(y) für lle x, y R. 3

14 Aus dem Stz folgt isbesodere exp( x) = exp(x), de Stz 6.2. Es gilt: exp( x) = exp(x) > für lle x > 0. exp(x) exp( x) exp(x) 0 < exp(x) < für lle x < 0. = exp(x + ( x)) exp(x) = exp(0) exp(x) = exp(x). Beweis. Für x > 0 ist die Aussge klr, d die Summe exp(x) = + x + x ur ect positive Glieder etält. Für x < 0 verwede wir exp(x) = exp( x) ud de erste Pukt. 6.2 Grezwerte vo Fuktioe Defiitio 6.3. Sei D eie Mege vo reelle Zle. Eie Zl R eißt Berürpukt vo D flls es eie Folge ( ) vo Zle D gibt mit lim =. Beispiele: Jede Zl D ist ei Berürpukt vo D, d m eifc die kostte Folge := wäle k. Die Zle ud b sid Berürpukte des offee Itervlls (, b). Für kei ε > 0 ist b + ε ei Berürpukt des offee Itervlls (, b). Defiitio 6.4. Ist f : D W eie Fuktio ud ei Berürpukt vo D, d screibt m lim f(x) = b x flls für jede Folge (x ) N mit x D ud lim x gilt lim f(x ) = b. Die Fuktioswerte f(x ) strebe lso gege b, sofer die Argumetfolge (x ) gege strebt. Die Ame, dss ei Berürpukt vo D ist, ist ötig, dmit es überupt eie solce Argumetfolge gibt. M k die obige beide Defiitioe uc mit ud stelle vo R mce. M screibt d lim f(x) = b ud lim f(x) = c. x x Ersteres bedeutet, dss für jede Folge (x ) N mit lim x = im Defiitiosbereic uc lim f(x ) = b gilt (ud dss der Defiitiosbereic midestes eie solce Folge etält). Beispiele: lim x x = ud Aloges gilt für beliebige Polyome. lim x x = 0 lim x x =, log zur bestimmte Divergez vo Folge. lim x 2 lim x (x ) (x 2 ) = 3 (x ) (x 2 ) = lim x x+ = 2 Grezwerte müsse ict existiere, z.b. existiert lim x 0 x ict. Mcml scräkt m bei der Limesbildug de Defiitiosbereic D der Fuktio uf {x D x > } oder {x D x < } ei. M äert sic lso dem Pukt vo obe oder ute. Dfür screibt m d lim f(x) bzw. lim f(x). x + x 4

15 Beispiele: Es gilt lim x + x = ber lim x x = 0 ud lim x x existiert ict. Ei weiteres Beispiel ist lim x 0 + x = ber lim x 0 x =. Stz 6.5. Es gilt lim x f(x) = b geu d we lim x + f(x) = lim x f(x) = b. Der Stz wird weiter ute bewiese. Stz 6.6. Es gilt lim x 0 exp(x) =. Beweis. Wir müsse zeige: We lim x = 0 d lim exp(x ) =. Wir zeige zuäcst, dss exp(x) 2 x für lle x R mit x < gilt. ( ) x k exp(x) = c Defiitio k! x k = Vereifcug k! k= x k Dreiecksugleicug k! k= x k = x x usklmmer k! k= x k x 2 k de es gilt 2 k k! für lle k < x x 2 k= k= 2 k wege x < geometrisce Reie Wege lim x = 0 gibt es für jedes gegebee ε > 0 eie Idex N, sodss x < ε/2 für lle > N gilt. Mit der Ugleicug folgt drus exp(x ) < ε für lle > N. Ds zeigt lim exp(x ) =. Stz 6.7 (Epsilo-Delt-Crkterisierug des Grezwerts). Es gilt lim x f(x) = b geu d we es für jedes ε > 0 ei δ > 0 gibt, sodss f(x) b < δ für lle x im Defiitiosbereic vo f mit x < ε gilt. Für jede geforderte Geuigkeit ε gibt es eie δ-umgebug vo, ierlb derer lle Fuktioswerte öcstes ε vo f() bweice. Der Beweis ist ict scwer ud wird ier weggelsse. Stttdesse gebe wir eie Beweis vo Stz 6.5 ls Beispiel zur Verwedug der Epsilo-Delt-Crkterisierug. Beweis vo Stz 6.5. Aus lim x f(x) = b folgt lim x + f(x) = b ud lim x f(x) = b direkt c Defiitio. I die dere Rictug köe wir lim x + f(x) = b ud lim x f(x) = b eme. Mit der Epsilo-Delt-Formulierug bedeutet ds, dss es für jedes ε > 0 zwei Zle δ > 0 ud δ 2 > 0 gibt, sodss f(x ) b < ε für lle x > us dem Defiitiosbereic f mit x < δ sowie f(x 2 ) b < ε für lle x 2 < us dem Defiitiosbereic f ud x 2 < δ 2. D gilt ber sicer erst rect f(x) b < ε für lle x us dem Defiitiosbereic vo f mit x < mi(δ, δ 2 ). Wir be lso gezeigt, dss es für jedes ε > 0 ei δ > 0 gibt (ämlic mi(δ, δ 2 )), sodss f(x) b < δ für lle x mit x < ε gilt. 5

