Primzahlen und die Riemannsche Vermutung

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1 Ralf Gerkmann Primzahlen und die Riemannsche Vermutung Probestudium an der LMU, September 2013

2 Die Primzahlen sind ein Untersuchungsobjekt der Zahlentheorie, einer Teildisziplin der Reinen Mathematik. Gegenstand der Zahlentheorie sind Eigenschaften und Beziehungen zwischen natürliche, ganzen und rationalen Zahlen. N = {1, 2, 3,...}, N 0 = N {0} Z = { n, n n N 0 } = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { } m Q = n m Z, n N Hauptsächlich geht es um die Lösbarkeit von Gleichungen in N, Z oder Q, zum Beispiel x 4 + y 4 = z 4 oder y 2 = x 3 + x Die Frage nach der Lösbarkeit in den reellen Zahlen (R) ist häufig sehr leicht zu beantworten.

3 Warum Zahlentheorie? naheliegende Fragestellungen, häufig sehr leicht und elementar formulierbar, aber unerwartet schwer zu lösen, deshalb immer schon besonders reizvoll ( höchste Aktivität von Amateuren / Crackpots auf diesem Gebiet) Zahlentheorie fungiert als Bindeglied zwischen den übrigen mathematischen Teildisziplinen (siehe unten) praktische Anwendungen in der Informatik, besonders in den Bereichen Kryptographie und Codierungstheorie

4 Die Zahlentheorie verwendet Methoden aus den unterschiedlichsten Gebieten der Mathematik, unter anderem Algebra Kombinatorik Analysis Geometrie Funktionentheorie Stochastik Numerik Funktionalanalysis sogar Methoden der mathematischen Physik! Sie trägt also dazu bei, die Einzelgebiete und ihre Beziehungen untereinander besser zu verstehen.

5 Aus der Einleitung der Algebraischen Zahlentheorie von Jürgen Neukirch: Foto: Konrad Jacobs Licensing cc-by-sa-20.de Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematischen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Naturwissenschaften. Frei von der Pflicht, von außen kommenden Gegebenheiten dienlich sein zu müssen, schöpft sie ihre Zielsetzungen aus sich selbst heraus und erhält dadurch eine ungestörte Harmonie.

6 Was sind Primzahlen? mehrere Möglichkeiten der Definition: Eine Primzahl ist... eine Zahl n N, n > 1, die nicht als Produkt echt kleinerer natürlicher Zahlen geschrieben werden kann (Primzahlen als unzerlegbare natürliche Zahlen > 1) eine natürliche Zahl n > 1, deren einzige natürliche Teiler 1 und n sind eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern in N

7 Beispiele 1 ist keine Primzahl (einziger Teiler: 1) 2 ist Primzahl (Teiler: 1,2) 3 ist Primzahl (Teiler: 1,3) 4 ist keine Primzahl (Teiler: 1,2,4) 5 ist Primzahl (Teiler: 1,5) 6 ist keine Primzahl (Teiler: 1,2,3,6) 7 ist Primzahl (Teiler: 1,7) 8 ist Primzahl (Teiler: 1,2,4,8) 9 ist Primzahl (Teiler: 1,3,9) 10 ist Primzahl (Teiler: 1,2,5,10) 11 ist Primzahl (Teiler: 1,11)

8 Primzahlen bis

9 Primzahlen bis Primzahlen p im Bereich p 100: < p 200: < p 400: < p 400: 16

10 Bedeutung der Primzahlen Primzahlen sind die Grundbausteine der natürlichen Zahlen Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl > 1 kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. (bekannt seit der Antike, erstmalig formuliert von C.-F. Gauß) 6 = = = = = = = =

11 Durch Hinzunahme der 1 zu den Primzahlen würde die Eindeutigkeit der Produktzerlegung verlorengehen. 6 = 2 3 = = =... Deshalb ist es sinnvoll, die 1 nicht als Primzahl anzusehen.

