, die Kettenlänge variiert. 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, ,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

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1 Normalverteilug Normalverteilug. Eiführug ud Stadardisierug eies B(;p)-Histogramms Um Wahrscheilichkeitsberechuge bei biomialverteilte Zufallsgröße durchzuführe sid wir auf user Tafelwerk agewiese. Doch leider befide sich dari ur bestimmte Ketteläge ud bei Ketteläge vo über 00 hilft us das Tafelwerk da auch icht mehr. Bleibt och die Möglichkeit die gesuchte Wahrscheilichkeit mit dem Tascherecher zu bereche. Das ist aber da scho eie irrsiige Tipperei. Als Hauptproblematik hierbei bleibt, dass der TR ur bis 69! rechet ud da ist Schluss! Um diese Sache u i de Griff zu bekomme müsse wir irgedwie eie aalytische Fuktio fide, welche die Wahrscheilichkeitsverteilug äherugsweise beschreibt. Dazu schaue wir us eifach mal ei paar Biomialverteiluge a ud versuche eiige Merkmale herauszuarbeite. Die Trefferwahrscheilichkeit sei der Eifachheit halber fest gewählt p 0,5, die Ketteläge variiert. 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0,0 0 B ; 0,5 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0, B 6 ; 0,5 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0, B ; 0,5 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0, B 5 ; 0,5 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0, B 50 ; 0,5 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0,0 B 00 ; 0,

2 Normalverteilug 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0,0 B 50 ; 0, Die Histogramme obiger Biomialverteiluge zeige: Die Histogramme (Säule) wader bei kostatem p ud wachsedem immer weiter ach rechts. Die Histogramme werde immer flacher ud auch immer breiter, sie lade weiter aus. Bei kleiem sid sie sehr usymmetrisch, bei größer werdedem werde sie dagege immer symmetrischer. Um u solche Histogramme für verschiedee besser miteiader vergleiche ud evetuelle Verwadtschafte feststelle zu köe, werde sie stadardisiert. De Vorgag der Stadardisierug wolle wir zum bessere Verstädis mit eiem Beispiel begleite. Sei also eie Zufallsgröße gegebe mit der Ketteläge 8 ud der Trefferwahrscheilichkeit p p. Da sieht das zur Zufallsgröße gehörige Histogramm, so aus: Die Zufallsgröße hat de Erwartugswert E 8 6 ud die Stadardabweichug Var pq 8 Für das eifache Itervall der Stadardabweichug gilt: ; 4 ; 8

3 Normalverteilug Nu schiebt ma das gaze um de Erwartugswert ach liks ud erhält zuächst eie eue Zufallsgröße S S S S S S Die Zufallsgröße S hat de Erwartugswert E S E E 0 ud die Stadardabweichug S S S Var S Var Var Für das eifache Itervall der Stadardabweichug gilt: ; ; ; S S S S S S Damit das gaze für sehr große icht allzu breit wird staucht ma es mit dem Faktor i x-richtug. Ma erhält da eie eue Zufallsgröße T S T T T T T Die Zufallsgröße T hat de Erwartugwert T ET E E E 0

4 Normalverteilug ud die Stadardabweichug T T Var T Var Var Var Für das eifache Itervall der Stadardabweichug gilt: ; ; ; S S S S S S Da jetzt aber die Säule im Histogramm icht mehr die Breite habe soder die Breite muss die Rechteckshöhe och mit multipliziert werde, damit die Gesamtfläche erhalte bleibt. Das Histogramm wird somit um de Faktor i y-richtug gestreckt. Dadurch etsteht eie eue Wahrscheilichkeitsfuktio t B ; p ; k P k mit p T T T T T t, für die gilt: k 0,5 k 0,5 t ; Ma et die Fuktio t eie stadardisierte Dichtefuktio. Lässt ma u sehr groß werde im Bsp : 70 Histogramms immer schmaler. Die Dichtekurve vo der stadardisierte Histogramme erweckt de Eidruck, dass sie mit wachsedem gege eie glatte Grezkurve kovergiert. Es stellt sich u die Frage, ob icht vielleicht die Aalysis eie Fuktio hervorbrigt, die folgede Bediguge gerecht wird.. Sie hat eie symmetrische Glockeform mit rasch abfallede Flake.. Sie hat eie Hochpukt bei etwa HP 0 0,4.. Sie überspat eie Gesamtfläche der Maßzahl., so werde die Rechtecke des 4

