Die komplexwertige Gammafunktion

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1 Die komplexwertige Gammafuktio Christia Dombacher Nikolaus Leaugasse 8 A-3 Deutsch-Wagram 6..6 Ihaltsverzeichis Eiführug... DiereelleGammafuktio... 3 DiekomplexeGammafuktio GrudlegedeEigeschafte AalytischeFortsetzugderGammafuktio ProduktdarstellugderkomplexeGammafuktio DieGaußscheFormel SatzvoBohr-Mollerup DieVerdoppelugsformelvoLegedre DieStirligscheFormel.... Eiführug Die Gammafuktio, eher bekat als Verallgemeierug der Faktorielle, wurde vo L. Euler eigeführt. Eiige Jahre später betrachtete C.F. Gauß die Gammafuktio ereut, aber diesmal uter Eischluß der komplexe Zahle. K. Weierstraß betrachtete de Kehrwert der Gammafuktio ud zog daraus seie Schlüsse. Heute fidet die Gammafuktio Awedug i viele Gebiete, u.a. i der Wahrscheilichkeitsrechug (Gammaverteilug), i der Itegralrechug ud i der Aalysis (Lösug vo Reihe ud Produkte) [3].

2 Ausgehed vo eier Darstellug der Gammafuktio im Reelle soll dieser Artikel eie kurze Eiführug i die bestechedste Merkmale der komplexwertige Gammafuktio gebe. Eie elektroische Versio ka frei vo der Website Abteilug Resources bezoge werde.. Die reelle Gammafuktio Ausgehed vo der eulersche Darstellug der Gammafuktio Γ(a) = Z x a e x dx mit a> solle hier u eiige wichtige Merkmale der reelle Gammafuktio skizziert R werde. Durch Teilug des Itegratiositervalls a der Stelle ergibt sich Γ(a) = xa e x dx + R x a e x dx. Dabei kovergiert das erste Itegral geau für a>, fürdaszweiteitegralist R x e x dx eie kovergete Majorate für a [, + ) mit aus der Mege der atürliche Zahle ud >. Somit ergibt sich als Defiitiosbereich die positive reelle Achse [9]. Partielle Itegratio [8] liefert für x> mit Z x a e x dx = e x x a + a Z Γ() = = Γ(a + ) = aγ(a) Z e x dx = e x = x a e x dx (.) Wählt ma i. für a eie atürliche Zahl =, sofidet ma Γ( + ) =!. Im Folgede wird gezeigt werde, daß außerdem och gilt: Γ( )= π. Der zugehörige Beweis wird bis zur Behadlug der komplexwertige Gammafuktio aufgeschobe. Bild. zeigt eie graphische Darstellug der reelle Gammafuktio, wobei hier scho die Fortsetzug der Gammafuktio auf die egative Achse vorweggeomme wurde. Diese leitet sich aus der Produktdarstellug vo Gauß ab, die im Zuge der komplexwertige Gammafuktio behadelt wird.

3 Abbildug.: Die reelle Gammafuktio (Quelle: []) 3. Die komplexe Gammafuktio 3.. Grudlegede Eigeschafte Der Itegrad f(a, x) := x a e x erlaubt für positives x eie komplexe Fortsetzug, idem ma mit x a := e x log a defiiert, wobei ma für de komplexe Logarithmus de Hauptzweig am beste so festlegt, daß die egative reelle Achse herausgeschitte wird. Legt ma i dieser Form f(a, x) fest, so ka durch ei für Re(a) > kovergetes komplexwertiges Itegral R f(a, x)dx die Gammafuktio für alle solche komplexe Werte defiiert werde. Die komplexe Dif- ferezierbarkeit folgt aus Sätze der Itegralrechug (dazu siehe [9] ud [6]). 3.. Aalytische Fortsetzug der Gammafuktio Geauso wie für a> läßt sich für Re(a) > aus. durch partielle Itegratio für Re(z) >die Rekursiosformel Γ(z + ) =z(z + )...(z + )Γ(z) (3.) 3

