Modul 206 Regelmäßige Vielecke!
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- Moritz Schäfer
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Modul 206 Regelmäßige Vielecke!
2 Regelmäßige Vielecke In- und Umkreise
3 Gleichseitiges Dreieck h = 3 2 s s h r r s r = 2 3 h = 3 3 s ρ = 1 3 h = 3 6 s s A = 3 4 s2
4 Gleichseitiges Dreieck
5 Gleichseitiges Dreieck
6 Gleichseitiges Dreieck im Raster? B C M c A
7 Gleichseitiges Dreieck im Raster? B C M c Diese Figur ist falsch! A
8 Gleichseitiges Dreieck Falten
9 Falten 1. Wir beginnen mit einem langen Streifen.
10 Falten 2. Wir falten in irgend einer Richtung nach OBEN.
11 Falten 3. Auffalten
12 Falten 4. Wir falten nach UNTEN nun genau wie dargestellt.
13 Falten 5. Auffalten
14 Falten 6. Wir falten nach OBEN genau wie dargestellt.
15 Falten 7. Auffalten
16 Falten 8. Wir falten nach UNTEN nun genau wie dargestellt.
17 Falten 9. Auffalten α 2 α 4 α 1 α 3
18 Falten 9. Auffalten α 2 α 4 α 1 α 3 Vermutung: lim ( α n ) = 60 n
19 Beispiel α 1 α 2 α 4 α 1 α 3 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =
20 Beispiel α 1 α 2 α2 α 4 α 1 α 3 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =
21 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =
22 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 =
23 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert = α 2 = 180 α 1 2 α 3 = 180 α 2 2 α 4 = 180 α 3 2 = 72 = = 54 = 60 6 = 63 = Der Fehler wird jedes Mal halbiert: lim ( α n ) = 60 n
24 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = 36 Startwert α n = 180 α n 1 2 Rekursionsformel
25 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = Startwert 36 beliebig α n = 180 α n 1 2 Rekursionsformel Wie finden wir den Limes?
26 Der Startwert spielt keine Rolle n α n α n α n α n
27 Beispiel α 1 α 2 α 3 α 4 α 1 = Startwert 36 beliebig α n = 180 α n 1 2 Rekursionsformel Wie finden wir den Limes?
28 ( 1) Annahme: Es gibt einen Limes ( ) α = lim n α n ( 2) In Rekursionsformel einsetzen: α = 180 α 2 ( 3) Nach α auflösen: 2α = 180 α 3α = 180 α = 60
29 ( 1) Annahme: Es gibt einen Limes ( ) α = lim n α n ( 2) In Rekursionsformel einsetzen: α = 180 α 2 ( 3) Nach α auflösen: 2α = 180 α 3α = 180 α = 60
30 ( 1) Annahme: Es gibt einen Limes ( ) α = lim n α n ( 2) In Rekursionsformel einsetzen: α = 180 α 2 ( 3) Nach α auflösen: 2α = 180 α 3α = 180 α = 60
31 Gleichseitiges Dreieck Falten und schneiden Dreieck Warum ist das richtig? Restenverwertung
32 Quadrat
33 Quadrat?
34 Quadrat?
35 Fünfeck
36 Fünfeck
37 Fünfeck Fünfeck Pentagon Pentagramm
38 Fünfeck 72
39 Fünfeck s s s d d s s 72
40 Fünfeck s s 108 s d d s s 72
41 Fünfeck s 36 s 108 s d d s 36 s 72
42 Fünfeck s s 108 s d d s 36 s 72
43 Fünfeck s s 108 s d d s 36 s 72
44 Fünfeck s s 108 s d d s s
45 Fünfeck s s 108 s 36 d d s 72 s
46 Fünfeck 36 d d s
47 Fünfeck s = 1 d =? 36 d d s
48 Fünfeck s = 1 d =? 36 Ähnliche Dreiecke d d s
49 Fünfeck s = 1 d =? 36 Gleichschenklige Dreiecke d s s d s
50 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s Ähnliche Dreiecke d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>
51 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 s = 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>
52 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>
53 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s Quadratische d Gleichung = 1± 5 d = d>
54 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>
55 Fünfeck s = 1 d =? 36 d s = s d s d 1 = 1 d 1 d s d d 2 d = 1 d 2 d 1 = 0 s s d = 1± 5 2 d = d>
56 Fünfeck Goldener Schnitt
57 Fünfeck Goldener Schnitt Werbung Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig ISBN Das Programm geht nach kurzer Pause weiter
58 Zehneck r = 1 s =? s = r r s
59 s = = = = = s =
60 s = = = = = s =
61 s = = = = = s = Erweitern Warum?
62 s = = = = = s =
63 s = = = = = s =
64 s = = = = = s = Ebenfalls goldener Schnitt (Verhältnis des goldenen Schnittes anders herum)
65 Goldener Schnitt Bezeichnungen: τ = ρ =
66 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion 1 2 1
67 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion ( 1 ) 2 2 = 5 4 =
68 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion ( 1 ) 2 2 = 5 4 =
69 Goldener Schnitt τ = ρ = Konstruktion τ ρ 1 2 1
70 Nochmals Zehneck 1 1 ρ Im Prinzip können wir das Zehneck konstruieren
71 Nochmals Zehneck 1 1? ρ
72 Nochmals Zehneck ρ ρ 1 1 1? ρ
73 Nochmals Zehneck ρ ρ τ 1+ ρ = τ ρ
74 Nochmals Zehneck ρ 1 1 τ ρ
75 Konstruktion des Fünfeckes Wir beginnen mit dem Umkreis
76 Konstruktion des Fünfeckes
77 Konstruktion des Fünfeckes
78 Konstruktion des Fünfeckes Gruß vom goldenen Schnitt
79 Konstruktion des Fünfeckes
80 Konstruktion des Fünfeckes
81 Konstruktion des Fünfeckes
82 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
83 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
84 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
85 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
86 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
87 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Vorbereitung: P PQ = x Q x P y Q y P Q QR = PQ = y P y Q x Q x P Drehung um +90 Ein passender Vektor kann um 90 gedreht werden.