12 Gibt es eine größte Primzahl? Oder lässt sich die Folge der Primzahlen unendlich fortsetzen? Bereits seit dem 3. Jahrhundert v. Chr. ist bekannt Satz (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen p 1, p 2,..., p r, mit r N. Dann können wir das Produkt n = r p i = p 1... p r bilden. i=1

13 Betrachten wir nun die Zahl n + 1. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist n + 1 als Produkt von Primzahlen darstellbar. Insbesondere gibt es eine Primzahl p, die n + 1 teilt. Weil es laut Annahme außer p 1,..., p r keine Primzahlen gibt, gilt p = p i für ein i {1,..., r}. Allgemein gilt: Sind a, b Z, n Z, und ist n ein Teiler von a und b, dann teilt n auch die Differenz a b. Notation: n (a b) Wegen p = p i gilt p n, außerdem p (n + 1). Also ist p auch ein Teiler von (n + 1) n = 1. Aber wegen p > 1 ist das unmöglich. Unsere Annahme war also falsch.

14 Nach Euklid gibt es also beliebig viele und beliebig große Primzahlen. Schon im Internet findet man Dateien mit den ersten 50 Millionen Primzahlen. Die größte Primzahl, die ohne den Einsatz von Computern gefunden wurde, war (1876 von Francois Eduar Lucas) Die größte bis jetzt (Stand 2. September 2013) bekannte Primzahl lautet (Curtis Cooper, University of Central Missouri) Sie besteht aus rund 17 Millionen Dezimalstellen, ausgeschrieben bei normaler Schriftgöße ergibt das eine Länge von 85 Kilometern.

15 Gibt es einfache Formeln, die ausschließlich Primzahlen liefern? Leider nicht. Bisher gefundene Formeln liefern entweder nur endlich viele Primzahlen, oder sie sind so kompliziert, dass sie praktisch gesehen nutzlos sind. Anfangs dachte man, dass Zahlen der Form 2 p 1 oder 2 2n + 1 immer prim sind, wenn p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl bezeichnet. Aber schon bald wurden Gegenbeispiele gefunden = 2047 = (Rieger 1536) = (Euler 1732) Primzahlen der Form 2 p 1 bezeichnet man als Mersennsche, die in der Form 2 2n + 1 als Fermatsche Primzahlen. Bisher sind erst 48 Mersennsche Primzahlen und nur fünf Fermatsche Primzahlen bekannt (3, 5, 17, 257 und 65537).

16 Der Ausdruck n 2 n + 41 liefert für 0 < n < 41 ausschließlich Primzahlen. Man weiß, dass die positiven Werte des folgenden Polynoms in 26 Unbekannten die Gesamtmenge der Primzahlen durchläuft. Φ(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z) = (k + 2)(1 (wz + h + j q) 2 (2n + p + q + z e) 2 (a 2 y 2 y x 2 ) 2 ((e 4 + 2e 3 )(a + 1) o 2 ) 2 ((16(k + 1) 3 (k + 2)(n + 1) f 2 ) 2 (((a + u 4 u 2 a) 2 1)(n + 4dy) (x + cu) 2 ) 2 (ai + k + 1 l i) 2 ((gk + 2g + k + 1)(h + j) + h z) 2 (16r 2 y 4 (a 2 1) + 1 u 2 ) 2 (p m + l(a n 1) + b(2an + 2a n 2 2n 2)) 2 (z pm + pla p 2 l + t(2ap p 2 1)) 2 (q x + y(a p 1) + s(2ap + 2a p 2 2p 2)) 2 (a 2 l 2 l m 2 ) 2 (n + l + v y) 2 )

17 In der ersten beiden Vorlesungen werden wir uns mit der Bedeutung der Primzahlen für die Algebra auseinandersetzen. Dabei konzentrieren wir uns zunächst auf den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Kongruenzrechnung. Als konrete Anwendungen behandeln wir das Kryptographieverfahren RSA.

18 Kongruenzrechnung Definition (Kongruenzrelation) Sei n N. Zwei Zahlen a, b Z werden als kongruent modulo n bezeichnet (Schreibweise a b mod n), wenn n (a b) gilt. gleichbedeutende Formulierung: Nach Division von a und b durch n bleibt derselbe Rest übrig. Die folgenden Zahlen a erfüllen alle die Bedingung a 1 mod 4:..., 23, 19, 15, 11, 7, 3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25,...