4 Abbildug 3.: Die komplexe Gammafuktio (Quelle: []) herleite. 3. ka beützt werde, um die Gammafuktio auch für alle komplexe Werte vo z ugleich eier egative gaze Zahl durch Γ(z + ) Γ(z) = (3.) z(z + )...(z + ) zu defiiere. Offesichtlich hat Γ(z) eifache Pole für jede egative gaze Zahl ud ist asost auf der gaze komplexe Ebee defiiert. Γ(z) gehört damit der Klasse der meromorphe Fuktioe a []. Dies erklärt auch die Darstellug i Bild. für egative Werte vo a. Der Vollstädigkeit halber zeigt Bild 3. eie Darstellug der komplexe Gammafuktio Produktdarstellug der komplexe Gammafuktio Da die Nullstelle vo si πz alle gaze Zahle sid ud es sich bei diese ur um eifache Nullstelle hadelt (die Ableitug cos πz verschwidet icht für gazes π z), hat ausschließlich eifache Pole a de selbe Stelle. Aus 3. wisse si πz wir, daß Γ(z) für egative gaze Zahle eifache Polstelle besitzt. Es ist daher ahelieged, eie Zusammehag zwische beide Fuktioe zu vermute. 4

5 Ausgehed vo der Produktdarstellug [6] si πz = πz Q ³ + z versucht ma, eie möglichst eifache Fuktio G(z) zu fide, die eifache Nullstelle bei alle egative gaze Zahle aufweist, G(z) = Y ³ + z e z si πz Da G( z) Nullstelle bei alle positive gaze Zahle aimmt, ka u πz si πz als Produkt vo G(z) ud G( z) geschriebe werde, d.h. = zg(z)g( z). π Dem Beweis vo [7] folged, erket ma, daß G(z ) ebe eier zusätzliche Nullstelle im Ursprug die selbe Nullstelle wie G(z) aufweist. Somit ist G(z ) zg(z) eie gaze Fuktio bzw. läßt sich zu eier solche fortsetze, da alle Sigularitäte hebbar sid. Des weitere besitzt G(z ) keie Nullstelle. Da u ka zg(z) jede Fuktio, die im Komplexe icht verschwidet, i die Form e γ(z) mit eier passedegazefuktio γ(z) gebracht werde ka, ergibt sich G(z ) =ze γ(z) G(z) (3.3) Um γ(z) zu bestimme, bildet ma auf beide Seite die logarithmische Ableitug (log(g(z ))) = G (z ) G(z ) = X (log(ze γ(z) G(z)) = z + γ (z)+ X z + z + ud setzt diese gleich X z + = z + γ (z)+ X z + EiIdexwechseliderlikeSumme( ersetze durch + ) ergibt X z + = z + X z + + = z + X z + X (3.4) (3.5)

6 = z + X z + + = z + X z + ud damit im Vergleich mit der rechte Seite vo Gleichug 3.5 γ (z) =,d.h. γ(z) =γ kostat. Somit reduziert sich 3.3 zu G(z ) =ze γ G(z) (3.6) Auswertug des rechte Terms a der Stelle z = ergibt e = G() = Y + e γ k k k= wobei das -te Partialprodukt die Form (+)e (+/+/3+...+/) aimmt. Logarithmiere liefert log e γ = lim log e (+/+/3+...+/) e γ = lim ( log ) (3.7) Dabei bezeichet γ die Eulersche Kostate, dere Wert sich aäherd auf beläuft. Ist H(z) eie beliebige meromorphe Fuktio mit eifache Pole ud Nullstelle, welche der Fuktioalgleichug H(z ) =zh(z) (3.8) geügt, ud setzt ma G(z) :=H(z)e γz,soerfülltg(z) offesichtlich die Fuktioalgleichug 3.6. Nu gilt Gleichug 3.8 auch für H(z) := ud führt zγ(z) schlußedlich zur bekate Relatio Γ(z+) =zγ(z). Diese Gleichug etspricht der komplexe Variate vo Gleichug., sodaß Γ(z) u als komplexe Gammafuktio bezeichet werde ka. Eisetze vo H(z) ud da vo G(z) liefert die explizite Produktdarstellug der Gammafuktio Γ(z) = e γz z Y 6 ³ + z z e (3.9)

