Einleitung. Charakteristika dieses Bandes. Struktur und Inhalt

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1 Einleitung Dieser Band Vertiefung Mathematik Primarstufe Arithmetik/Zahlentheorie wendet sich insbesondere an Studierende des Fachs Mathematik für das Lehramt an der Primarstufe. Aufbauend auf dem Band Einführung Mathematik Primarstufe Arithmetik 1 führt er deutlich tiefer in die Arithmetik/Zahlentheorie ein. Dennoch ist dieser Band so konzipiert, dass er bei entsprechenden Vorkenntnissen auch unabhängig von einer vorhergehenden Lektüre des Einführungsbandes mit Gewinn eingesetzt werden kann. Charakteristika dieses Bandes Ähnlich wie schon für die Einführung Mathematik Primarstufe [7] sind auch für die Darstellung der Arithmetik/Zahlentheorie in diesem Band folgende Punkte charakteristisch: verschiedene Begründungsniveaus (von anschaulichen Beweisstrategien bis zu Beweisen mit Variablen), eine ausführliche Darstellung der Beweise unter heuristischen Gesichtspunkten, eine schrittweise Behandlung umfangreicherer Beweise, um so zu einem besseren Beweisverständnis beizutragen (Zielsetzung: nicht so elegant und knapp, sondern so verständlich wie möglich), eine sorgfältige Erarbeitung der grundlegenden Begriffe, der Einsatz vieler anschaulicher Beispiele zur Verdeutlichung von Aussagen/Sätzen, eine reiche Auswahl an Übungsaufgaben sowohl zur Erarbeitung von direkt schon im Text thematisierter Sachverhalte als auch zur Vertiefung und Weiterführung einschließlich von Lösungshinweisen bei schwierigen Aufgaben. Struktur und Inhalt Im ersten Kapitel beschäftigen wir uns abseits der Fachsystematik mit drei überschaubaren, spannenden Problemstellungen, um so das Interesse an zahlentheoretischen Fragestel- 1 F. Padberg/A. Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe Arithmetik, Berlin/Heidelberg V

2 VI Einleitung lungen zu wecken. So versuchen wir zunächst, sämtliche Zahlen mit genau vier Teilern zu bestimmen und dies möglichst geschickt und effektiv. Wir sind anschließend überrascht, dass die so leicht verständliche Goldbachsche Vermutung trotz jahrhundertelanger Bemühungen auch heute noch unbewiesen ist und dass selbst der Einsatz mächtigster Computer keineswegs zu einem Beweis dieser Vermutung führen kann. Dagegen können wir völlig überraschend die noch unwahrscheinlicher klingende Behauptung, dass jede Primzahl größer als zwei als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar ist, leicht beweisen. Wir beschäftigen uns in diesem Band auch mit handfesten Anwendungen, die für das tägliche Leben relevant sind, und stellen schon hier exemplarisch die Frage: Wie gut sind eigentlich die Medikamentenbestellungen der Apotheken gegen gängige Fehler abgesichert? Das zweite Kapitel ist zunächst der Teilbarkeits- und Vielfachenrelation gewidmet. Nach der Definition im ersten Abschnitt untersuchen wir im zweiten die Eigenschaften, die sie als Ordnungsrelationen charakterisieren. Die Verträglichkeit mit den Rechenoperationen und damit insbesondere die Summen-, Differenz- und Produktregeln stehen im dritten Abschnitt im Mittelpunkt unseres Interesses, unter anderem weil wir auf diese Regeln wie auch auf die Transitivität im weiteren Verlauf dieses Bandes häufiger zurückgreifen werden. Von den verschiedenen Begründungsniveaus bevorzugen wir in diesem Kapitel Beweise mit Variablenbenutzung und gehen auf beispielgebundene Beweisstrategien nur in den Aufgaben ein. Dies hängt damit zusammen, dass wir die Teilbarkeits- und Vielfachenrelation schon in dem Band Einführung Mathematik Primarstufe Arithmetik 2 gründlich thematisiert haben. Gegenüber der dortigen Behandlung erfolgt hier allerdings eine Vertiefung in zweierlei Hinsicht, nämlich in Hinblick auf die zugrunde liegende Zahlenmenge neben den natürlichen Zahlen betrachten wir hier auch die ganzen Zahlen, da so einige Beweise einfacher werden sowie in Hinblick auf das Begründungsniveau. In diesem Kapitel beschränken wir uns ferner nicht nur auf den Sonderfall, dass der Rest bei Division null ist, sondern untersuchen im vierten Abschnitt ganz allgemein auch Divisionen, bei denen ein von null verschiedener Rest auftreten kann. Wir beweisen den zentralen Satz von der Division mit Rest und führen auf dieser Grundlage im fünften Abschnitt sehr anschaulich die Restgleichheitsrelation ein und beweisen einige