16 6.3 Stetigkeit Defiitio 6.8. Eie Fuktio f : D W ist im Pukt D stetig flls lim x f(x) = f() gilt. Beispiele: f(x) = x 2 ist überll stetig. Alog sid Polyome überll stetig. f(x) = x ist lle ict-gzzlige Pukte stetig. f(x) = x ist überll stetig. Stz 6.9. Die Expoetilfuktio exp(x) ist überll stetig. Beweis. Wir be bereits lim x 0 exp(x) = ud exp(0) = gezeigt, ws Stetigkeit im Pukt 0 etsprict. Die Stetigkeit i eiem dere Pukt R köe wir druf zurückfüre. Sei (x ) eie Folge mit lim x =. Wir müsse lim exp(x ) = exp() zeige. Wir be lim exp(x ) = lim exp(x + ) = lim exp(x ) exp() = exp() lim exp(x ). Aus lim x = folgt ber lim (x ) = 0. Also ist (x ) mit x := x eie Folge mit lim x = 0. Aus der Stetigkeit im Pukt 0 folgt d lim exp(x ) =, lso lim exp(x ) =. Durc Eisetze i die obige Gleicug erlte wir lim x exp(x ) = exp(), ws zu zeige wr. Stz 6.0. We f ud g im Pukt x 0 Pukt x 0 stetig. stetig sid, d sid uc folgede Fuktioe im (x) = f(x) + g(x). 2 (x) = f(x)g(x). 3 (x) = f(x) g(x), flls g(x 0) 0. 4 (x) = f(g(x)). Beispiele: x f(x) = 2 +x (x 2)(x+3)(x 5) ) ( exp x 2 3 ist überll stetig. 6.4 Zwiscewertstz ist i lle Pukte ußer 2, 3 ud 5 stetig. Stz 6. (Zwiscewertstz). Sei f : R R eie stetige Fuktio ud seie < b R Zle mit f() < 0 ud f(b) > 0. D gibt es eie Zl c [, b] mit f(c) = 0. Beweis. Wir defiiere eie Itervllscctelug [ 0, b 0 ], [, b ],... wie folgt: 0 := ud b 0 := b. We ds -te Itervll sco defiiert ist, d defiiere wir ds ( + )-te Itervll wie folgt. Sei m := +b 2 der Mittelpukt vo ud b. We f(m) 0, d defiiere wir + := ud b + := m. We f(m) < 0, d defiiere wir + := m ud b + := b. 6

17 M überlegt sic, dss dies eie Itervllscctelug defiiert. Zum Beispiel lbiert sic die Läge der Itervlle i jedem Scritt. Nc dem Stz über Itervllsccteluge gibt es lso eie eideutige Zl c R, die i lle Itervlle etlte ist. Wir zeige, dss f(c) = 0 gilt. Zuäcst bemerke wir lim = lim b = c. Dies gilt, d c i lle Itervlle liegt, ud sic die Läge Itervlle i jedem Scritt lbiert. Wege der Stetigkeit vo f folgt weiteri lim f( ) = f(c) = lim f(b ). Nc Kostruktio gilt ber f( ) < 0 ud f(b ) 0 für lle (Beweis durc Iduktio). Also muss lim f ( ) 0 ud lim f (b ) 0 gelte (siee Übugsufgbe). Ds eißt f(c) 0 ud f(c) 0, somit f(c) = 0. Stz 6.2. Sei f : R R eie stetige Fuktio, seie < b ud y 0 R Zle mit f() < y 0 ud f(b) > y 0. D gibt es eie Zl c [, b] mit f(c) = y 0. Beweis. Defiiere g(x) = f(x) y 0. Diese Fuktio erfüllt die Vorussetzuge des Zwiscewertstzes, lso gibt es x [, b] mit g(c) = 0. Nc Defiitio vo g gilt d ber f(c) y 0 = 0, lso f(c) = y 0, ws zu zeige wr. 6.5 Mootoie ud Umkerfuktio Defiitio 6.3. Eie Fuktio f ist mooto steiged, we us x < y folgt f(x) f(y). Sie ist mooto flled, we us x < y folgt f(x) f(y). Sie ist streg mooto steiged, we us x < y folgt f(x) < f(y). Sie ist streg mooto flled, we us x < y folgt f(x) > f(y). Der Grp eier streg mooto steigede Fuktio steigt vo liks c rects gelese. Der Grp eier mooto steigede Fuktio drf uc streckeweise liegebleibe. Die Fuktioe x 3, x ud x sid mooto steiged 2, die erste zwei sogr streg. Die Fuktio x