7 ud si πz π = zg(z)g( z) wird zu Γ(z)Γ(z ) = π (3.) si πz Aus dem Ausdruck 3. lasse sich auf eifache Weise weitere Merkmale der Gammafuktio ableite, die auch für de reelle Fall iteressat sid [6]: A der Stelle z = immt 3. de Wert π a, d.h. Γ( )= π. Aus si z = cos(z + π) ud 3. folgt Γ( + z)γ( z) = Γ(z)Γ( z) = π si πz π cos πz sowie Die logarithmische Ableitug der Gammafuktio läßt sich u auch auf eifache Weise aus der Idetität log( )=log log(h(z)) = log(h(z)) ud H(z) der Darstellug vo H(z) bzw. vo G(z) aus Gleichug 3.4 gewie Ψ(z) :=(logγ(z)) = Γ Γ (z) = γ z X z + (3.) Die zugehörige Ableitug lautet Ψ (z) = X = (z + ) (3.) Diese Reihe kovergiert ormal, da meromorphe Fuktioe gliedweise differeziert werde dürfe [6] Die Gaußsche Formel Ausgehed vo der explizite Produktdarstellug der Gammafuktio läßt sich die Gaußsche Formel leicht ableite: aus Gleichug 3.9 folgert ma Γ(z) = e γz z = e γz z = lim k lim ky k lim ky k ³ + z z e e z z + e γz k! z(z + )...(z + k) ez(+/+...+/k) 7

8 = lim k k! z(z + )...(z + k) ez( γ++/+...+/k) k!k x k) = lim ez( γ++/+...+/k log k z(z + )...(z + k) Eisetze vo Gleichug 3.7 führt zur edgültige Darstellug der Gaußsche Formel für die Gammafuktio k!k z Γ(z) = lim (3.3) k z(z + )...(z + k) wobei hier die bereits bekate Polstelle z =,,,... aus dem Defiitiosbereich auszuschliesse sid Satz vo Bohr-Mollerup Eie eifache, eideutige Charakterisierug der Gammafuktio wurde vo H. Bohr ud J.Mollerup gefude: Theorem 3. (Bohr-Mollerup). Eie auf (, ) defiierte logarithmisch kovexe Fuktio f(x) ist gleich der Gammafuktio Γ(x), sofere sie folgede Kriterie erfüllt f() = f(x + ) =xf(x) für alle x Beweis. Aus 3. folgt Ψ (x) > für alle x>. Daraus folgt wiederum die Mootoie (steiged) der logarithmische Ableitug Ψ(x) = (logγ(x)). Somit ist log Γ(x) eie kovexe Fuktio. Aus f() = ud der Fuktioalgleichug vo f leitet sich f( + ) =Γ( + ) =! für alle atürliche ud die folgede Rekursiosformel ab f(x + ) =x(x + )...(x + )f(x) (3.4) womit im Vergleich mit Formel 3. ei weiterer Hiweis auf die Gammafuktio gegebe ist. Somit geügt es, die Gleichug f(x) =Γ(x) für reelles x mit <x5 achzuweise []. Daach folgt die Gleichug für Werte x > durch Verwedug der Rekursiosformel 3.4 ud 3.. Sei x wie 8