19 Seien n N und a, b, c, d Z. Die Kongruenzrelation erfüllt folgende Gesetzmäßigkeit: Gilt a b mod n und c d mod n, dann gilt auch a + c b + d mod n und ac bd mod n denn wegen n (a b) und n (c d) ist n auch ein Teiler von und von (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) ac bd = ac bc + bc bd = (a b)c + b(c d). Kongruenzen bleiben also unter Addition und Multiplikation erhalten. Dies führte zu der Idee, Kongruenzen mit Hilfe algebraischer Strukturen zu interpretieren.

20 Definition Sei X eine beliebige Menge. Eine Verknüpfung auf einer Menge X ist eine Abbildung : X X X. Zum Beispiel sind (a, b) a + b und (a, b) ab Verknüpfungen auf Z, Q und R.

21 Definition (Ring) Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und auf R (die man als Addition und Multiplikation bezeichnet), so dass folgende Bedinungen erfüllt sind. Es gelten die gewohnten Rechenregeln für a, b, c, d R (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) (Assoziativgesetze) a + b = b + a ab = ba (Kommutativgesetze) a(b + c) = ab + ac (Distributivgesetz) Es gibt ausgezeichnete Elemente 0 und 1 in R mit a + 0 = a und a 1 = a für alle a R Für jedes a R gibt es ein b R mit a + b = 0. Man bezeichnet b als das Negative a von a.

22 Definition (Körper) Sei (R, +, ) ein Ring und a R. Gibt es ein b R mit ab = 1, dann bezeichnet man b den Kehrwert a 1 von a. Gilt in R die Ungleichung 0 1, und gibt es für jedes a 0 in R einen Kehrwert, dann nennt man (R, +, ) einen Körper. Beispiele für Ringe sind Z, Q und R. Die Zahlbereiche Q und R sind darüber hinaus auch Körper. Mit Hilfe der Kongruenzrelation lassen sich Ringe und Körper konstruieren, die nur aus endlich vielen Elementen bestehen.

23 Jeder Zahl n N kann auf folgende Weise ein Ring Z/nZ zugeordnet werden. Alle ganzen Zahlen, die zueinander kongruent modulo n sind, werden jeweils zu einer sog. Kongruenz- oder Restklasse zusammengefasst. Wir bezeichnen die Restklasse von a Z jeweils mit ā. Beispiel für n = 3: 2 = {..., 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,...} (beachte:... = 4 = 1 = 2 = 5 =...) Bezeichne mit Z/nZ die Gesamtheit aller Kongruenzklassen. Als Menge besteht Z/nZ aus genau n Elementen, nämlich 0, 1, 2,..., n 1

24 Auf Z/nZ definiert man nun eine Verknüpfung + durch ā + b = a + b (a, b Z) Die Summe der Kongruenzklassen von a und b ist also die Kongruenzklasse von a + b. Beispiel für n = 3: = 3 = 0 Entsprechend definiert man die Verknüpfung durch ā b = ab (a, b Z) Beispiel für n = 3: 2 2 = 4 = 1

25 Beispiel n = 5 Z/5Z = { 0, 1, 2, 3, 4}

26 Beispiel n = 6 Z/6Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}

27 Welche Elemente in Z/nZ besitzen einen Kehrwert? Z/5Z Z/6Z In Z/5Z hat jedes Element außer 0 eine Kehrwert. Also ist Z/5Z ist ein Körper (der Ring Z/6Z aber nicht).

28 Die Elemente in einem Ring, die einen Kehrwert besitzen, nennt man auch Einheiten. Unser Ziel besteht darin, die Einheiten von Z/nZ für beliebiges n zu bestimmen. Definition Der größte gemeinsame Teiler ggt(a, b) zweier ganzer Zahlen a, b (0, 0) ist die größte natürliche Zahl n, die n a und n b erfüllt. Gilt ggt(a, b) = 1, dann bezeichnet man die Zahlen a, b als teilerfremd.

29 Wesentlich für das Verständnis der Einheiten von Z/nZ ist das folgende Theorem (Lemma von Bézout) Für alle a, b Z mit (a, b) (0, 0) gibt es x, y Z, so dass xa + yb = ggt(a, b) erfüllt ist. Folgerung Sei n N und a Z. Genau dann ist ā eine Einheit in Z/nZ, wenn a und n teilerfremd sind.