eigescräkt uf positive reelle Zle ist streg mooto flled. Defiitio 6.4 (Umkerfuktio). Sei f : D W eie Fuktio. Eie Fuktio g : W D eißt Umkerfuktio vo f flls f(x) = y geu d we g(y) = x (für lle x D ud y W ). Stz 6.5. Ist g : W D Umkerfuktio vo f : D W, so gilt g(f(x)) = x ud f(g(y)) = y für lle x D ud y W. Beweis. Nc Defiitio gilt g(f(x)) = x geu d we f(x) = f(x), ws ber offesictlic wr ist. Alogt gilt f(g(y)) = y geu d we g(y) = g(y), ws ebeflls wr ist. Stz 6.6. Sei f : D W eie streg mooto steigede Fuktio ud sei W so gewält, dss jedes Elemet vo W uc ttsäclic ls Fuktioswert uftritt. D t f eie eideutig bestimmte Umkerfuktio f : W D, die ebeflls streg mooto steiged ist. Beweis. Nc Ame gibt es für jedes y W ei x D mit f(x) = y. D f streg mooto steiged ist, k es uc ur ei solces x gebe. De we es x, x 2 D mit x < x 2 ud f(x ) = f(x 2 ) gäbe, d wäre f ict streg mooto steiged. Wir defiiere g(y) ls ds eideutige Elemet x D mit f(x) = y ud erlte so eie Umkerfuktio. Für die Mootoie müsse wir zeige, dss für lle y, y 2 W mit y < y 2 uc g(y ) < g(y 2 ) gilt. Ageomme g(y ) g(y 2 ). Wege der Mootoie vo f folgt drus f(g(y )) f(g(y 2 )). D g Umkerfuktio vo f ist, gilt f(g(y )) = y ud f(g(y 2 )) = y 2, lso uc y y 2. Ds widersprict ber y < y 2, lso muss die Ame flsc gewese sei ud g(y ) < g(y 2 ) gelte. M erält de Grpe der Umkerfuktio us dem Grpe vo f durc Spiegelug der 45 Grd steile Ursprugsgerde. 2 N.B.: Streggeomme müsste m screibe, die Fuktioe sq, sqrt, floor mit sq(x) = x 2, sqrt(x) = x ud floor(x) = x sid mooto steiged. Der Ausdruck x 2 ist eigetlic keie Fuktio, soder ei Term. Es t sic ber eigebürgert, über diese Ugeuigkeit wege der bessere Lesbrkeit iwegzugee. 7

18 Beispiel: Für f(x) = x 2 mit D = W = {x R x 0} gilt f (x) = x. Nimmt m D = RR, so ist f ict mooto ud t keie Umkerfuktio. Actug: Die Nottio f (x) ict mit f(x) verwecsel. Die Nottio f(x) stet für f(x), wäred f (x) de Wert der Umkerfuktio vo f im Pukt x bezeicet. 6.6 Logritmus Stz 6.7. Expoetilfuktio exp(x) ist streg mooto steiged. Beweis. Sei x < y. D ist y x > 0 ud es gilt exp(y x) > c Stz 6.2. Dmit be wir exp(y) = exp(x + (y x)) = exp(x) exp(y x) < exp(x), wie beuptet. Folgerug: We exp(x) = exp(y) d x = y. Stz 6.8. Die Expoetilfuktio immt jede Wert i {y R y > 0}. Beweis. Durc Ausrece der erste Glieder der Expoetilreie wisse wir exp() > 2. Mit der Receregel exp(x + y) = exp(x) exp(y) folgt drus exp(k) > 2 k ud exp( k) <. Für 2 k jede Zl y > 0 gibt es k N mit < y < 2 k (Sätze 2.7 ud 2.8). Für dieses k gilt lso 2 k exp( k) < y < exp(k). D exp stetig ist, köe wir de Zwiscewertstz wede ud erlte, dss es ei x mit k < x < k ud y = exp(x) gibt. Also be wir gezeigt, dss exp jedes y > 0 im ls Wert immt. Defiitio 6.9 (Logritmus). Die Logritmusfuktio l: {x R x > 0} R ist defiiert ls die Umkerfuktio vo exp. Wir be lso l(exp(x)) = x für lle x R ud exp(l(y)) = y für lle y > 0. Defiiere e := exp(). Stz Es gelte folgede Receregel: l() = 0 l(e) = l(xy) = l(x) + l(y) für lle x, y > 0 Beweis. Die erste beide Gleicuge folge us exp(0) = ud exp() = e ud der Defiitio der Umkerfuktio: l() = l(exp(0)) = 0 ud l(e) = l(exp()) =. l(xy) = l(exp(l(x)) exp(l(y))) = l(exp(l(x) + l(y))) = l(x) + l(y) 6.7 Allgemeie Poteze Für x, y R mit x > 0 ist die llgemeie Potez defiiert durc: x y := exp(y l(x)) Für gzzlige y stimmt ds mit der biserige Defiitio überei. Weiteri gilt e x = exp(x) c Defiitio ud wege l(e) =. Es gelte folgede Potezgesetze: 0 = = u+v = u v u v = u v uv = ( u ) v u v = ( u ) v Diese beweist m direkt mit der Defiitio ud de Receregel für exp ud l. Beispiel: u+v = exp((u + v) l()) = exp(u l() + v l()) = exp(u l()) exp(v l()) = u v 8

