1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2018

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1 1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Sei n IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) (n 1)+n = n(n+1), 2 (b) (n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6 ( n(n+1) ) 2, (c) (n 1) 3 +n 3 = 2 (d) n+(n+1)+(n+2)+...+(2n 1)+2n = 3 ( (n 1)+n). (e) Zeigen Sie: Addiert man alle ungeraden natürlichen Zahlen von 1 bis k, dann ergibt sich eine Quadratzahl. (f) Addiert man im Pascalschen Dreieck die 1. Zahl in der 4. Reihe, die 2. Zahl in der 5. Reihe usw. bis zur 7. Zahl in der 10. Reihe, so ergibt sich als Summe gerade die Zahl, die in der 11. Reihe an 8. Stelle steht. Das ist kein Zufall, denn es gilt für alle m,n IN 0 m ( ) ( ) n+k n+m+1 =. k n+1 Zeigen Sie diese Beziehung. k=0 2. Sei n IN. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) n 1 +2 n = 2 n+1 1, (b) n 1 +5 n = 5n (c) ( 1 3, ( ) n 1 ( 1 n 1 + = 3) ) n+1 (d) Stellen Sie eine Formel auf, die die drei vorigen Beziehungen zusammenfasst.. 3. Bei dem Spiel Turm von Hanoi sitzen auf einem von drei Stäben n verschieden große kreisförmige Scheiben, und zwar die kleinste oben, die größte unten. Alle Scheiben sollen nun auf einen anderen Stab transportiert werden, wobei bei jedem Schritt nur eine Scheibe bewegt werden darf, nie eine größere Scheibe über einer kleineren Scheibe liegen darf. Zeigen Sie: Die Aufgabe läßt sich in 2 n 1 Schritten lösen. 4. Eine Mathematikstudentin benötigt für BAFöG ein Gutachten. Der zuständige Professor sagt ihr: Sie erhalten das Gutachten, wenn Sie die folgende Aufgabe lösen: Ich habe drei Söhne, deren Alter (in ganzen Jahren) Sie erraten sollen. Das Produkt der drei Alter ist gleich der Hörerzahl, die ich am Semesterbeginn hatte und die Summe der Alter ist gleich der Hörerzahl am Semesterende.

2 Die Studentin weiß, dass zum Semesteranfang 72 Hörer anwesend waren, und sie kennt auch die Hörerzahl am Semesterende. Obwohl sie sehr begabt ist, antwortet sie: Ich kann das Problem nicht lösen. Gut, sagt der Professor, dann gebe ich Ihnen einen Tip : Mein ältester Sohn heißt Thomas. Aha, antwortet die Studentin. Dann sind Ihre Söhne a, b und c Jahre alt. Wie groß sind a, b und c und wie erhält man die Lösung? ( a+b ) 2 ( a b ) Zeigen Sie: Für alle a,b IN gilt a b = (a) Zeigen Sie, dass sich jede ungerade natürliche Zahl k mit k > 1 als Differenz von zwei Quadraten natürlicher Zahlen schreiben lässt. Überlegen Sie, dass es mehrere Lösungen geben kann, und geben Sie Beispiele für k an, für die das zutrifft. Anleitung: Aufgabe 5. (b) Zeigen Sie, dass sich keine der Zahlen 6, 18, als Differenz von zwei Quadraten natürlicher Zahlen schreiben lässt. (c) Zeigen Sie: Eine gerade Zahl lässt sich genau dann eindeutig als Differenz von zwei Quadraten natürlicher Zahlen schreiben, wenn sie das Vierfache einer Primzahl oder eines Primzahlquadrats ist. 7. Sei n IN eine natürliche Zahl. Dann ist genau eine der (a) zwei Zahlen n, n+1 Vielfaches von 2, (b) drei Zahlen n, n+1,n+2 Vielfaches von 3, (c) vier Zahlen n, n+1, n+2, n+3 Vielfaches von Zeigen Sie: In jedem Jahr gibt es mindestens einen Freitag, den (a) Welche Zahlen sind als Summe von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellbar? (b) Zeigen Sie: Eine natürliche Zahl ist genau dann als Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellbar, wenn sie ganzzahliges Vielfaches von 3 ist. (c) Finden Sie eine entsprechende Bedingung für die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen und beweisen Sie sie. (d) Welche der Zahlen 1785, 2946, 512 ist als Summe von mindestens zwei aufeinanderfolgenden Zahlen darstellbar? Abgabe der Aufgaben 1f, 4, 6b,c, 9d bis 26.4., vor der Vorlesung