9 zuvor defiiert ud >. Aus der logarithmische Kovexität vo f(x) folgt u log f( ) log f() ( ) 5 log f(x + ) log f() (x + ) 5 log f( + ) log f() ( + ) Aus Formel 3.4 folgt u f(m) =(m )! für jede atürliche Zahl m = ud damit ergibt sich aus vorageheder Ugleichug log f(x + ) log( )! log( )!+log( )! 5 5 log! log( )! x x log( ) 5 log f(x + ) log( )! 5 x log x log( )+log( )! 5 log f(z + ) 5 x log +log( )! Awede vo Formel 3.4 ergibt ( ) x ( )! 5 f(x + ) 5 x ( )! ( ) x ( )! x(x + )...(x + ) 5 f(x) 5 x ( )! x(x + )...(x + ) Dabei zeigt sich, daß f(x) uabhägig vom Idex ist ud somit die gewoee Ugleichug für alle = gilt. Durch Substitutio vo ( ) durch auf der like Seite ud Erweiterug auf der rechte Seite folgert ma x! x(x + )...(x + ) 5 f(x) 5 x! x(x + )...(x + ) x + Eisetze der Gaußsche Formel ergibt x + Γ(x) 5 f(x) 5 Γ(x) Läßt ma u gehe ud beachtet ma, daß lim x+ k = ist, so folgt f(x) =Γ(x) für <x5 ud damit für alle x. Der agegebee Beweis wurde fast ausschließlich im Reelle geführt, die Awedug der komplexe Aalysis beschräkte sich auf de Nachweis der logarithmische Kovexität vo f(x), der allerdigs ohe diese Hilfsmittel wesetlich läger ausgefalle wäre. Ei Beweis, lediglich reelle Aalysis beützed, fidet sich i [8]. 9

10 3.6. Die Verdoppelugsformel vo Legedre Die Verdoppelugsformel vo Legedre schafft eiebezugzwischeγ(z) ud Γ(z)Γ(z + ). Dabei sei auch auf die allgemeiere Multiplikatiosformel vo Gauß für Γ(kz), mitk eie beliebige atürliche Zahl, higewiese. Weitere Iformatioe dazu sid i [6] ud [9] zu fide. Theorem 3. (Verdoppelugsformel vo Legedre). DiekomplexeGammafuktio Γ(z) geügt der Gleichug Γ(z) = z Γ(z)Γ z + (3.5) π Beweis. Sei F (z) := z Γ(z)Γ z + = Γ(z)Γ z + π π z Subsitutio vo w = z liefert F (w) = Γ w Γ w+ (3.6) π w Es ergibt sich folgede Rekursio für F w Γ w Γ w+ w + F (w + ) = Γ Γ π w ³ w ³ w = Γ F (w)γ + ³ w w ³ w = F (w) Γ = wf(w) Dies ist jedoch geau eie der Fuktioalgleichuge der Gammafuktio. Eisetze vo w = i F (w) liefert F () = πγ() π = Aus dem Satz vo Bohr-Mollerup folgt, daß der Zähler der rechte Seite der Gleichug 3.6 logarithmisch kovex ist. Somit bleibt lediglich der Neer

11 log π w zu überprüfe. Da die Kostate keie Eifluß habe, geügt es, de Ausdruck log w geauer zu betrachte. Ableite liefert w. Dieser Ausdruck steigt mooto mit w, somit ist die logarithmische Kovexität des Neers ud damit vo F (w) gezeigt. Awede des Satzes vo Bohr-Mollerup über die Eideutigkeit der Gammafuktio liefert u F (z) =Γ(z) Die Stirligsche Formel Die Stirligsche Formel wurde bereits 73 vo J. Stirlig für die Faktorielle bewiese [3] ud lautet! = e πϕ() Dabei bezeichet ϕ() eie Fuktio mit lim ϕ() =. Je größer, desto besser die Approximatio also. Uter Ausutzug der Idetität e = läßt sich die Stirligsche Formel auch so aschreibe! = e πe ψ() mit lim ψ() = Davo ausgehed liegt es ahe, eie Verallgemeierug der Stirligsche Formel für die Gammafuktio wie folgt zu formuliere Γ(z) =az z e z e (z) mit lim (z) =ud Re(z) > (3.7) z Diesem Asatz folged ist es otwedig, de Koeffiziete a sowie die Fuktio (z) zu bestimme ud letztere Fuktio auf Kovergez gege für z zu überprüfe [6]. Basiered auf Gleichug 3.7 ud uter der Aahme der Kovergez, muß die Fuktio (z) vo folgeder Bauart sei h(z) :=logγ(z) z log z + z c (3.8) Dabei etspricht c := log a. Der Defiitiosbereich vo h(z) umfaßt gaz C mit Ausahme der egative reelle Achse (bezeichet als C ). Im erste Schritt soll die Kostate a uter der Aahme lim x h(x) =für ei reelles x gefude werde. Dazu zeigt ma, daß lim (h(x + ) h()) = für x (, )