19 7 Komplexe Zle 7. Defiitio durc Hizume der Wurzel us M erält die komplexe Zle, idem m zu de reelle Zle die imgiäre Eieit i, die dem Gesetz i 2 = geügt, izuimmt. Bemerkug: M k ict eifc so Zle dzu eme. Käme z.b. jemd uf die Idee, eie Zl j eizufüre, sodss j = 0, so ätte m 0 j =, lso 0 = j j = ( ) j = 0 j =, ei Widerspruc. Im Flle der Wurzel us ist diese Hizume vo i ber widersprucsfrei möglic. Jede komplexe Zl t d die Form + i b für, b R, de jeder Receusdruck mit komplexe Zle lässt sic mitilfe der folgede Receregel uf dieses Formt brige. Receregel: ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i ( + bi) (c + di) = c + (d + bc) i + bdi 2 = (c bd) + (d + bc)i wege i 2 = ( + bi) (c + di) = ( c) + (b d)i ( + bi) ( + bi) (c di) = (c + di) (c + di) (c di) = (c 2 + d 2 (c + bd + (bc d)i) ) Ist z = + bi, so eißt Relteil vo z ud b Imgiärteil vo z. M screibt = Re(z) ud b = Im(z). Die Mege der komplexe Zle wird mit C bezeicet. 7.2 Kojugtio ud Betrg Defiitio 7.. Die Kojugierte vo z C ist die komplexe Zl z := Re(z) Im(z) i. Es ist z z = 2 + b 2 = Re(z) 2 + Im(z) 2. M defiiert de Betrg z eier komplexe Zl z durc Es gilt: z = Re(z) 2 + Im(z) 2 = zz. w + z w + z (Dreiecksugleicug) w z = w z Der Divisio komplexer Zle liegt lso ds Erweiter mit der Kojugierte des Neers zugrude: w z = wz zz = z w z Komplexe Zleebee M versculict sic die komplexe Zle ls Ortsvektore i der Ebee (Relteil = x- Koordite, Imgiärteil = y-koordite). Die Läge dieser Vektore etsprict d gerde dem ebe defiierte Betrg. Die Additio komplexer Zle etsprict der Vektordditio, die Multipliktio etsprict der Opertio stretc d tur : die Läge (Beträge) der zu multiplizierede Vektore werde multipliziert, die Wikel der Vektore, gemesse vo der x-acse etgege dem Urzeigersi, werde ddiert. Zum Beispiel ist die imgiäre Eieit i der Eieitsvektor i y-rictug. Multipliziert m i mit sic selbst c der stretc-d-tur Vorscrift, so erält m offesictlic die Mius Eis. Ebeso gilt türlic i 3 = i ud i 4 =. Ist ε die komplexe Zl mit Betrg ud Wikel 20 Grd, lso ε = i, so ist ε2 = ε ud ε 3 =. 9

20 M sgt: ε ist eie primitive dritte Eieitswurzel ( Wurzel us Eis ). Primitiv deslb, weil lle drei dritte Eieitswurzel, ämlic, ε ud ε Poteze vo ε sid. Ebeso ist ε primitive dritte Eieitswurzel, de ε 2 = ε ud ε 3 =. Die Zle, i,, i sid vierte Eieitswurzel, i ud i sid sogr primitiv. Die Eieitswurzel spiele uter derem bei der diskrete Fouriertrsformtio, eiem wictige Hilfsmittel bei der Siglverrbeitug eie bedeutede Rolle. 