3 2. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Aus den Ziffern 1,2,3,4,5,6,7,8,9sind drei dreistellige Zahlen a = (a 1 a 2 a 3 ), b = (b 1 b 2 b 3 ), c = (c 1 c 2 c 3 ) zu bilden, so dass die Summe a+b+c gleich (a) 918, (b) 999, (c) 1000 (d) 888 ist. Jede der Ziffern darf insgesamt genau einmal vorkommen. Geben Sie a,b,c an und begründen Sie Ihre Antwort. Beispiel: Die Zahlen a = 123, b = 456, c = 789 haben die Summe 1368, die Zahlen a = 125, b = 374, c = 689 die Summe (a) Geben Sie eine natürliche Zahl n IN an, so dass gilt (3 2 ) n und (4 2 ) (n+1) und (5 2 ) (n+2). (b) Geben Sie alle natürlichen Zahlen n IN an, so dass gilt 3 n und 4 (n+1) und 5 (n+2). (c) Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt natürliche Zahlen n IN mit (2 2 ) n und (3 2 ) (n+3) und (4 2 ) (n+6)? (6 Punkte) 12. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen: Für alle ganze Zahlen a, b, c Z gilt (a) a b und a c = (a 2 ) (b c). (b) a (b c) = a b oder a c. (c) a b und a c = a (3b+5c). (d) a b und a c = a (b+c). (e) a b und a c = a (b+c). (f) 7 (2a+6b) 7 (8a+3b). 13. Aus den Zahlen von 1 bis 100 werden 51 aufeinanderfolgende ausgewählt. Zeigen Sie, dass unter ihnen zwei sind, von denen die eine doppelt so groß ist wie die andere. Gilt das auch, wenn man 50 aufeinanderfolgende Zahlen auswählt? 14. Zeigen Sie: Für m,n IN gilt: (a) m n 1 ist ganzzahliges Vielfaches von m 1. (b) m n +1 ist ganzzahliges Vielfaches von m+1 genau dann, wenn n ungerade. (1 Punkt) Abgabe der Aufgaben 10a,d, 11b,c, 12f, 13 bis 3.5., vor der Vorlesung

4 3. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Bestimmen Sie mit Hilfe des Siebs von Eratosthenes alle Primzahlen kleiner als Bestimmen Sie alle a,b,n IN mit a!+b! = 2 n. 17. Seien p,q Primzahlen und es gelte p > 3, q > 3. Zeigen Sie: 24 teilt p 2 q Zeigen Sie: Jedes Produkt von 7 beliebigen unmittelbar aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist durch 5040 teilbar. 19. Sei n IN fest. Geben Sie alle Primzahlen p an, die möglicherweise gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen n und n+42 sind. (1 Punkt) 20. (a) Untersuchen Sie, welche der Zahlen 2 n 1, 1 n 13, Primzahlen sind. Schreiben Sie die zusammengesetzten dieser Zahlen als Produkt ausschließlich von Primzahlen. (b) Schreiben Sie 32! als Produkt ausschließlich von Primzahlen. 21. Sei n IN eine zusammengesetzte natürliche Zahl, p ihr kleinster Primfaktor, und es gelte p > 3 n. Beweisen Sie: n p ist eine Primzahl. 22. Bestimmen Sie 14 verschiedene natürliche Teiler der Zahl , die kleiner als 100 sind. Hinweis: Seien m,n IN, a Z. Zeigen Sie: Aus m n folgt (a m 1) (a n 1). 23. Sei n IN. Zeigen Sie: (a) Sind p 1,p 2,...,p n Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 ergeben, dann teilt keine dieser Primzahlen die Zahl m = 4 p 1 p 2... p n 1. (b) Sind p 1,p 2,...,p n Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 ergeben, dann ergibt ihr Produkt p 1 p 2... p n ebenfalls den Rest 1 bei Division durch 4. (c) Es gibt unendlich viele Primzahlen, diesich inder Form4k 1 mit geeignetem k IN darstellen lassen.