wichtige Eigenschaften. Bei der Ableitung der Teilbarkeitsregeln (Kapitel 6) ist diese Relation sehr hilfreich, bei der Thematisierung von Restklassen/algebraischen Strukturen im Kapitel 8 spielt sie die zentrale Rolle. Im dritten Kapitel lernen wir die Primzahlen unter verschiedenen, faszinierenden Aspekten genauer kennen. So betrachten wir im ersten Abschnitt ihre unterschiedlichen Gesichter. Die genial einfache Beweisidee Euklids bei der Antwort auf die Frage nach der Anzahl der Primzahlen beschäftigt uns im zweiten Abschnitt ebenso wie die faszinierende Jagd nach immer größeren Primzahlen. Das Siebverfahren zur Bestimmung sämtlicher Primzahlen bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl, das Eratosthenes schon vor gut 2200 Jahren erfand, besticht ebenfalls durch seine Einfachheit und gleichzeitige Effizienz (dritter Abschnitt). Die Primzahlen sind innerhalb der Menge der natürlichen 2 Vgl. Padberg/Büchter [7], S. 71ff.

3 Einleitung VII Zahlen sehr unregelmäßig verteilt. So gibt es wie wir im vierten Abschnitt erfahren einerseits sehr eng benachbarte Primzahlen selbst noch bei sehr großen Zahlen, während es daneben primzahlfreie Lücken beliebiger Länge gibt, wie wir zeigen werden. Im vierten Kapitel betrachten wir die Primzahlen unter einem speziellen Blickwinkel: Sind die Primzahlen Bausteine der natürlichen Zahlen? Lässt sich also jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen? Dass dies bei allen von 1 verschiedenen natürlichen Zahlen sogar stets auf nur genau eine Art und Weise möglich ist, ist die Aussage des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie, den wir nach Vorarbeiten im ersten Abschnitt schrittweise im zweiten beweisen. Aus diesem Satz ziehen wir im dritten Abschnitt einige wichtige Folgerungen: Wir formulieren und beweisen das Primzahlkriterium, thematisieren das Lemma von Euklid und geben aufgrund der Primfaktorzerlegung die Elemente und die Elementanzahl von Teilermengen an. Aber auch die im nächsten Kapitel folgende ggt- und kgv-bestimmung mithilfe der Primfaktorzerlegung funktioniert so nur, weil der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gilt. Größter gemeinsamer Teiler (ggt) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) sind die Themen des fünften Kapitels. Der ggt lässt sich sehr anschaulich mittels Teilermengen einführen (erster Abschnitt), das Verfahren über die Primfaktorzerlegung (zweiter Abschnitt) führt jedoch wesentlich schneller zum Erfolg. Der schon auf Euklid zurückgehende sogenannte Euklidische Algorithmus bringt uns selbst bei großen Zahlen ohne Bestimmung der Primfaktorzerlegung oft noch wesentlich rascher und eleganter zum Ziel. Daher behandeln wir dieses Verfahren im dritten Abschnitt. Auch das kgv führen wir analog zum ggt zunächst anschaulich mit Vielfachenmengen ein (vierter Abschnitt), das Verfahren über die Primfaktorzerlegung (fünfter Abschnitt) führt jedoch fast immer rascher und systematischer zum Ziel. Wegen des im sechsten Abschnitt bewiesenen Zusammenhangs zwischen ggt und kgv können wir den Euklidischen Algorithmus indirekt benutzen, um so ohne vorherige Bestimmung der Primfaktorzerlegung das kgv gegebener Zahlen zu bestimmen. Im siebten und letzten Abschnitt beweisen wir mithilfe des Euklidischen Algorithmus die überraschende Aussage, dass sich der ggt.a; b/ immer als Linearkombination von a und b darstellen lässt und dass dies bei teilerfremden a und b sogar für jede ganze Zahl gilt. Durch Umdeutung als sogenannte lineare diophantische Gleichung gewinnen wir sogar einen vollständigen Überblick über die Lösbarkeit dieser Gleichungen. Im sechsten Kapitel beschäftigen wir uns intensiv mit den Teilbarkeitsregeln. ImUnterschied zu ihrer Behandlung im Band Einführung Mathematik Primarstufe Arithmetik 3 gehen wir hier von der Restgleichheit (Kongruenz) gegebener Zahlen aus. Ein großer Vorteil dieses Weges: Wir können sämtliche Teilbarkeitsregeln im dezimalen wie auch in nichtdezimalen Stellenwertsystemen aus einer einheitlichen Grundidee ableiten, nämlich aus der Idee, die Basispotenzen des gegebenen Stellenwertsystems durch möglichst kleine, zu dem jeweiligen Teiler restgleiche Zahlen zu ersetzen. Wir begnügen uns sogar in den meisten Fällen nur mit der Untersuchung dreier besonders leichter und gut zu behaltender 3 Vgl. Padberg/Büchter [7], S. 95ff.