7.4 Komplexe Nullstelle vo Polyome I de komplexe Zle t jede (icttrivile 3 ) qudrtisce Gleicug eie Lösug, z.b. x 2 2x + 5 = 0 t die Lösuge x /2 = 2 ( 2 ± 6) = ± 4i. Ebeso: 3 = 3i. Es gilt sogr, dss jedes ictkostte Polyom eie Nullstelle i de komplexe Zle t ( Fudmetlstz der Algebr ). Ht m eie Nullstelle x 0 gefude, d k m die rusdividiere ud fidet so isgesmt geu so viele Nullstelle (Vielfceit eigerecet), wie der Grd des Polyoms. So t ds Polyom x 3 3x 2 + 8x 5 = (x 2 2x + 5) (x ) eie reelle Nullstelle, ämlic ud zwei komplexe Nullstelle, ämlic + 4i ud 4i. D die komplexe Kojugtio mit Additio ud Multipliktio verträglic ist (z + w = z + w ud zw = z w) folgt, dss we z eie Nullstelle eies Polyoms P (x) ist, so uc die Kojugierte z. 7.5 Kovergez im Komplexe Kovergez vo Folge ud Grezwerte vo Fuktioe werde im Komplexe geuso wie im Reelle defiiert. A die Stelle des Absolutbetrges tritt ier der Betrg der komplexe Zle. Also kovergiert eie Folge ( ) N vo komplexe Zle gege b C, we für jedes ε > 0 ei N N existiert, sodss für lle > N gilt b < ε. Die Kovergezkriterie für Reie ud bereits ergeleitete Summeformel gelte sigemäß fort. Beispiel: Sei z := (+i) = 2 ( i). Es gilt z = 2 <, lso ist ( ) k = ( + i) z = 2 ( + i) = i. 7.6 Komplexe Expoetilfuktio ud trigoometrisce Fuktioe M erweitert die Expoetilfuktio exp(x) uf die komplexe Zle, idem m die Reie uf komplexe Zle uffsst. z k exp(z) = k! ud Es gilt d weiteri exp(w + z) = exp(w) exp(z), selbst we w ud z komplex sid. Die trigoometrisce Fuktioe si ud cos werde durc si(t) = Im(exp(i t)) cos(t) = Re(exp(i t)) defiiert. Es gilt lso isbesodere exp(i t) = cos(t) + i si(t) (siee die geometrisce Iterprettio m Eieitskreis). Weiteri folgt e (+bi) = e (cos(b) + i si(b)). 3 Bemerkug: x 2 + bx + c = 0 eißt ier trivil, we = b = 0. 20

21 Aus der geometrisce Iterprettio ergebe sic folgede spezielle Werte. si(0) = 0 cos(0) = si(π) = 0 cos(π) = ( π ) ( π ) si = cos = 0 ( 2 2 π ) si = /2 3 ( π ) cos = /2 ( π etsprict 60 Grd) Ebeflls d der geometrisce Iterprettio wird klr, dss folgede Gleicuge für lle α gelte. si(α + 2π) = si(α) si( α) = si(α) ( si(α) = cos α π ) 2 cos(α + 2π) = cos(α) cos( α) = cos(α) si(α) 2 + cos(α) 2 = Stz 7.2. Für lle α ud β gilt: si(α + β) = si(α) cos(β) + cos(α) si(β) cos(α + β) = cos(α) cos(β) si(α) si(β) Beweis. Die Fuktiolgleicug für die Expoetilfuktio impliziert e i(x+y) = e ix+iy = e ix e iy. Awedug der geometrisce Iterprettio m Eieitskreis (s.o.) ergibt d cos(x + y) + i si(x + y) = (cos(x) + i si(x)) (cos(y) + i si(y)) = (cos(x) cos(y) si(x) si(y)) + i(si(x) cos(y) + cos(x) si(y)). Die Beuptug folgt durc Vergleic vo Rel- ud Imgiärteil. Stz 7.3. Es gelte folgede Reieetwickluge für die trigoometrisce Fuktioe: ( ) k x 2k+ si(x) = (2k + )! ( ) k x 2k cos(x) = (2k)! Beweis. Nc Defiitio exp(ix) = ik x k k!. Es gilt i 0 =, i = i, i 2 =, i 3 = i, i 4 =, i 5 = i usw. I der Reie sid (für reelles x) lso die Glieder mit gerdem Idex lle reell ud die mit ugerdem Idex imgiär. Der Relteil vo exp(ix) lässt sic d screibe ls: x 0 0! x2 2! + x4 4! x6 6! + = Der Imgiärteil vo exp(ix) lässt sic screibe ls: x! x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( ) k x 2k (2k)! ( ) k x 2k+ (2k + )! Für de spezielle Wert x = π ergibt sic us e ix = cos(x) + i si(x) die berümte Eulersce Formel e iπ = ud ebeso e 2πi =. 2