5 Normalverteilug Aufgabe:. Stadardisiere Sie ei B5; 4 Histogramm.. Dichtefuktio Wir wolle u eie aalytische Fuktio fide, welche obige Bediguge gerecht wird. Dabei bleibt icht allzu viel Spielraum. Eie Mege vo Fuktioe scheidet scho deswege aus weil sie midestes eie der Bediguge icht erfüllt. Es bleibe aber ichts desto trotz eiige Asatzmöglichkeite. Eie Glockekurve köte beispielsweise durch die Fuktio a f m : t m b t mit a, b IR ud m IN dargestellt werde. Versuche Sie für m die reelle Zahle a ud b so zu bestimme, dass die Fuktio f m die obige Bediguge erfüllt. Ergebis: 0,4 f t 0,6 t ud für m 4 erhält ma: 0,4 f4 t 4 0,6 t Trägt ma die beide Fuktiosgraphe i ei stadardisiertes Histogramm mit 70 p ei, so ist uschwer zu erkee, dass die beide Fuktiosgraphe aders strukturiert sid als die Treppeliie der Dichtefuktio 70. Auch och höhere Poteze vo t m 5 führe ebefalls zu keiem brauchbare Ergebis. Ud auch für größere liefer obige Fuktioe kei brauchbares Ergebis. G f4 G f t Eie eue Asatz köte ma mit Fuktioe der Form m f t a e mit a, b IR ud m IN, bilde. Diese falle rasch ab ud habe die Abszisseachse als Asymptote t m lim f t 0. m bt 5

6 Normalverteilug Damit sich alles eiigermaße im Rahme hält, wähle wir die eifachste Fuktio mit m aus: Die zweite Bedigug liefert: f t a e bt 0 f 0 a e 0,4 also folgt (i etwa): a 0,4 ud die Fuktio ist u vo der Form Die dritte Bedigug liefert da: f t 0,4 e bt bt bt z z 0,4 b b f t dt 0, 4 e dt 0, 4 e dt 0, 4 e dz e dz dt mit der Substitutio (. Fassug): z b t t z dt dz dz b b b z Allerdigs lässt sich die Fuktio e icht elemetar itegriere. Deoch geligt die Berechug des ueigetliche Itegrals mit Hilfsmittel der höhere Mathematik. Der berühmte Schweizer Mathematiker, Leohard Euler (707-78) hat gezeigt, dass gilt: e z dz Dieses Itegral ist uter dem Name Euler sches Itegral bekat. Somit folgt u: 0,4 z 0,4 b b e dz 0, 4 b b 0, 4 0,6 0,5 Wir erhalte somit die Fuktio 0,5 t f t 0,4 e Trägt ma de Fuktiosgraph i ei stadardisiertes Histogramm mit 70 p ei, so hat ma u eie Näherugsfuktio, welche sich durch ihre Elegaz ud Eifachheit auszeichet. Auf der Suche ach der exakte Grezfuktio für die stadardisierte Treppefuktioe war im Fall p als Erster der frazösische Privatgelehrte Abraham de Moivre ( ) erfolgreich. Laplace (749-87) schaffte es da das Ergebis auf p 0 ; zu beliebige Verallgemeier. Leider habe wir icht die Möglichkeite, um die Errugeschaft vo Laplace achzuvollziehe. Wir müsse us hier mit dem Ergebis zufriede gebe. G f 6

7 Normalverteilug Mit wachsedem äher sich die Dichtefuktioe der stadardisierte p 0 ; der Grezfuktio mit Biomialverteilug B;p für jedes t e Aus t B ; p ; k ud B ;p;k k t folgt: t ; t IR. k e Lokale Näherugsformel vo de Moivre ud Laplace: p 0 ; gilt: Für geüged große ud jedes B ;p;k k e pq k kp pq Die Zuverlässigkeit der Approximatio soll u a der Verteilug B00 ; 0, utersucht werde. Es gilt: Erwartugswert: 00 0, 0 Stadardabweichug: 00 0, 0,8 4 B 00 ; 0, k Die beide Kurve liege eigetlich relativ gut zusamme. Doch schaut ma sich de relative Fehler k B;p;k r k B ;p;k a, so sieht das gaz scho icht mehr gaz so rosig aus. k 7