4 VIII Einleitung Sonderfälle. Ein weiterer besonderer Vorzug dieses Zugangsweges in seiner allgemeinen Formist diemöglichkeit, dassstudierendeselbstständig und kreativ Teilbarkeitsregeln für beliebige Teiler in beliebigen Stellenwertsystemen finden und beweisen können ganz im Gegensatz zu dem sonst üblichen Weg. Wir beginnen dieses sechste Kapitel mit einigen kurzen Bemerkungen zur Darstellung der natürlichen Zahlen im dezimalen wie in nichtdezimalen Stellenwertsystemen (erster Abschnitt) sowie mit einem Rückblick auf die Restgleichheitsrelation und einige ihrer Eigenschaften (zweiter Abschnitt). Auf dieser Grundlage können wir dann Teilbarkeitsregeln in dem Sonderfall besonders leicht ableiten, dass die Basis des betrachteten Stellenwertsystems (oder aber ihre zweite oder dritte Potenz) restgleich ist zur Null. Wir können in diesem Fall die Frage der Teilbarkeit einer gegebenen Zahl allein schon an ihrer Endstelle (bzw. ihren letzten zwei oder drei Endstellen) entscheiden (Endstellenregeln, dritter Abschnitt). Ist die Basis (oder ihre zweite oder dritte Potenz) restgleich zur Eins, so können wir die Teilbarkeit in diesem Fall mithilfe der Quersumme untersuchen und gewinnen so die Quersummenregeln im dezimalen wie auch in nichtdezimalen Stellenwertsystemen (vierter Abschnitt). Ein dritter leichter Sonderfall liegt vor, wenn die Basis (oder ihre zweite oder dritte Potenz) restgleich zur Zahl 1 ist. Bei Bildung der Quersummen müssen wir jetzt abwechselnd (alternierend) addieren und subtrahieren und gewinnen so in diesem fünften Abschnitt die alternierenden Quersummenregeln. Wir beenden dieses Kapitel mit einer knappen Zusammenfassung der Vorteile dieses Zugangsweges über die Restgleichheit gegenüber anderen Wegen. Imsiebten Kapitel untersuchen wir systematisch die Dezimalbruchentwicklungen von (vollständig gekürzten echten) Brüchen. Bereits aus unserer eigenen Schulzeit wissen wir, dass es sowohl Brüche mit endlichen Dezimalbruchentwicklungen (z. B. 3 5 D 0;6) als auch Brüche mit unendlichen, periodischen Dezimalbruchentwicklungen (z. B. 5 6 D 0;8333 : : : D 0;83) gibt. Da Bruchzahlen schon in der Grundschule propädeutisch sowohl als gemeine Brüche (wie 3 ) als auch in Form von Dezimalbrüchen (wie 0;6) auftreten und 5 der Wechsel zwischen diesen Darstellungsformen zu Beginn der Sekundarstufe I gründlich thematisiert wird, stellt dieses Kapitel also einen erweiterten fachlichen Hintergrund für den Mathematikunterricht in der Primarstufe dar. Wir gehen bei der Untersuchung der Dezimalbruchentwicklungen von zahlreichen konkreten Beispielen aus und leiten aus den Mustern, die wir dabei entdecken, die zentralen Aussagen dieses Kapitels ab. Eine zentrale Rolle spielt dabei der Divisionsalgorithmus, mit dem man gemeine Brüche in Dezimalbrüche umwandeln kann und dessen Verständnis durch seine wiederholte und vertiefte Anwendung gefestigt und ausgeweitet wird. Insgesamt gelangen wir zu einer vollständigen Übersicht über die unterschiedlichen Arten von Dezimalbruchentwicklungen (endlich, unendlich reinperiodisch, unendlich gemischtperiodisch), wobei nur ein Teil der Aussagen allgemein bewiesen wird. Das Phänomen, dass es häufig genügt, nur die Reste zu betrachten, die natürliche oder ganze Zahlen bei Division durch eine gegebene natürliche Zahl lassen, bildet den Ausgangspunkt für das achte Kapitel. Diese reduzierende Betrachtung von Zahlen wird in