30 Beweis: Sind a und n teilerfremd, dann gibt es nach dem Lemma von Bézout x, y Z mit xa + yn = 1. Daraus folgt xa 1 mod n und damit x ā = 1. Also ist ā in Z/nZ eine Einheit. Sei ā eine Einheit in Z/nZ. Dann gibt es ein x Z mit x ā = 1. Dies bedeutet xa 1 mod n, und somit gibt es ein y Z mit xa + yn = 1. Sei nun d N ein gemeinsamer Teiler von a und n. Aus d a und d n folgt d xa und d yn. Also ist d auch ein Teiler von xa + yn = 1, und es folgt d = 1. Dies zeigt, dass a und n teilerfremd sind.

31 Beispiele Der Ring Z/2Z = { 0, 1} hat nur eine Einheit, nämlich 1. Die Einheiten von Z/4Z = { 0, 1, 2, 3} sind 1 und 3. Die Einheiten von Z/6Z = { 0, 1,..., 5} sind 1 und 5. Die Einheiten von Z/7Z = { 0, 1,..., 6} sind 1, 2, 3, 4, 5, 6.

32 Die Bedeutung der Primzahlen für die Kongruenzrechnung kommt nun durch folgende Aussage zum Vorschein. Folgerung Sei n N. Genau dann ist Z/nZ ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Beweis: Im Fall n = 1 ist n keine Primzahl und Z/nZ kein Körper, da hier 0 = 1 gilt. Sei nun n > 1. Genau dann ist n eine Primzahl, wenn die Zahlen 1, 2,..., n 1 alle teilerfremd zu n sind. Wie soeben gezeigt, ist dies genau dann der Fall, wenn 1,..., n 1 alles Einheiten in Z/nZ sind, also genau dann, wenn jedes Element ungleich 0 in einen Kehrtwert besitzt. Dies ist gleichbedeutend damit, dass Z/nZ ein Körper ist.

33 Ist p eine Primzahl, dann bezeichnet man Z/pZ auch mit F p und nennt ihn den Körper mit p Elementen. (Das F steht für field, engl. Körper.) Ist p prim und r N, dann gibt es auch einen Körper mit p r Elementen. (Es ist aber nicht Z/p r Z.) Ist n aus mehreren, unterschiedlichen Primzahlen zusammengesetzt, dann gibt es keinen Körper mit n Elementen. Zum Beispiel gibt es keinen Körper mit genau 6 Elementen.

34 Der Kehrwert einer Einheit ā Z/nZ lässt sich mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus (fortgesetzte Division mit Rest) bestimmen. Wir illustrieren dies an einem Beispiel. Gesucht ist der Kehrwert von 13 im Körper Z/97Z. Wir wenden den Euklidischen Algorithmus auf a = 13 und n = 97 an. 97 = = Durch Rückwärtseinsetzen erhält man 1 = = ( 2) 6 = ( 2) ( ) = ( 2) 97 Es folgt mod 97 und = 1. Also ist 15 der gesuchte Kehrwert.

35 Zur Anzahl der Einheiten in Z/nZ Die Anzahl der Einheiten in Z/nZ bezeichnet man mit ϕ(n). Es handelt sich um die Anzahl der Elemente in {a Z 1 a n, ggt(a, n) = 1}. Die Zuordnung n ϕ(n) heißt Eulersche ϕ-funktion. Ist p eine Primzahl, dann gilt ϕ(p) = p 1 (denn Z/pZ ist ein Körper, und jedes der p 1 Elemente in Z/pZ ungleich 0 ist eine Einheit). Ist p eine Primzahl und r N, dann gilt ϕ(p r ) = p r 1 (p 1). (Übung) Sind m und n teilerfremd, dann gilt ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). (ohne weitere Hilfsmittel schwer zu zeigen)

36 Berechnung von Potenzen in Z/nZ Von Elementen ā in Z/nZ lassen sich auch hohe Potenzen ohne großen Aufwand berechnen, da das Ergebnis nicht größer als n 1 werden kann. Beispiel für n = 7: 3 2 = 9 = = ( 3 2 ) 2 = 2 2 = = ( 3 4 ) 2 = 4 2 = 16 = = ( 3 8 ) 2 = 2 2 = 4 Für jede Einheit ā in Z/nZ gilt ā ϕ(n) = 1. In Z/7Z gilt zum Beispiel 1 6 = 2 6 = 3 6 = 4 6 = 5 6 = 6 6 = 1. algebraische Begründung: Die Einheiten bilden eine Gruppe der Ordnung ϕ(n).