22 7.7 Trigoometrisce Fuktioe ud ire Umkerfuktioe Die Fuktioe cos(x) ud si(x) wurde ls Rel- ud Imgiärteil vo exp(ix) defiiert. M verwedet uc äufig die Tges-Fuktio, die durc t(x) := si(x) cos(x) defiiert ist. Die Tges-Fuktio ist de Nullstelle vo cos(x) udefiiert, d.. de Pukte π 2 + k π für k N. Die Fuktio si ist im Itervll [ π 2, ] π 2 streg mooto steiged ud immt lle Werte us [, ]. Eigescräkt uf dieses Iterll t si lso eie Umkerfuktio, die Arcussius get wird rcsi: [, ] [ π 2, ] π 2. Alog ist cos im Itervll [0, π] streg mooto flled ud immt lle Werte us [, ]. Eigescräkt uf dieses Iterll t cos lso eie Umkerfuktio, die Arcuscosius get wird rccos: [, ] [0, π]. Die Tgesfuktio ist im offee Itervll ( π 2, ) π 2 streg mooto wcsed ud immt lle Werte us R. Ire Umkerfuktio wird rct: R ( π 2, ) π 2 get. 7.8 Polrkoordite Jede komplexe Zl z = + bi k i der Form r e i α gescriebe werde, wobei r = z = 2 + b 2 ud α der Wikel des Ortsvektors (, b) ist. Es gilt α = rct ( b ) oder α = π rct ( b ), je cdem, ob positiv oder egtiv ist. I viele Progrmmiersprce gibt es die Fuktio t2 für diese Zweck. M erält ls Awedug eie prktisce Drstellug der -te Eieitswurzel. We m w z := e 2 π i setzt, d sid die Eckpukte eies regelmäßige -Ecks vom Rdius Eis i der Zleebee w z, wz, 2..., wz. Es gilt wz =. Awedug: Die Gleicug e x = z t für lle z C eie Lösug, ämlic l(r) i (φ+2 π k), flls z = r e i φ ud k Z beliebig. 7.9 Komplexe Poteze Für reelles > 0 ud komplexes z defiiert m z := exp(z l()). Es gilt d w+z = w z. Poteze mit komplexe Bse sid ebeso wie solce mit egtive Bse c wie vor ur für gzzlige Expoete erklärt. Zum Beispiel gäbe es für die Defiitio vo ( ) 0.5 zwei versciedee Möglickeite, ämlic i ud i. Auc für komplexe Expoete ud egtive Bse ist ict klr, wie die Potez zu defiiere wäre. Zum Beispiel gilt e i2π =, lso würde m (durc Poteziere mit i) uc e 2π = i = erwrte, ws im Reelle ber sicer ict gilt. 8 Differetitio 8. Defiitio ud Beispiele Nc der Defiitio der trigoometrisce Fuktioe durc die komplexe Expoetilfuktio bescäftige wir us im Folgede zuäcst wieder mit reelle Fuktioe. Defiitio 8.. Sei f : D W mit D R ud W R. Die Fuktio f eißt der Stelle x D differezierbr, we der Grezwert f(x + ) f(x) lim 0 22

23 existiert. M screibt d f (x) für diese Grezwert. M fidet uc die Nottio df(x) dx ( df(x) c dx ). Becte, dss der Grezwert ict immer exisitere muss. Nict lle Fuktioe sid überll differezierbr. Die Zl f () die Steigug der Tgete de Grpe vo f der Stelle, lso die Steigug des Grpe im Pukt. Die Tgete im Pukt ist die liere Fuktio t(x) = (x )f () + f(). Die durc f f(x + ) f(x) (x) = lim 0 defiierte Fuktio f eißt die Ableitug vo f. Beispiele: Für f(x) = c mit c R gilt f (x) = 0. Es gilt lim 0 c c = 0, lso f (x) = 0 ud der Grezwert existiert für lle x R. Für f(x) = x gilt f (x) =, de Für f(x) = x 2 gilt f (x) = 2x, de f(x + ) f(x) x + x lim = lim =. 0 0 f(x + ) f(x) (x + ) 2 x 2 2x + 2 lim = lim = lim = 2x Für f(x) = x gilt f (x) = x 2, de lim 0 x+ x = lim 0 x (x + ) x(x + ) = lim 0 Für f(x) = exp(x) gilt f (x) = exp(x), de exp() Um lim 0 verwede. Drus folgt exp() x(x + ) = lim 0 exp(x + ) exp(x) exp(x) exp() exp(x) lim = lim 0 0 exp() = exp(x) lim 0 = exp(x). x(x + ) = x 2. = zu zeige, k m die Reiedrstellug exp() = = k (k+)!. Becte, dss diese Reie für = 0 de Wert t. Die Reie defiiert eie stetige Fuktio (ds k m wie i Stz 6.6 zeige), d.. lim 0 k (k+)! =. Für f(x) = si(x) gilt f (x) = cos(x). si(x + ) si(x) si(x) cos() + cos(x) si() si(x) lim = lim 0 0 si() = cos(x) lim 0 = cos(x) + si(x) lim 0 cos() k k! 23

