Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie

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1 FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie LÖSUNG Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Studiengang: Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen): Frau Hupp (Di., 10-12) Frau Hupp (Di., 12-14) Herr Frank (Di., 14-16) Herr Habeck (Di., 14-16) Herr Habeck (Do., 10-12) keine Übungsgruppe Aufgabe Punkte Erz. Punkte Erreichte Punktzahl: von max. 50 Punkten Die Modulprüfung ist bestanden ja / nein Note: Technische Hinweise: 1. Taschenrechner sind nicht zugelassen! 2. Handys bitte ausschalten. 3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt am Ende der Arbeit oder die Rückseiten. 4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt erforderlich. 5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der Arbeit getrennt werden. 6. Nicht mit Bleistift schreiben!

2 Aufgabe 1: Sei ϕ die Euler-Funktion. a) Welche Bedingung müssen a, b N erfüllen, damit ϕ(a b) ϕ(a) ϕ(b) gilt? (ohne Beweis) Die beiden Zahlen a und b müssen teilerfremd sein, d.h. ggt (a, b) 1. b) Berechnen Sie für beliebiges k N die Zahl ϕ( k ). Was erhält man für k 0? ϕ( k ) ϕ(2 7 3 k ) 2 6 (3 1) 3 k k k 1 ϕ( ) ϕ(2 7 ) c) Bestimmen Sie zwei Zahlen n N mit ϕ(ϕ(n)) 4. 1.Zahl: n 11 2.Zahl: n 22 Alle Lösungen: n {11, 13, 15, 16, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 42}. 2

3 Aufgabe 2: a) Bestimmen Sie alle Lösungen a {0, 1, 2,..., 31} der Gleichung [3] [a] [5]. Begründen Sie Ihre Antwort. a 23 Begründung: Da ggt (, 3) 1 ist, ist [3] eine Einheit in (R, ). Das inverse Element zu [3] ist [11], denn Dann ist [a] eindeutig bestimmt durch Alternative [a] [3] 1 [5] [11] [5] [55] [23]. [3] [a] [5] 3a 5 33a 55 a 23 Somit ist a 23 der einzige Kandidat, tatsächlich ist a 23 Lösung der Ausgangsgleichung, denn es gilt b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Euler-Fermat ein y {0, 1,..., 220} mit y (Hinweis: ) y 22 Berechnung: Da ggt (221, 3) 1 ist, liefert der Satz von Euler-Fermat 3 ϕ(221) Mit ϕ(221) ϕ(13 17) folgt also Dann erhält man

4 Aufgabe 3: Für alle x, y N sei x y : x y 3. a) Beweisen oder widerlegen Sie: (1) (N, ) ist kommutativ. Die Aussage ist FALSCH Beweis durch Gegenbeispiel: , aber (2) (N, ) ist assoziativ. Die Aussage ist FALSCH Beweis durch Gegenbeispiel: Es gilt 1 (1 2) , aber (1 1) (3) (N, ) besitzt mindestens ein linksneutrales Element. Die Aussage ist FALSCH Angenommen, e N ist linksneutral, also e y y für alle y N. Setzt man y 1 ein, so folgt 1 e 1 e. Für y 2 ergibt sich aber dann y e y Dies ist ein Widerspruch und daher gibt es kein linksneutrales Element. (4) (N, ) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element. Die Aussage ist WAHR e 1 ist rechtsneutral, denn x e x 1 x 1 3 x für alle x N. b) (1) Definieren Sie den Begriff Verknüpfungstreue einer Abb. f : (A, +) (B, ). f : (A, +) (B, ) heißt verknüpfungstreu, falls f(a + b) f(a) f(b) für alle a, b A. (2) Überprüfen Sie die Abbildung g : (N, +) (N, ), g(x) 2x auf Verknüpfungstreue. Die Abbildung ist verknüpfungstreu Für alle x, y N gilt g(x + y) 2 x+y 2 x 2 y g(x) g(y). 4