5 24. Eine Zahl der Form F k := 2 2k +1, k IN 0, heißt Fermatsche Zahl. Zeigen Sie: (a) Für k 2 gilt (b) Es gilt F k = (F k 1 1) 2 +1 = F 2 k 1 2(F k 2 1) 2. F 0 F 1... F k = F k+1 2. (c) Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen F k und F l sind teilerfremd. Abgabe der Aufgaben 16, 18, 19, 20, 22, 24c bis 8.5., vor der Vorlesung

6 4. Übung Elemente der Zahlentheorie SS (a) Schreiben Sie jede der geraden Zahlen zwischen 83 und 117 als Summe von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen. (b) Beweisen Sie: Jede gerade Zahl größer 2 läßt sich als Summe von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen schreiben. (c) Bestimmen Sie alle ungeraden Zahlen zwischen 85 und 125, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen! (d) Zeigen Sie: Gilt Aussage (b), dann läßt sich jede natürliche Zahl größer 5 als Summe von drei Primzahlen darstellen läßt. 26. Geben Sie alle Möglichkeiten an, die Zahlen (a) 137, (b) 273, (c) 120, (d) 462 als Differenz von zwei Quadratzahlen natürlicher Zahlen, also in der Form n = a 2 b 2, a,b IN zu schreiben. 27. Sei a = Berechnen Sie die (a) Anzahl der natürlichen Zahlen, die Teiler von a sind, (b) Anzahl der durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen, die Teiler von a sind, (c) Anzahl der natürlichen Zahlen, die Vielfaches von 55 und Teiler von a sind, (d) Anzahl der natürlichen Kubikzahlen, die Teiler von a sind. 28. Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n IN mit (a) 100 < n < 200 und τ(n) = 6, (b) τ(n) = 20, σ(n) = 4920 und 12 n, 29. (a) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n, die genau 11 natürliche Teiler haben. Wie groß ist dann σ(n)? (b) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n mit τ(n) = 20 und σ(n) < (c) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, in deren kanonischen Primfaktorzerlegung genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau 30 natürliche Teiler haben. 30. Gegeben seien die natürlichen Zahlen m,n IN mit τ(m 2 ) = 18, τ(n 2 ) = 45. Berechnen Sie alle möglichen Werte von τ(m), τ(n), τ(m 3 ) und τ(n 3 ). (6 Punkte)

7 31. Auf einem Brett befinden sich 2473 Lämpchen, die von 1 bis 2473 durchnummeriert sind. Zunächst sind alle Lämpchen aus. Dann werden alle, deren Nummer durch 1 teilbar ist (also überhaupt alle) eingeschaltet. Beim 2. Schritt werden alle, deren Nummer durch 2 teilbar ist, ausgeschaltet. Allgemein: Beim k-ten Schritt wird jedes Lämpchen, dessen Nummer durch k teilbar ist, umgeschaltet von an nach aus oder von aus nach an, je nachdem, ob es gerade brennt oder nicht. Frage: Welche Lämpchen brennen nach 2473 solchen Schritten? Abgabe der Aufgaben 25a,b, 26, 27, 29 bis 17.5., vor der Vorlesung

