Modul 206 Regelmäßige Vielecke!

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1 Modul 206 Regelmäßige Vielecke!

2 Regelmäßige Vielecke In- und Umkreise

3 Gleichseitiges Dreieck h = 3 2 s s h r r s r = 2 3 h = 3 3 s ρ = 1 3 h = 3 6 s s A = 3 4 s2

4 Gleichseitiges Dreieck

5 Gleichseitiges Dreieck

6 Gleichseitiges Dreieck im Raster? B C M c A

7 Gleichseitiges Dreieck im Raster? B C M c Diese Figur ist falsch! A

8 Gleichseitiges Dreieck Falten

9 Falten 1. Wir beginnen mit einem langen Streifen.

10 Falten 2. Wir falten in irgend einer Richtung nach OBEN.

11 Falten 3. Auffalten

12 Falten 4. Wir falten nach UNTEN nun genau wie dargestellt.

13 Falten 5. Auffalten

14 Falten 6. Wir falten nach OBEN genau wie dargestellt.

15 Falten 7. Auffalten

16 Falten 8. Wir falten nach UNTEN nun genau wie dargestellt.

17 Falten 9. Auffalten α 2 α 4 α 1 α 3

18 Falten 9. Auffalten α 2 α 4 α 1 α 3 Vermutung: lim ( α n ) = 60 n

19 Beispiel α 1 α 2 α 4 α 1 α 3 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =

20 Beispiel α 1 α 2 α2 α 4 α 1 α 3 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =

21 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =

22 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =

23 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 = Der Fehler wird jedes Mal halbiert: lim ( α n ) = 60 n

24 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert α n = 180 α n 1 2 Rekursionsformel

25 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = Startwert 36 beliebig α n = 180 α n 1 2 Rekursionsformel Wie finden wir den Limes?

26 Der Startwert spielt keine Rolle n α n α n α n α n

27 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = Startwert 36 beliebig α n = 180 α n 1 2 Rekursionsformel Wie finden wir den Limes?

28 ( 1) Annahme: Es gibt einen Limes ( ) α = lim n α n ( 2) In Rekursionsformel einsetzen: α = 180 α 2 ( 3) Nach α auflösen: 2α = 180 α 3α = 180 α = 60

29 ( 1) Annahme: Es gibt einen Limes ( ) α = lim n α n ( 2) In Rekursionsformel einsetzen: α = 180 α 2 ( 3) Nach α auflösen: 2α = 180 α 3α = 180 α = 60

30 ( 1) Annahme: Es gibt einen Limes ( ) α = lim n α n ( 2) In Rekursionsformel einsetzen: α = 180 α 2 ( 3) Nach α auflösen: 2α = 180 α 3α = 180 α = 60

31 Gleichseitiges Dreieck Falten und schneiden Dreieck Warum ist das richtig? Restenverwertung

32 Quadrat

33 Quadrat?

34 Quadrat?

35 Fünfeck

36 Fünfeck

37 Fünfeck Fünfeck Pentagon Pentagramm

38 Fünfeck 72

39 Fünfeck s s s d d s s 72

40 Fünfeck s s 108 s d d s s 72

41 Fünfeck s 36 s 108 s d d s 36 s 72

42 Fünfeck s s 108 s d d s 36 s 72

43 Fünfeck s s 108 s d d s 36 s 72

44 Fünfeck s s 108 s d d s s

45 Fünfeck s s 108 s 36 d d s 72 s

46 Fünfeck 36 d d s

47 Fünfeck s = 1 d =? 36 d d s

48 Fünfeck s = 1 d =? 36 Ähnliche Dreiecke d d s

49 Fünfeck s = 1 d =? 36 Gleichschenklige Dreiecke d s s d s

50 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s Ähnliche Dreiecke d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>

51 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 s = 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>

52 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>

53 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s Quadratische d Gleichung = 1± 5 d = d>

54 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>

55 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>

56 Fünfeck Goldener Schnitt

57 Fünfeck Goldener Schnitt Werbung Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig ISBN Das Programm geht nach kurzer Pause weiter

58 Zehneck r = 1 s =? s = r r s

59 s = = = = = s =

60 s = = = = = s =

61 s = = = = = s = Erweitern Warum?

62 s = = = = = s =

63 s = = = = = s =

64 s = = = = = s = Ebenfalls goldener Schnitt (Verhältnis des goldenen Schnittes anders herum)

65 Goldener Schnitt Bezeichnungen: τ = ρ =

66 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion 1 2 1

67 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion ( 1 ) 2 2 = 5 4 =

68 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion ( 1 ) 2 2 = 5 4 =

69 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion τ ρ 1 2 1

70 Nochmals Zehneck 1 1 ρ Im Prinzip können wir das Zehneck konstruieren

71 Nochmals Zehneck 1 1? ρ

72 Nochmals Zehneck ρ ρ 1 1 1? ρ

73 Nochmals Zehneck ρ ρ τ 1+ ρ = τ ρ

74 Nochmals Zehneck ρ 1 1 τ ρ

75 Konstruktion des Fünfeckes Wir beginnen mit dem Umkreis

76 Konstruktion des Fünfeckes

77 Konstruktion des Fünfeckes

78 Konstruktion des Fünfeckes Gruß vom goldenen Schnitt

79 Konstruktion des Fünfeckes

80 Konstruktion des Fünfeckes

81 Konstruktion des Fünfeckes

82 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

83 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

84 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

85 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

86 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.