24 Für f(x) = cos(x) gilt log f (x) = si(x). Stz 8.2. Sei f eie im Pukt R differezierbre Fuktio. Defiiere die Fuktio r durc D gilt lim 0 r(+) = 0. f(x) = f() + f () (x ) + r(x). Die Fuktio f wird zerlegt i die Summe eier liere Fuktio f() + f () (x ) (die Tgete vo f im Pukt ) plus eie Rest r(x). Der Stz sgt us, dss der Rest um de Pukt eie gerigere ls liere Beitrg leistet. Es get r( + ) für 0 sceller gege 0 ls die liere Fuktio. Beweis. Durc Umstelle vo f(x) = f() + f () (x ) + r(x) erlte wir Eisetze vo + für x ergibt Drus folgt r(x) f(x) f() = f (). (x ) (x ) r( + ) = f( + ) f() f (). r( + ) f( + ) f() lim = lim f (). 0 0 Nc Defiitio der Ableitug ist die recte Seite gleic f () f () = 0, ws zu zeige wr. Auc die Umkerug des Stzes gilt. We m eie Fuktio f so i eie liere Fuktio plus Rest zerlege k, sodss der Rest im Pukt geriger ls lier ist, d muss die liere Fuktio die Tgete sei. Stz 8.3. Sei f eie Fuktio ud seie, b R. Defiiere r durc We lim 0 r(+) = 0, d gilt f () = b. f(x) = f() + b (x ) + r(x). Beweis. Durc Umstelle ud Eisetze wie im vorgeggee Beweis erlte wir r( + ) f( + ) f() lim = lim b = f () b. 0 0 We der Grezwert uf der like Seite lso 0 ist, d muss uc f () b = 0 gelte, lso f () = b. Stz 8.4. Ist eie Fuktio f i eiem Pukt differezierbr, so ist sie i uc stetig. Beweis. Wir müsse lim x f(x) = f() zeige. Nc Stz 8.2 köe wir f(x) ls f()+f ()(x r(+) r(+) )+r(x) mit lim 0 = 0 screibe. Aus lim 0 = 0 folgt erst rect lim 0 r(+) = 0. Somit be wir: ws zu zeige wr. lim f(x) = lim f( + ) = lim f() + f () + r( + ) = f(), x 0 0 Die Umkerug des Stzes gilt ict immer. Zum Beispiel ist f(x) = x im Pukt x = 0 stetig, ber ict differezierbr. 24

25 8.2 Differetitiosregel Stz 8.5 (Lierität). Seie f, g : D R im Pukt x differezierbre Fuktioe ud sei λ R. D gilt: (f + g) (x) = f (x) + g (x). (f g) (x) = f (x) g (x). (λ f) (x) = λ f (x). Stz 8.6 (Produktregel). Seie f, g : D R im Pukt x differezierbre Fuktioe. D gilt Beweis. (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). (fg) (x) = lim 0 f(x + )g(x + ) f(x)g(x) (f(x + ) f(x))g(x + ) + f(x)(g(x + ) g(x)) = lim 0 (f(x + ) f(x)) (g(x + ) g(x)) = lim g(x + ) + f(x) 0 = ( lim 0 f(x + ) f(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ) ( lim g(x + ) 0 ) + f(x) lim 0 (g(x + ) g(x)) Im letzte Scritt be wir die Stetigkeit vo g im Pukt x verwedet, die us lim 0 g(x+) = g(x) liefert. Stz 8.7 (Quotieteregel). Seie f, g : D R im Pukt x differezierbre Fuktioe ud sei g im gze Defiitiosbereic ictull. D gilt ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g(x) 2. ( ) Beweis. Wir zeige de Spezilfll g (x) = g (x) g(x). Der llgemeie Fll folgt drus mit der ( ) ( ) 2 Produktregel, idem m f g = f g verwedet. De Spezilfll siet m durc direktes Ausrece des Grezwerts. ( ) (x) = lim g 0 g(x+) g(x) = lim 0 g(x) g(x+) g(x)g(x+) g(x) g(x + ) = lim = 0 g(x)g(x + ) g(x) 2 ( g (x)) Im letzte Scritt be wir wieder die Stetigkeit vo g beutzt. Beispiele: Für f(x) = x 3 = x 2 x erlte wir mit der Produktregel (ud de obige Beispiele) f (x) = 2x x + x 2 = 3x 2. Es gilt (x ) = x für lle N. Ds zeigt m durc Iduktio über. Der Fll für = 0 etsprict dem Beispiel für kostte Fuktioe. Der Iduktiosscritt folgt mit der Produktregel wie für x 3. 25