5 Einleitung IX einem ersten Schritt durch die Restgleichheitsrelation, die bereits in Kapitel 2 untersucht wurde, formalisiert. Dabei wird herausgestellt, dass es sich bei der Restgleichheitsrelation um eine Äquivalenzrelation handelt. In einem weiteren Schritt lassen sich alle ganzen Zahlen, die bei Division durch eine gegebene natürliche Zahl m den gleichen Rest lassen, zu einem neuen mathematischen Objekt, der Restklasse modulo m, zusammenfassen. Formal ergeben sich diese Restklassen als Äquivalenzklassen bezüglich der Restgleichheitsrelation. Motiviert durch das Rechnen mit Resten in den Ausgangsbeispielen dieses Kapitels werden für die Restklassen Rechenoperationen (Verknüpfungen) definiert. Damit erhalten wir typische Beispiele für grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper. Diese abstrakten Strukturen spielen in der Mathematik an der Hochschule eine wichtige Rolle. Da sie gut vom Umgang mit konkreten Zahlen aus verstanden werden können, bietet sich der vorliegende Vertiefungsband zur Arithmetik und Zahlentheorie für einen solchen Brückenschlag in die moderne Mathematik an. So können dort übliche Denk- und Arbeitsweisen ein Stück weit erfahrbar werden. Im neunten Kapitel interessieren wir uns für praktische Anwendungen der Arithmetik/Zahlentheorie. Die in den Supermärkten an allen Artikeln vorfindbaren Europäischen Artikelnummern EAN bzw. GTIN (erster Abschnitt), die bei Büchern benutzten Internationalen Standardbuchnummern ISBN (zweiter und dritter Abschnitt) sowie die in Apotheken benutzte Pharmazentralnummer PZN (vierter Abschnitt) bewirken insgesamt eine starke Rationalisierung. Wir beweisen in diesem Kapitel, dass häufige Ablese- oder insbesondere Eingabefehler bei diesen drei und analog auch bei vielen anderen, in unserem Umfeld befindlichen Nummerierungssystemen durch relativ einfache Prüfziffernverfahren oft aufgedeckt werden. Allerdings gibt es deutliche Unterschiede bezüglich der Sicherheit dieser Verfahren. So erweist sich das PZN-Verfahren als wesentlich sicherer im Vergleich zum EAN/GTIN-Verfahren. Während das lange Jahre im Buchhandel vorherrschende ISBN-10-Verfahren (dritter Abschnitt) genauso sicher ist wie das PZN-Verfahren, hat das mittlerweile durch die Globalisierung und das Bestreben nach möglichst weltweiter Vereinheitlichung im Buchhandel erzwungene ISBN-13-Verfahren (zweiter Abschnitt) zu einer deutlichen Reduzierung der Sicherheit geführt, da es de facto praktisch mit dem EAN/GTIN-Verfahren identisch ist. Beim Beweis der Aussagen über die Sicherheit dieser Verfahren greifen wir ausschließlich auf einfache, in den vorhergehenden Kapiteln abgeleitete Sätze zurück. Dieses neunte Kapitel verdeutlicht daher sehr gut, dass selbst mathematische Gebiete wie die Arithmetik/Zahlentheorie, die auf den ersten Blick recht anwendungsfern wirken, durchaus handfeste Beiträge zu wirtschaftlich sehr relevanten Fragestellungen leisten können auch wenn dies bei der Entwicklung dieses mathematischen Gebietes so sicher nicht vorhergesehen werden konnte. Frau Anita Kollwitz hat wiederum weite Teile dieses Bandes sorgfältig und gewissenhaft geschrieben. Hierfür sind wir ihr zu großem Dank verpflichtet. Bielefeld/Essen, September 2014 Friedhelm Padberg Andreas Büchter

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