12 gilt. Eisetze liefert lim x log Γ(x + ) log Γ() + log(x + )+ log + x = lim log Γ(x + ) log Γ() x log x + ³ log + x + x (3.9) Setzt ma Gleichug 3. i die Gaußsche Produktdarstellug 3.3 ei, so erhält ma! z Γ(z) = lim z(z + )...(z + ) = lim! z Γ(z) Γ(z + + ) Logarithmiere ergibt = = lim = lim! z Γ(z + + ) = lim ( + )Γ() z (z + + )Γ(z + ) Γ() z = lim Γ(z + ) = Γ( + ) z Γ(z + + ) g (z) := lim (log Γ()+zlog Γ(z + )) = Somit bleibt der Term g (x) :=x lim x + log + x zu betrachte. Dazu teilt ma g (x) wie folgt auf g (x) = x lim ³ log + x = x log e x lim x + ³ log + x ³ log + x ud wedet für de letzte Term die Regel vo L Hospital a lim ³ log + x = lim + x / ( ) = Also gilt g (x) =x x =ud i weiterer Folge lim (h(x + ) h()) = g (x) +g (x) =. I der weitere Betrachtug ka die Grezwertbildug lim x h(x) =u auf x =, N beschräkt werde.

13 Somit stellt sich die Frage, ob die Kostate a so gewählt werde ka, daß lim h() = wird. Dazu wedet ma die Legedre sche Verdoppelugsformel 3.5 auf Γ(z) =az z e z e h(z) mit h(z) wie i Gleichug 3.8 defiiert a. Dies führt zu a(z) z e z e h(z) = a z z z + z e z e z e h(z) e h(z+ ) z π = e h(z) = a + z ee h(z) e h(z+ ) π z = πee h(z) h(z) h(z+ ) = a + z z Mit lim x + x x = e ud der Aahme limx h(x) =folgt π = a = e c. Somit ergibt sich für (z) folgeder Ausdruck (z) =logγ(z) z log z + z log π der bis auf eie additive Kostate πik (k bezeichet eie gaze Zahl) eideutig bestimmt ist. Im zweite Schritt gilt es u zu zeige, daß das gefudee (z) auch wirklich gege für z kovergiert. Dazu wird (z) i eie Reihe etwickelt. Sei g(z) := (z) (z + ). Dahatg(z) folgede Gestalt g(z) = logγ(z) log Γ(z + ) z log z + = log Γ(z) zγ(z) z log z + z + = z + z + log z wobei (z) = (z + ) +g(z) sich rekursiv erweiter läßt X (z) =(z + )+ g(z + k) k= z + log(z + ) log(z + ) Da (z) beschräkt ist, folgt die Kovergez lim (z + ) =aus der Kovergez der Gudermasche Reihe X X g(z + k) = z + k + z + k + log (3.) z + k k= k= 3

14 Dazu wird zuächst gezeigt, daß g(z) eie Itegraldarstellug besitzt Z g(z) = t dt (3.) (z + t)(z + t) Beweis. Die elemetare Itegratio sei hier vorgeführt. Dazu wird das Itegral i zwei Terme gespalte ud im zweite Term Gebrauch vo der Substitutio t = u gemacht. Z g(z) = = Z = t dt = (z + t)(z + t) ( t + z z) t (z + t)(z + t) Z Z dt Z ((z + t) (z + t)) t dt (z + t)(z + t) Z t t (z + t)(z + t) dt (z + t) = t (z + t)(z + t) dt + (z + t) t (z + t)(z + t) dt Z = t Z (z + t) dt t (z + t) dt Z = t Z (z + t) dt + u Z (z + u) du = t (z + t) dt Z z + = z t Z Ã! z + dt = (z + t) (z + t) dt = z + log(z + t) = z + z + log z = g(z) Ausgehed vo (x + t)(x + t) =x(x + )+t( t) = x(x + ) für alle reelle x ud t [, ] läßt sich für g(x), dargestellt durch das Itegral 3., eie eifache Abschätzug fide Z < g(x) = 5 x(x + ) Z 4 t dt (3.) (x + t)(x + t) dt t