26 Für f(x) = si(x) exp(x) gilt f (x) = cos(x) exp(x) + si(x) exp(x) c der Produktregel. Für f(x) = t(x) = si(x) cos(x) gilt f cos(x) cos(x) si(x)( si(x)) (x) = cos(x) = 2 cos(x). 2 Stz 8.8 (Ketteregel). Seie g : D W ud : W R ud sei f : D R durc f(x) = (g(x)) defiiert. Ist g im Pukt x differezierbr ud im Pukt g(x), d gilt Beispiele: f (x) = (g(x)) g (x). Für f(x) = exp( x 2 ) gilt f (x) = exp( x 2 ) ( 2x). Für f(x) = (si(x)) 2 gilt f (x) = 2 si(x) cos(x). Stz 8.9 (Differetitio der Umkerfuktio). Sei f : D W ud sei g : W D die Umkerfuktio vo f (geomme, dss diese existiert). D gilt g (f(x)) = f (x). Beweis. Defiiere eie Fuktio durc (x) = g(f(x)). Durc Awede der Ketteregel uf erlte wir (x) = g (f(x)) f (x). D f die Umkerfuktio vo g ist, gilt ber uc (x) = x, miti (x) =. Somit be wir = g (f(x)) f (x). Divisio durc f (x) liefert die Beuptug. Beispiele: Für f(x) = exp(x) ud g(x) = l(x) gilt g (exp(x)) = exp(x), lso g (z) = z. Mit l (x) = x köe wir uc die Ableitug llgeier Poteze bestimme. Betrcte zum Beispiel x x. Nc Defiitio der llgemeie Potez gilt x x = exp(x l(x)). Die Ableitug (x x ) k u mit Ketteregel ud Produktregel bestimmt werde. ( (x x ) = (exp(x l(x))) = exp(x l(x)) (x l(x)) = exp(x l(x)) l(x) + x ) = x x (l(x)+) x Für f(x) = si(x) ud g(x) = rcsi(x) be wir g (si(x)) = cos(x) =, lso si(x) 2 g (x) = x 2. Für f(x) = cos(x) ud g(x) = rccos(x) be wir g (cos(x)) = g (x) = x 2. si(x) =, lso cos(x) 2 Für f(x) = t(x) ud g(x) = rct(x) be wir g (t(x)) = cos(x) 2 = +t(x) 2, lso g (x) = +x 2. NR: t(x) 2 = cos(x)2 cos(x) 2, lso cos(x) 2 = +t(x) 2. Es ist bemerkeswert, dss die Ableituge der Umkerfuktioe vo exp, si, cos ud t vergleicsweise eifc ussee. Awedugsbeispiel: Wir köe folgede bekte Formel beweise. ( lim + x ) = e x () 26

27 Es gilt: lim (( l + x ) ) = lim ( l + x ) = lim x l ( ) + x = lim 0 x = lim 0 x = lim 0 x l () = x x l ( + ) l ( + ) l Obige Formel folgt drus wege der Stetigkeit der Expoetilfuktio. Formel () drückt stetige Verzisug us. Die järlice Zise seie x, z.b. x = 0.03 (drei Prozet). Ds Jr wird i Teile zerlegt, z.b. = 360, c jedem Teil werde die Zise berecet ud zum Kpitl ddiert. Es multipliziert sic lso mit + x, bzw. c eiem Jr um ( ) + x. Lässt m die Teile immmer kleier werde, so wird im Grezwert ds Kpitl mit e x multipliziert. 8.3 Komplexe Fuktioe Die Defiitio der Ableitug k m uc uf Fuktioe f : C C übertrge. Auc für solce komplexe Fuktio defiiert m f (z) = lim 0 f(z + ) f(z) Dbei ist u eie komplexe Zl, die betrgsmäßig gege 0 get. Der Spezilfll f : R C ist geometrisc oc leict drzustelle. D defiiert f eie Kurve i der Ebee. Zum Beispiel defiiert f(x) = e ix de Eieitskreis. Die Ableitug f (z) ist eie komplexe Zl, die m ls Tgetilvektor der Kurve verstee k. Die obige Beispiele zur Differetitio vo Fuktioe (c, x, x 2, exp(x),... ) sid uc im Komplexe korrekt. Isbesodere gilt exp (z) = exp(z) uc im Komplexe. Für eie komplexe Fuktio f : C C screibe wir Ref : C R ud Imf : C R für die Fuktioe, die de Rel- bzw. Imgiärteil vo f gebe. Ds eißt, Ref(z) = Re(f(z)) ud Imf(z) = Im(f(z)) ud es gilt f(z) = Ref(z) + i Imf(z). Stz 8.0. Für f : C C gilt (Ref) (z) = Re(f (z)) ud (Imf) (z) = Im(f (z)). Beweis. f(z + ) f(x) Re(f(z + )) + i Im(f(z + )) (Re(f(z)) + i Im(f(z))) lim = lim 0 0 Re(f(z + )) Re(f(z)) = lim 0 = (Ref) (z) + i (Imf) (z). + i lim 0 Im(f(z + )) Im(f(z)) Aus dem Stz ergebe sic ltertive Beweise für die Ableituge der trigoometrisce Fuktioe. Setze f(x) := exp(ix). Es gilt si = Imf ud cos = Ref ud f (x) = i exp(ix) (Ketteregel). Dmit be wir: si (x) = (Imf) (x) = Im(f (x)) = Im(i exp(ix)) = Re exp(ix) = cos(x) cos (x) = (Ref) (ix) = Re(f (ix)) = Re(i exp(ix)) = Im exp(ix) = si(x) 27