8 5. Übung Elemente der Zahlentheorie SS (a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen a IN an mit ggt(a,270) = 18. (b) Zeigen Sie: Für alle a,b,c IN gilt ggt(ggt(a,b),c) = ggt(a,b,c). 33. Sei a = , b = (a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von a und b i. mit Hilfe der Primfaktorzerlegung von a und b, ii. mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. (b) Stellen Sie ggt(a, b) als ganzzahlige Linearkombination von a und b dar. (c) Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b. 34. Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ggt(5390, 1365, 2499). 35. (a) Beweisen Sie: Sind a,b,c IN paarweise teilerfremd, dann gilt ggt(a,b,c) kgv(a,b,c) = a b c. (b) Zeigen Sie an einem Gegenbeispiel, dass die Aussage (a) im allgemeinen für teilerfremde, aber nicht paarweise teilerfremde a, b, c nicht gilt. 36. Zeigen Sie: Für alle n IN gilt ggt(n 5 +4n 4 4n 3 6n 2 2n 20,n 3 +4n 2 5n 11) = (a) Zeigen Sie: Ist x 0 IQ Nullstelle des normierten Polynoms p(x) = x n + a n 1 x n a 1 x+a 0 mit ganzzahligen Koeffizienten a 0,a 1,...,a n, dann ist x 0 ganzzahlig und Teiler von a 0. (b) Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen von p(x) = x 4 x 3 7x 2 +x+6. (c) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung 2x 3 9x 2 +9x 7 = Gegeben sei die natürliche Zahl a = (a n a n 1...a 1 a 0 ) IN mit den Ziffern a n,...a 1, a 0. (a) Weiter sei a die Zahl, die entsteht, wenn man die Einerziffer a 0 von a streicht und anschließend 2a 0 abzieht. (Beispiel: a = mit a 4 = 3, a 3 = 4, a 2 = 0, a 1 = 5, a 0 = 5, a = = 3395.) Zeigen Sie: a ist Vielfaches von 7 genau dann, wenn a Vielfaches von 7 ist.

9 (b) Ist n = 3k+r und A 0 := (a 2 a 1 a 0 ), A 1 := (a 5 a 4 a 3 ),..., A k := (a 3k a 3k 1 a 3k 2 ), A die Zahl aus den restlichen r Ziffern, dann heißt S 3 (a) := A 0 A 1 +A 2...±A k A alternierende 3-Quersumme von a. (Beispiele: a = A 0 = 567, A 1 = 234, A = 1 S 3 (a) = = 334, a = A 0 = 678, A 1 = 345, A = 12 S 3 (a) = = 345, a = A 0 = 789, A 1 = 456, A 3 = 123, A = 0 S 3 (a) = = 456.) Zeigen Sie: a ist genau dann Vielfaches von 7, wenn S 3 (a) Vielfaches von 7 ist. (7 Punkte) Abgabe der Aufgaben 32 a, 33, 36, 38 bis 29.5., vor der Vorlesung

10 6. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Seien m,n,d IN\{1}, a,b Z. Beweisen Sie: (a) Gilt a b mod m und d m, dann auch a b mod d. (b) Gilt ggt(m,n) = 1, a b mod m und a b mod n, dann auch a b mod m n. 40. Stellen Sie die Verknüpfungstafeln auf für die Addition und die Multiplikation der Restklassen (a) modulo 11 (b) modulo 12. Welche Elemente sind Nullteiler? 41. Der Geburtstag von Carl F. Gauß ist der 30. April Auf welchen Wochentag fiel das? Begründen Sie Ihre Antwort! 42. Bestimmen Sie die Wochentage vom Geburtstag und Todestag von Leonhard Euler. 43. Sei n IN eine beliebige natürliche Zahl. (a) Welcher RestkannbeiDivisionvonn 2 durch5bzw. durch6bzw. durch11auftreten? Begründung? (b) Zeigen Sie: In der Folge 1,4,6,9,11,14,16,19,21,... kommen unendlich viele Quadratzahlen vor. (c) Zeigen Sie: In der Folge 5,11,13,17,23,24,29,35,41,46,47,53,57,59,65,68,71,77,79,83,89,90,95,101,... kommt keine Quadratzahl vor. (d) Zeigen Sie ohne Benutzung eines Taschenrechners oder ähnlichem: Keine der Zahlen a = , b = , c = ist Quadrat einer natürlichen Zahl. (6 Punkte) Abgabe der Aufgaben 40, 42, 43 bis 7.6., vor der Vorlesung