8 Normalverteilug r k k Im Bereich k 8, also im Bereich um de Erwartugswert, trete Fehler vo 5,9% bis 4,5% auf. Im übrige Bereich wird der relative Fehler dem Betrag ach so groß, dass die Approximatio praktisch wertlos ist. Ergebis: Die Näherugsformel brigt für praktische Zwecke eie hireichede Geauigkeit, we folgede beide Bediguge erfüllt sid: Es sollte die Faustregel gelte: 9 Der Bereich für die Azahl k der Treffer sollte icht zu weit vom k ; Erwartugswert etfert liege: Aufgabe:. Ei Würfel wird 900 mal geworfe. Bereche Sie mit welcher Wahrscheilichkeit ma geau a) 55 b) 50 c) 40 mal die Sechs erhält. Reche Sie auf zwei Arte: Dichtefuktio laut Defiitio ud Wertetabelle der Dichtefuktio im Tafelwerk. Eie Hütte verfügt über 50 Bette. Da viele Waderer uterwegs sid müsse die Bette für die jeweils ächste Nacht vorgebucht werde. Aus Erfahrug weiß der Hüttewirt aber, dass eie Reservierug mit eier Wahrscheilichkeit vo 0% icht wahrgeomme wird. Deshalb immt er täglich 0 Reservieruge mehr a als er Bette zur Verfügug hat. Bereche Sie mit welcher Wahrscheilichkeit i eier Nacht geau 50 Bette belegt sid? Mit welcher Wahrscheilichkeit sid ur 40 Bette belegt? 8

9 Normalverteilug. Gauß sche Itegralfuktio Bei viele Aufgabe, um icht zu sage bei de meiste, ist allerdigs ach eier Wahrscheilichkeit für z.b. höchstes k Treffer gefragt. Dazu wolle wir us ei relativ eifaches Beispiel aschaue: 8 B 8; Verteilug P 8. Wir lege eie zugrude ud bereche Sei u T die zu gehörige stadardisierte Zufallsgröße, so bezeiche wir die zur Verteilugsfuktio vo T zugehörige Fuktio mit k t PT t P k mit t Brigt ma u die schwer erarbeitete Dichtefuktio mit is Spiel, so folgt: t k k Pp k t tdt mit t Ud somit: P 8 tdt t t Da aber u bei diesem Asatz die Hälfte der Rechtecksfläche bei t uberücksichtigt bleibt, ist es zweckmäßig, we ma die halbe Rechtecksbreite och zu userem Wert für t dazu addiert. Ma erhält somit t k k 0,5 k 0,5 Pp k t tdt mit t Bemerkug: Die Additio vo heißt Stetigkeitskorrektur. Sie diet dazu, die Summe der Rechtecksihalte dem Flächeihalt uter der stetige Kurve besser azupasse. Ud somit:, ,5 P 8,5 tdt 0,8945 (vgl. Tafelwerk Seite 5) 9

10 Normalverteilug Aus obiger Beziehug folgert ma u: k 0,5 k 0,5 Pp k k Pp k Pp k Diese Formel heißt itegrale Näherugsformel vo de Moivre-Laplace. Sie gilt für p 0;. große ud für Auf der like Seite muss der Stetigkeitsfaktor subtrahiert werde! Das ka ma sich a folgedem Beispiel wieder sehr gut klar mache. 8 P Aus k t,5 ud aus k 8 t Somit muss vom Rechteck bei t,5 liks dazugeomme werde, somit ist t,5,75 die halbe Rechtecksbreite 4 Ud für die rechte Greze gilt: t,5 4 t och ach t Also: 8 P 8,5,75,5,75 0,8945 0, P 8 0, P 8 0,85975 wahrer Wert! Setzt ma i der itegrale Näherugsformel k k k, so folgt: k 0,5 k 0,5 Pp k Damit lässt sich die lokale Wahrscheilichkeit mit der itegrale Näherugsformel bereche. 0