5 Aufgabe 4: a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass im Ring der reellen 2 2-Matrizen gilt: ( ) 1 0 (1) ist das neutrale Element der Addition. 0 1 Die Aussage ist FALSCH Beweis durch Gegenbeispiel: ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) 1 1 ist eine Einheit. 1 1 (3) Die Aussage ist FALSCH Angenommen, die gegebene Matrix ist eine Einheit, d.h. invertierbar. Dann gibt es a, b, c, d R mit ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 a b 1 1 a b a + b 0 1 c d 1 1 c d c + d Daraus folgt aber a b 1 und im Widerspruch dazu a + b (a b) 0. ( ) 1 3 ist ein Nullteiler. 1 3 Die Aussage ist WAHR b) Bestimmen Sie jeweils g für... (1) g [2] 9 in (R 9, ) ( ) g {2, 4, 8, 7, 5, 1} (2) g [8] 9 in (R 9, ) g {8, 1} Nebenrechnungen: ( ) ( ) Für (1): Modulo 9 rechnet man: 2 2 4, 4 2 8, 8 2 7, und Für (2): Modulo 9 rechnet man: c) Beweisen oder widerlegen Sie: Die Gruppe (R 9, ) ist zyklisch. Die Aussage ist WAHR Es gilt R 9 {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Nach Teilaufgabe 4b), (1) ist 2 erzeugendes Element, also ist (R 9, ) zyklisch. 5

6 Aufgabe 5: a) Die Abbildung f : C C, f(z) i (z i) + 5i + 2 ist eine Drehung. (Das müssen Sie nicht beweisen!) Bestimmen Sie rechnerisch das Drehzentrum z D dieser Drehung. (Hinweis: z D ist ein Fixpunkt von f.) z D 3 + 2i Begründung: Es muss gelten f(z D ) z D. Mit z z D ergibt sich also z f(z) i (z i) + 5i + 2 i z 1 + 5i + 2 i z + 5i + 1. Damit folgt z(1 + i) 5i + 1. Dann berechnet man z 1 + 5i 1 + i (1 + 5i)(1 i) (1 + i)(1 i) 6 + 4i i. b) Sei g die Kongruenzabbildung der komplexen Ebene, für die g(0) 1 i, g(1) 1 und g(1 i) 0 gilt. Bestimmen Sie g(1+i) und g( i). (Hinweis: g(1+i) und g( i) sollen als komplexe Zahlen angegeben werden, aber als Lösungsweg genügt exaktes Zeichnen.) g(1 + i) 2, g( i) i Zeichnung: Aus der Skizze erkennt man, dass g die Spiegelung an der Geraden a durch die Punkte 1 und i ist. Damit erhält man durch Spiegeln die angegebenen Bildpunkte. c) Bestimmen Sie den Faktor k der Ähnlichkeit h : C C, h(z) (12 5i) z. k 12 5i ( 5)

7 Aufgabe 6: a) Definieren Sie den Begriff Gruppe. Ein Verknüpfungsgebilde (M, ) heißt Gruppe, wenn gilt: (G1) (a b) c a (b c) für alle a, b, c M; (G2) Es existiert ein Element e M mit a e e a a für alle a M; (G3) Zu jedem Element a M gibt es ein a M mit a a a a e. b) Definieren Sie den Begriff Kongruenzabbildung. Eine Abbildung f : R n R n, die bijektiv und abstandserhaltend ist, heißt Kongruenzabbildung. c) Eine Figur X R 2 besitzt 2 verschiedene Spiegelsymmetrien σ a und σ b, deren Achsen a und b parallel sind. Beweisen Sie, dass die Symmetriegruppe der Figur X unendlich viele Elemente besitzt. Da die Symmetrien einer Figur (zusammen mit der Verkettung ) eine Gruppe bilden, ist auch σ a σ b eine Symmetrie von X. Da die Achsen a und b parallel sind, ist σ a σ b eine Verschiebung τ. Damit ist auch τ k für alle k N eine Symmetrie von X. Damit hat X unendlich viele Symmetrien. 7