11 7. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Ein Zahnrad mit 12 Zähnen treibt ein anderes Zahnrad mit 40 Zähnen an. Bei Stillstand werden die sich gerade berührenden Zähne gekennzeichnet. (a) Wie viele Umdrehungen muss jedes der Zahnräder mindestens machen, damit sich die gekennzeichneten Zähne wieder berühren? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Geben Sie eine Formel an, wenn das 1. Zahnrad k Zähne und das 2. l Zähne hat. 45. (a) Welcher Rest ergibt sich bei Division von durch 7? (b) Bestimmen Sie die letzten beiden Ziffern von (c) Zeigen Sie, dass durch 170 teilbar ist. 46. Beweisen Sie: (a) Für alle ungeraden ganzen Zahlen n Z gilt: 8 (n 2 1). (b) Es gibt keine Quadratzahl mit den letzten beiden Ziffern 19, 39, 59, 79 oder Bestimmen Sie den Rest bei Division von (a) 4! durch 5 (b) 5! durch 6 (c) 6! durch 7 (d) 7! durch Die folgenden Rechnungen sind richtig, allerdings sind einige Ziffern unleserlich und hier mit x, y oder z bezeichnet. Bestimmen Sie die fehlenden Ziffern: (a) 15! = x368y00. (b) = 29192x (c) = x yz. (d) 37xy9513z = 495 k mit k IN. 49. (a) Zeigen Sie: 13 ist ganzzahliger Teiler von (b) Bestimmen Sie alle n IN 0, so dass 19 ganzzahliger Teiler von 2 2n +3 ist. 50. Lösen Sie die lineare Kongruenz a x 2 mod 37 (5 Punkte) jeweils für a {2,3,5,10,13}.

12 51. Sei f(x) = x 4 +x 3 +x 2 +x+1, x IN 0. (a) Für welche x ist f(x) durch 5 teilbar? (b) Zeigen Sie: f(x) ist niemals durch 25 teilbar. (c) Zeigen Sie: f(x 5 ) ist niemals durch 25 teilbar. Abgabe der Aufgaben 45, 48 b,d, 49, 50, 51 bis 14.6., vor der Vorlesung

13 8. Übung Elemente der Zahlentheorie SS p > 3 und q = p+2 seien Primzahlzwillinge. Zeigen Sie p q 1 mod Gegeben seien eine Balkenwaage und genügend viele Gewichte von 45g und 84g. Es ist erlaubt, in beide Waagschalen Gewichte zu legen. (a) Zeigen Sie, dass man mit diesen Gewichten 2000g nicht auswiegen kann. (b) Zeigen Sie, dass man sowohl 3000g als auch 18g auswiegen kann. Geben Sie jeweils alle Möglichkeiten an. (c) Geben Sie alle Möglichkeiten an, wenn man die Gewichte nur in eine Waagschale legen darf. 54. EinBauerkauftaufdemMarktPferdeundKühe.EinPferdkostet 270Euro,eineKuh170 Euro. Er gibt für die Kühe insgesamt 110Euro mehr ausals für die Pferde, aber höchstens für alle Tiere zusammen Euro. Wie viele Pferde und Kühe hat er gekauft? 55. Lösen Sie die diophantischen Gleichungen (a) 83x+255y = 202, (b) 1743x y = Bestimmen Sie alle Darstellungen der rationalen Zahl den Nennern 3 und 7. (1 Punkt) als Summe echter Brüche mit 57. Lösen Sie die diophantische Gleichung 15x+57y +39z = (a) Sei w IN {0}. Bestimmen Sie alle Lösungen und alle nichtnegativen Lösungen von 2x+3y = w. (b) Bestimmen Sie alle positiven Lösungen (x, y, z) der diophantischen Gleichung Hilfe: Setzen Sie w := 2x+3y. 2x+3y +7z = Dem Rechnungsprüfer einer Firma liegt eine Rechnung über 80 Teile im Gesamtwert von 690 Euro vor. Es wurden Rohre für je 14 Euro, Verbindungsrohre zu je 8,25 Euro und Halterungen zu je 1, 75 Euro gekauft, aber die jeweiligen Stückzahlen sind nicht aufgeführt. Geben Sie alle möglichen Liefermengen an! Abgabe der Aufgaben 54, 55 b, 56, 57, 59 bis 21.6., vor der Vorlesung