11 Normalverteilug Schaue wir us eimal de Graphe der Itegralfuktio t a. t t t Wie uschwer zu erkee ist folgt u: 0 lim t t t t für t 0 t t t t t Aufgabe: B 00;0,;6 ach. Bestimme Sie de Wert a) der Tabelle. b) der lokale Näherugsformel. c) der itegrale Näherugsformel. 000 P Bereche Sie 0,88 a) ohe Stetigkeitskorrektur. b) mit Stetigkeitskorrektur. 5. Ei Betrieb liefert Glühlampe i Kartos zu je 000 Stück. Der Ausschussateil sei %. Wir groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich i eiem Karto zwische 0 ud 40 defekte Glühlampe befide? 5 6. I der Budesrepublik Deutschlad wurde pro Jahr 6 0 Kider gebore. Die Wahrscheilichkeit eier Kabegeburt ist erfahrugsgemäß 0,54. Approximiere sie die Wahrscheilichkeit, dass die tatsächliche Azahl der Kabegeburte pro Jahr vom Erwartugswert um höchstes 000 abweicht. 007 BI 4 Die Brauerei B hat eie eue Etikettieralage, die bei 5% der Flasche das Etikett falsch aufklebt. Bereche Sie, wie viele Träger (Kaste mit 0 Flasche) ma dem Geträkemarkt liefer müsste, damit er mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 90% midestes 000 richtig etikettierte Flasche erhält. 5 Die Geschäftsleitug will u eie Imbissstad als zusätzliches Agebot eirichte. Dazu wurde 50 Kude befragt. Vo diese zeigte 0 Persoe Iteresse, der Rest lehte das Agebot ab. 5. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Azahl der Befürworter um höchstes 0,5% vom Erwartugswert abweicht, we ma vo eiem

12 Normalverteilug Kudestamm vo 5000 Persoe ausgeht ud de Wert der relative Häufigkeit bei der Umfrage als Wahrscheilichkeit iterpretiert. 5. Zur Eröffug des Imbissstades wurde i eier Werbeaktio 75 Gutscheie für eie Flasche Wei ausgegebe. Die Geschäftsleitug geht davo aus, dass 0% der Gutscheie icht eigelöst werde. Deshalb stehe ur 50 Flasche zur Verfügug. Bestimme Sie, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, dass die 50 Flasche icht ausreiche. 006 BII Um die Notwedigkeit eier Umgehugsstraße zu utersuche, wird a eier stark befahree Straße täglich zwische 6.0 Uhr ud 7.0 Uhr eie Verkehrszählug durchgeführt. A dem Kotrollpukt werde werktags im Mittel 765 Kraftfahrzeuge gezählt. Ma geht davo aus, dass die Azahl der täglich gezählte Fahrzeuge ormalverteilt ist. Die Wahrscheilichkeit dafür, dass a eiem Tag die Zählug um mehr als 0% vom Erwartugswert abweicht, beträgt 5%.. Ermittel Sie die Stadardabweichug vo.. Bereche Sie die Midestazahl der Tage, a dee ma eie Verkehrszählug durchführe müsste, damit a midestes eiem Tag eie Abweichug der Fahrzeugazahl vom Erwartugswert um höchstes 0% mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 99,9% auftritt. 006 BI Für das Turier werde Fußbälle beötigt, die besoders strege Aforderuge erfülle müsse, so muss z.b. die Masse zwische 45 g ud 45 g betrage. Ei Hersteller produziert Fußbälle, dere Masse aäherd ormalverteilt ist mit dem Mittelwert 45 g.. Wie groß darf die Stadardabweichug der Masse höchstes sei, damit der Hersteller höchstes 0% Ausschuss erhält? 00 BI Eie Zufallsgröße ist biomial verteilt mit = 0 ud der Trefferwahrscheilichkeit p = 0,7.. Bestimme Sie auf zwei verschiedee Arte die Wahrscheilichkeit P(75 77) auf zwei Nachkommastelle geau, ud gebe Sie de wesetliche Uterschied der Verfahre a.. Ermittel Sie ei möglichst kleies, zum Erwartugswert symmetrisches Itervall, i dem mit midestes 90prozetiger Wahrscheilichkeit die Azahl der Treffer liegt. 000 BI Die Kreiswehrersatzämter eies Bereichs muster pro Quartal juge Mäer. Erfahrugsgemäß äußer 40% die Absicht, Zivildiest leiste zu wolle.. Ermittel Sie ei möglichst kleies Itervall, i dem mit midestes 90% Wahrscheilichkeit die Azahl der Zivildiestleistede liegt.