37 Funktionsweise des RSA-Algorithmus Das RSA-Verfahren ist ein Public-Key-Kryptogrpahieverfahren. Dies bedeutet, dass Nachrichten vor dem Versenden mit einem öffentlich zugänglichen Schlüssel codiert werden. Die Entschlüsselung erfolgt mit einem geheimen Schlüssel, über den nur der Empfänger verfügt. Ablauf: Angenommen, eine Person (Alice) möchte Internetbenutzern die Möglichkeit geben, ihr verschlüsselte Nachrichten zukommen zu lassen. Dazu erzeugt sie zwei große Primzahlen p und q und bildet das Produkt n = p q. Die Sicherheit des RSA-Verfahrens beruht daraus, dass es rechnerisch sehr aufwändig ist, die Zahl n wieder in ihre beiden Faktoren zu zerlegen. (siehe Übungen)

38 Alice wählt zufällig eine Zahl e N mit ggt(e, ϕ(n)) = 1. Das Paar (e, n) wird als öffentlicher Schlüssel ins Internet gestellt oder auf andere Weise allgemein zugänglich gemacht. Anschließend bestimmt Alice eine d N mit de 1 mod ϕ(n) (m.a.w., sie berechnet den Kehrwert der Einheit ē in Z/ϕ(n)Z). Das Paar (d, n) ist der geheime Schlüssel, der an einem sicheren Ort aufbewahrt wird. Ein weitere Teilnehmer (Bob) möchte Alice auf sicherem Weg eine Nachricht schicken. Diese Nachricht ist eine Zahl a mit 0 a < n. Diese entspricht einem Element ā in Z/nZ. Bob berechnet c = ā e und schickt c an Alice. Alice kann durch Berechnung der Potenz c d = ā die Nachricht zurückgewinnen.

39 Warum funktioniert das Verfahren? Gehen wir vereinfachend davon aus, dass a und n teilerfremd sind. Dies ist für die große Mehrheit der möglichen Nachrichten a erfüllt. Für die übrigen Nachrichten funktioniert das Verfahren auch, aber die Begründung ist etwas komplizierter. Auf Grund der Annahme ist ā Z/nZ eine Einheit. Deshalb gilt ā ϕ(n) = 1 (siehe oben). Nach Wahl von d und e gilt de 1 mod ϕ(n). Es gibt also ein k Z mit de = 1 + kϕ(n). Daraus folgt c d = (ā e ) d = ā ed = ā 1+kϕ(n) = ā 1 (ā ϕ(n) ) k = ā 1 1 k = ā

40 Wie verschlüsselt man Texte an Stelle von Zahlen? Der ASCII-Standard ordnet jedem Groß- und Kleinbuchstaben des Alphabets und jeder Ziffer von 0 bis 9 sowie diversen Sonderzeichen eine Zahl zwischen 0 und 255 zu A B... Z Jeden Buchstaben einzeln zu verschlüsseln wäre allerdings zu unsicher. (Häufigkeitsanalyse) Statt dessen verschlüsselt man Textblöcke der Länge b, wobei b eine Zahl mit 256 b < n bezeichnet und (n, e) der öffentliche Schlüssel ist. Ist c 0 c 1...c b 1 ein solcher Block aus b Zeichen, dann wird zu jedem c i der ASCII-Code a i bestimmt und anschließend die Zahl a = a a a a b b 1 gebildet.

41 Aus dieser lassen sich später die Zahlen a i und die Zeichen c i leicht zurückgewinnen. Die Zahl a wird dann wie beschrieben verschlüsselt. Beispiel Angenommen, der Textblock PROBE soll verschlüsselt werden. Die Buchstaben P, R, O, B, E haben die ASCII-Codes 80, 82, 79, 66, 69. Die zu verschlüsselnde Zahl ist damit =