87 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Vorbereitung: P PQ = x Q x P y Q y P Q QR = PQ = y P y Q x Q x P Drehung um +90 Ein passender Vektor kann um 90 gedreht werden.

88 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Vorbereitung: P PQ = x Q x P y Q y P Q R QR = PQ = y P y Q x Q x P Drehung um +90 Ein passender Vektor kann um 90 gedreht werden.

89 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Vorbereitung: P PQ = x Q x P y Q y P Q R QR = PQ = y P y Q x Q x P Drehung um +90 Ein passender Vektor kann um 90 gedreht werden.

90 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? A 0 A 4 Annahme: A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 seien Rasterpunkte. A 3 A 1 A 2

91 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? A 0 A 4 Annahme: A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 seien Rasterpunkte. B 1 A 3 Folge: Auch B 1 ist Rasterpunkt. A 1 A 2

92 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? A 0 A 4 B 3 Annahme: A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 seien Rasterpunkte. B 4 B 0 B 2 B 1 A 3 Folge: Auch B 0, B 1, B 2, B 3, B 4 sind Rasterpunkte. A 1 A 2 Wir haben eine kleineres Rasterfünfeck.

93 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

94 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

95 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

96 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

97 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

98 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

99 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

100 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

101 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?

102 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Und dann fällt das Fünfeck durch die Maschen.

103 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Die Annahme war falsch. Richtig ist: Ein regelmäßiges Fünfeck passt nicht in einen Quadratraster.

104 Regelmäßiges Sechseck (Hexagon) Hexaflexagon

105 Regelmäßiges Sechseck (Hexagon) Bergfalt Talfalt Hexaflexagon

106 Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)

107 Regelmäßiges Siebeneck Siebenbannstein Seit vordenklicher Zeit Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von Lörrach Stetten Jnzlingen Hagenbach Adelhausen Ottwangen Brombach zusammen

108 Regelmäßiges Siebeneck Siebenbannstein Seit vordenklicher Zeit Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von Lörrach Stetten Jnzlingen Hagenbach Adelhausen Ottwangen Brombach zusammen

109 Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Regelmäßiges Siebeneck

110 Regelmäßiges Siebeneck Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Eine Ecke übersprungen

111 Regelmäßiges Siebeneck Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Eine Ecke übersprungen Zwei Ecken übersprungen

112 Regelmäßiges Siebeneck Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Eine Ecke Gauß, Zwei Ecken übersprungen übersprungen Geht nicht

113 Gauß: C. F. Gauß ( ) hat bewiesen, dass jedes regelmäßige n-eck, das einem Kreis mit dem Radius r einbeschrieben werden soll, allein mit Zirkel und Lineal genau dann konstruierbar ist, wenn n eine Zweierpotenz oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und/oder verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

114 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

115 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

116 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

117 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

118 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

119 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

120 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl

121 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; keine Primzahl F 6 bis F 32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.

122 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl Fermat, ! F 5 = = = ; keine Primzahl F 6 bis F 32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.

123 Möglich: Dreieck Quadrat Fünfeck 15-Eck Sechseck Achteck Zehneck 30-Eck Zwölfeck 16-Eck 20-Eck 60-Eck 24-Eck 32-Eck 40-Eck 120-Eck 48-Eck 64-Eck 80-Eck 240-Eck 96-Eck 128-Eck 160-Eck 480-Eck usw. usw. usw. usw.

124 Scherengeometrie

125 Scherengeometrie Denn der Schneider mit der Scher' Kommt sonst ganz geschwind daher, Und die Daumen schneidet er Ab, als ob Papier es wär'. Der Struwwelpeter von Heinrich Hoffmann Die Geschichte vom Daumenlutscher

126 Scherengeometrie

127 Scherengeometrie Demo Cabri

128 Scherengeometrie

129 Scherengeometrie

130 Scherengeometrie

131 Scherengeometrie

132 Scherengeometrie

133 Scherengeometrie

134 Regelmäßiges Achteck Decke der Kirche Wilchingen

135 Regelmäßiges Achteck DIN A4 - Papier

136 Regelmäßiges Achteck Mittellinie senkrecht

137 Regelmäßiges Achteck Ecken einbiegen und wieder zurückfalten

138 Regelmäßiges Achteck Parallelen durch die Schnittpunkte

139 Regelmäßiges Achteck Waagerechte Mittellinie

140 Regelmäßiges Achteck Ecken einbiegen und wieder zurückfalten

141 Regelmäßiges Achteck Oktogon

142 Regelmäßiges Achteck Oktogon

143 Achtung: Falsche Figur! a b d d = a 2 d =! b a = 2b DIN Format

144 Regelmäßiges Zwölfeck

145 Regelmäßiges Zwölfeck

146 Regelmäßiges Zwölfeck

147 Regelmäßiges Zwölfeck

148 Regelmäßiges Zwölfeck Gleichseitiges Dreieck

149 Regelmäßiges Zwölfeck Flächeninhalt = 3r 2

150 Regelmäßiges Zwölfeck Flächeninhalt = 3r 2

151 Regelmäßiges Zwölfeck Flächeninhalt = 3r 2

152 Regelmäßiges Zwölfeck Minimallösung?

153 Regelmäßiges Zwölfeck Subtraktiv

154 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?

155 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot

156 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?

157 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?

158 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?

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