13 Normalverteilug 999 BII Fridoli istalliert die eue Software vo Prima Soft. Wege eies Problems will er die Hotlie arufe, dere Nummer mit eier Wahrscheilichkeit vo 0% belegt ist. Fridoli immt sich vor, spätestes ach vier erfolglose Versuche aufzugebe. Bereche Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug für die Azahl der Wählvorgäge, we ma die Azahl auf 5 festsetzt für de Fall, dass er viermal icht durchkommt, ud ermittel Sie de Erwartugswert. (6 BE) Ei Fliesehersteller verpackt die produzierte Fliese eier Sorte i Pakete zu je 50 Stück. Dabei immt er folgede drei Uterscheiduge vor: Güteklass e Wahrscheilichkeit, dass eie beliebige Fliese des Paketes fehlerhaft ist Preis pro Paket i DM A 0,0 70 B 0,0 65 C 0,0 55. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite für folgede Ereigisse: E : I eiem Paket der Güteklasse C sid midestes 5 fehlerhafte Fliese. E : Werde eiem Paket der Güteklasse B 0 Fliese etomme, so sid daruter ur die letzte beide fehlerhaft.. Die Zufallsgröße Y bezeiche die Azahl der fehlerlose Fliese i eiem Paket der Güteklasse C. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit P( Y- ), wobei = E(Y) ud Var(Y) bedeute.. Bestimme Sie, wie viele Pakete Fliese der Güteklasse B midestes erforderlich sid, um mit midestes 95 % Wahrscheilichkeit midestes 000 fehlerfreie Fliese zur Verfügug zu habe. Utersuche Sie da, ob es bei gleicher Bedigug güstiger wäre, Fliese der Güteklasse A zu kaufe. 999 BI Eie Firma stellt Fahrraddyamos her, vo dee im Mittel 8,0 % defekt sid.. Eier Tagesproduktio werde zufällig 0 Dyamos etomme. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite, dass davo geau defekt sid bzw. dass davo midestes defekt sid.. Als Ursache für de Defekt eies Dyamos trete uabhägig voeiader etweder ei Fehler i der Mechaik M oder ei Fehler i der Elektrik E oder beide Fehler gleichzeitig auf. Es gilt P(M) =. Bereche Sie uter Berücksichtigug der Gesamtfehlerwahrscheilichkeit die Wahrscheilichkeit P(E) auf Dezimale.. Ei Fahrradhädler hat eie Lieferug vo 0 Dyamos getestet ud dabei festgestellt, dass Dyamos defekt sid. Durch ei Versehe wurde jedoch alle 0 Dyamos wieder i eie Schachtel gelegt ud köe äußerlich icht voeiader uterschiede werde. Utersuche Sie, ob die Ereigisse A: Vo drei zufällig der Schachtel etommee Dyamos sid midestes zwei itakt ud B: Vo drei zufällig der Schachtel etommee Dyamos ist midestes eier defekt stochastisch uabhägig sid, ud bereche Sie die bedigte Wahrscheilichkeit P A (B). (Hiweis: Die Etahme erfolgt acheiader ohe Zurücklege.).4 Für seie Produktio beötigt ei Fahrradhersteller 400 fuktioierede Dyamos. Bereche Sie, wie viele Dyamos ma bei obiger Firma bestelle muss, damit mit midestes 95% Wahrscheilichkeit weigstes 400 itakte Dyamos zur Verfügug stehe.