14 9. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Aus einem chinesischen Rechenbuch: Eine Bande von 17 Räubern stahl einen Sack mit Goldstücken. Als sie versuchten, die Beute zu gleichen Teilen aufzuteilen, blieben 3 Goldstücke übrig. Beim Streit darüber, wer ein Goldstück mehr erhalten sollte, verlor ein Räuber sein Leben. Bei dem Versuch, die Beute auf die verbliebenen Räuber gleichmäßig aufzuteilen, blieben 10 Goldstücke übrig. Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein Räuber sein Leben. Anschließend konnte die Beute vollständig zu gleichen Teilen aufgeteilt werden. Wie viele Goldstücke waren mindestens im Sack? 61. Bestimmen Sie alle Lösungen der simultanen Kongruenz (a) 10x 4 mod 6 8x 7 mod 9 (b) 9x 9 mod x 41 mod 45 15x 25 mod 35 20x 76 mod Geben Sie alle ganzen Zahlen c an, für die folgendes System von linearen Kongruenzen lösbar ist: 7x 2 mod 20 11x c mod 15 Geben Sie für zwei verschiedene mögliche Werte von c die zugehörigen Lösungen x an! 63. Eine zahlentheoretische Funktion f : IN IR heißt additiv, wenn für beliebige teilerfremde m,n IN gilt f(m n) = f(m)+f(n). (a) Zeigen Sie: Ist f additiv, dann gilt f(1) = 0. (b) Zeigen Sie: Sei ω(n) die Anzahl der verschiedenen Primteiler von n, dann ist ω additiv. (c) Berechnen Sie ω(p α ) für eine beliebige Primzahlpotenz. 64. Für k IN 0, n IN, sei σ k (n) := d IN,d n Beweisen Sie: σ k ist multiplikativ, aber nicht streng multiplikativ. d k.

15 65. Sei ψ(1) := 1 und für n IN, n > 1, sei ψ(n) := n und für n IN, n > 1, sei ψ(n) := n (a) Berechnen Sie ψ(n) für 1 n 15. (b) Zeigen Sie: ψ(n) > n für alle n > 1. p prim,p n (c) Berechnen Sie ψ(p k ) für p prim, k IN. (d) Zeigen Sie: Für n > 2 ist ψ(n) gerade. (1+ 1 p ). p prim,p n (1 + 1 ). Sei ψ(1) := 1 p (e) Zeigen Sie: ψ : IN IN ist multiplikativ, aber nicht streng multiplikativ. (5 Punkte) 66. (a) Berechnen Sie ϕ( )! (b) Bestimmen Sie 4 natürliche Zahlen n mit ϕ(n) = 16. (c) Zeigen Sie: Es gibt keine natürliche Zahl n IN mit ϕ(n) = Abgabe der Aufgaben 61 b, 62, 65, 66 a,c bis 28.6., vor der Vorlesung

16 10. Übung Elemente der Zahlentheorie SS (a) Beweisen Sie: Ist n IN weder prim noch Quadratzahl, dann gilt ϕ(n) n 3. (b) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n IN mit ϕ(15n) = 8 ϕ(n). (c) Sei n IN mit n > 4 und n 1 und n + 1 sind Primzahlzwillinge. Zeigen Sie: ϕ(n) n Bestimmen Sie (a) die letzte Ziffer von 7 127, (b) den Rest von bei Division durch 8, (c) die letzten beiden Ziffern von Sei µ : IN IN die Möbius-Funktion, n IN. Zeigen Sie: µ(d) = µ(n). d 2 n (5 Punkte) 70. Sei a IN. Bestimmen Sie f a (n) := d n µ a (d) für alle n IN. 71. Für n IN sei lnp falls n = p a mit p prim und a IN Λ(n) := 0 sonst (a) Ist die Funktion Λ(n) multiplikativ? (b) Zeigen Sie: Für alle n IN gilt Λ(d) = lnn. (c) Zeigen Sie: Für alle n IN gilt d n µ(d)lnd = Λ(n). 72. (a) Bestimmen Sie die Kettenbrüche von a := , b := 80. d n (5 Punkte) (b) Geben Sie für folgende Kettenbrüche die Darstellung in der Form p q + r q s mit p,q,r,s Z an: c := [1;2,3], d := [0;1,2,3,4], e := [0;1,4], f n := [0;n,1,2n] für n IN. Abgabe der Aufgaben 67 b, 68, 70, 71 bis 5.7., vor der Vorlesung