Elementare Differentialgeometrie mit Maple

Transkript

1 Helmut Reckziegel Markus Kriener Knut Pawel Elementare Differentialgeometrie mit Maple vieweg

2 Vll 1 Der Raum der elementaren Differentialgeometrie Der n-dimensionale affine Raum Affine Abbildungen Affine Unterräume Orientierte euklidische Vektorräume Der n-dimensionale euklidische Raum Kartesische Koordinatensysteme Differentialrechnung in euklidischen Räumen 9 2 Maple-Arbeitsmethoden im IR n Der IR n : Punkte, Vektoren und Matrizen Der IR als orientierter euklidischer Vektorraum Arbeiten mit Abbildungen Differentialrechnung im IR" 22 3 Ebene Kurventheorie Länge von Wegen Parametrisierung nach der Bogenlänge Differentiation und Integration nach der Bogenlänge Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie Orientierte Winkel in der^ebene Die ebene Frenetsche Kurventheorie Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie Krümmungskreise Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten Der Jordansche Kurvensatz Die isoperimetrische Ungleichung Die Totalkrümmung einer Kurve Eilinien 43 4 Ebene Kurventheorie mit Maple Wie wir Kurven mit Maple behandeln Erstellung von Kurvenplots Bahngeschwindigkeit und Kurvenlänge 49

3 viii 4.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie Orientierte Winkel in der Ebene Ebene Frenetsche Kurventheorie Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie Krümmungskreise Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten Eilinien 60 5 Räumliche Kurventheorie Generalvoraussetzungen und Bezeichnungen Die Frenetschen Gleichungen Auswertung der Taylorentwicklung 3. Ordnung einer Kurve Infinitesimale Charakterisierung ebener Kurven Sphärische Kurven Kinematik eines starren Körpers Hauptsatz der räumlichen Kurventheorie Satz von Fenchel und von Fary/Milnor 69 6 Räumliche Kurventheorie mit Maple Dreidimensionale Frenetsche Kurventheorie Die ausgezeichneten Ebenen einer Kurve 73 7 Einführung in die Flächentheorie Der Begriff der Fläche Graphenflächen Rotationsflächen Regelflächen Tangential- und Normalenräume einer Fläche Zwei Theoreme für Flächenparameterisierungen Der Maßtensor einer Parametrisierung Orthogonale Parametrisierungen Isotherme Parametrisierungen Höherdimensionale Flächen, Integration und Volumina 94 8 Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple Wie wir Flächen behandeln Erstellung von Flächenplots Graphen-, Rotations- und Regelflächen Riemannsche Gebiete Der Maßtensor einer Parametrisierung Mit dem Schiff von der alten in die neue Welt 104

4 9 Äußere Geometrie von Flächen Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve Die skalaren Krümmungsgrößen Zur Berechnung der skalaren Krümmungsgrößen Die Gaußsche Krümmung als Maß der Flächenverzerrung der Gaußabbildung Spezielle lokale Parametrisierungen Tubenabbildung und Fokalpunkte Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven Minimalflächen Äußere Geometrie von Flächen mit Maple Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve Die skalaren Krümmungsgrößen Tubenabbildung und Fokalpunkte einer Flächenparametrisierung Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven Minimalflächen Innere Geometrie von Flächen Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes Die Gaußsche Ableitungsgleichung Geodätische Linien Das Theorema egregium von Gauß Der Fundamentalsatz der Flächentheorie Innere Geometrie von Flächen mit Maple Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes Geodätische Linien Gaußsche Krümmung Riemannscher Gebiete 172 A Eine kurze Einführung in Maple 174 A.l Die Online-Hilfe von Maple 174 A.2 Wichtige Maple-Befehle 175 A.3 Datentypen in Maple 178 A.4 Programmieren mit Maple 179 A.5 Erstellen eigener Programmpakete 182

5 x B Benutzung der Programm-CD 186 C Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes 187 C.l Zu den Arbeitsmethoden im Et 187 C.2 Zur Kurventheorie 187 C.3 Zur Flächentheorie ' 188 Literaturverzeichnis 190 Index 191