15 = x x + 4 t t + = x x + 4 t3 Um für komplexes z eie Abschätzug des Betrags g(z + k) zu gewie, wird u die Ugleichug z + t = ( z + t)cos ϕ für alle t = (3.3) hergeleitet. Dabei bezeichet ϕ de Wikel der Polardarstellug vo z, d.h. z = z e iϕ. Beweis. Sei r := z ud t =. Da gilt z + t = p r + t +rt cos ϕ ach dem Kosiussatz. Nu wird der Wurzelausdruck abgeschätzt p r + t +rt cos ϕ = p (r + t) rt( cos ϕ) r = (r + t) 4rt si ϕ r = (r + t) +4rt cos ϕ 4rt = r (r + t) +4rt 4rt cos ϕ = (r + t)cos ϕ Nu wird die Ugleichug 3.3 dazu verwedet, um für komplexes z de k- te Term g(z + k), die Itegraldarstellug 3. beützed, betragsmäßig wie folgt abzuschätze Z g (z + k) 5 t z + k + t z + k + t dt 5 cos ϕ Z t ( z + k + t)( z + k + t) dt = cos ϕ g ( z + k) 5

16 Abschätze mittels der ebe gewoee Ugleichug sowie des Ausdrucks 3. ergibt X g (z + k) 5 cos ϕ X g (z + k) 5 cos ϕ X g ( z + k) k= k= k= 5 z + k = z + k + z Hiermit ergibt sich die absolute Kovergez der Gudermasche Reihe als Kosequez der Abschätzug für P g (z + k). Damit kovergiert auch die Fuktio (z) für z. Die verallgemeierte Stirligsche Formel für komplexe z lautet u Γ(z) πz z e z I der Literatur gibt es och weitere Beweise für die Stirligsche Formel. Eie kostruktive Beweis gibt [], Beweise für die reelle Variate der Stirligsche Formel gebe [8] ud [4]. Literaturverzeichis [] Markushevich A.I. - Theory of Fuctios I-III - Chelsea Publishig [] Coway J.B. - Fuctios of Oe Complex Variable I - Spriger 978 [3] Schlömilch O. - Theorie der Gammafuktioe - Leipzig 848 [4] Srivastava H.M., Kashyap B.R.K. - Special Fuctios i Queueig Theory - Academic Press 98 [5] Remmert R., Schuhmacher G. - Fuktioetheorie I - Spriger [6] Remmert R. - Fuktioetheorie II - Spriger 99 [7] Alfohrs L. - Complex Aalysis - McGrawHill 966 [8] Erwe Friedhelm - Differetial- ud Itegralrechug Bad - BI Hochschultaschebuch Bad 3, 96 [9] Mlitz R. - Aalysis 3, Skriptum zur Vorlesug - TU Wie 3 6

17 [] Wikipedia Freie Ecyklopädie - Die Gammafuktio - [] Nevalia R., Paatero V. - Itroductio to Complex Aalysis - Addiso Wesley 969 [] Courat R., Joh F. - Itroductio to Calculus & Aalysis I+II, Spriger [3] Kuth D. - The Art Of Computer Programmig, Vol., Fudametal Algorithms - Addiso Wesley 973 [4] Kopp K. - Theorie ud Awedug der uedliche Reihe - Spriger 996 [5] Weierstraß K. - Über die Theorie der aalytische Facultäte - Crelle J. LI 856 [6] Mlitz R. - Aalysis, Skriptum zur Vorlesug - TU Wie 7