88 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Vorbereitung: P PQ = x Q x P y Q y P Q R QR = PQ = y P y Q x Q x P Drehung um +90 Ein passender Vektor kann um 90 gedreht werden.
89 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Vorbereitung: P PQ = x Q x P y Q y P Q R QR = PQ = y P y Q x Q x P Drehung um +90 Ein passender Vektor kann um 90 gedreht werden.
90 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? A 0 A 4 Annahme: A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 seien Rasterpunkte. A 3 A 1 A 2
91 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? A 0 A 4 Annahme: A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 seien Rasterpunkte. B 1 A 3 Folge: Auch B 1 ist Rasterpunkt. A 1 A 2
92 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? A 0 A 4 B 3 Annahme: A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 seien Rasterpunkte. B 4 B 0 B 2 B 1 A 3 Folge: Auch B 0, B 1, B 2, B 3, B 4 sind Rasterpunkte. A 1 A 2 Wir haben eine kleineres Rasterfünfeck.
93 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
94 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
95 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
96 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
97 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
98 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
99 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
100 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
101 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
102 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Und dann fällt das Fünfeck durch die Maschen.
103 Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster? Die Annahme war falsch. Richtig ist: Ein regelmäßiges Fünfeck passt nicht in einen Quadratraster.
104 Regelmäßiges Sechseck (Hexagon) Hexaflexagon
105 Regelmäßiges Sechseck (Hexagon) Bergfalt Talfalt Hexaflexagon
106 Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
107 Regelmäßiges Siebeneck Siebenbannstein Seit vordenklicher Zeit Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von Lörrach Stetten Jnzlingen Hagenbach Adelhausen Ottwangen Brombach zusammen
108 Regelmäßiges Siebeneck Siebenbannstein Seit vordenklicher Zeit Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von Lörrach Stetten Jnzlingen Hagenbach Adelhausen Ottwangen Brombach zusammen
109 Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Regelmäßiges Siebeneck
110 Regelmäßiges Siebeneck Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Eine Ecke übersprungen
111 Regelmäßiges Siebeneck Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Eine Ecke übersprungen Zwei Ecken übersprungen
112 Regelmäßiges Siebeneck Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Eine Ecke Gauß, Zwei Ecken übersprungen übersprungen Geht nicht
113 Gauß: C. F. Gauß ( ) hat bewiesen, dass jedes regelmäßige n-eck, das einem Kreis mit dem Radius r einbeschrieben werden soll, allein mit Zirkel und Lineal genau dann konstruierbar ist, wenn n eine Zweierpotenz oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und/oder verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
114 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
115 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
116 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
117 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
118 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
119 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
120 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; F 6 bis F 32 keine Primzahl keine Primzahl
121 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = ; keine Primzahl F 6 bis F 32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.
122 Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( F k = 2 2k ) + 1 F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl Fermat, ! F 5 = = = ; keine Primzahl F 6 bis F 32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.
123 Möglich: Dreieck Quadrat Fünfeck 15-Eck Sechseck Achteck Zehneck 30-Eck Zwölfeck 16-Eck 20-Eck 60-Eck 24-Eck 32-Eck 40-Eck 120-Eck 48-Eck 64-Eck 80-Eck 240-Eck 96-Eck 128-Eck 160-Eck 480-Eck usw. usw. usw. usw.
124 Scherengeometrie
125 Scherengeometrie Denn der Schneider mit der Scher' Kommt sonst ganz geschwind daher, Und die Daumen schneidet er Ab, als ob Papier es wär'. Der Struwwelpeter von Heinrich Hoffmann Die Geschichte vom Daumenlutscher
126 Scherengeometrie
127 Scherengeometrie Demo Cabri
128 Scherengeometrie
129 Scherengeometrie
130 Scherengeometrie
131 Scherengeometrie
132 Scherengeometrie
133 Scherengeometrie
134 Regelmäßiges Achteck Decke der Kirche Wilchingen
135 Regelmäßiges Achteck DIN A4 - Papier
136 Regelmäßiges Achteck Mittellinie senkrecht
137 Regelmäßiges Achteck Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
138 Regelmäßiges Achteck Parallelen durch die Schnittpunkte
139 Regelmäßiges Achteck Waagerechte Mittellinie
140 Regelmäßiges Achteck Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
141 Regelmäßiges Achteck Oktogon
142 Regelmäßiges Achteck Oktogon
143 Achtung: Falsche Figur! a b d d = a 2 d =! b a = 2b DIN Format
144 Regelmäßiges Zwölfeck
145 Regelmäßiges Zwölfeck
146 Regelmäßiges Zwölfeck
147 Regelmäßiges Zwölfeck
148 Regelmäßiges Zwölfeck Gleichseitiges Dreieck
149 Regelmäßiges Zwölfeck Flächeninhalt = 3r 2
150 Regelmäßiges Zwölfeck Flächeninhalt = 3r 2
151 Regelmäßiges Zwölfeck Flächeninhalt = 3r 2
152 Regelmäßiges Zwölfeck Minimallösung?
153 Regelmäßiges Zwölfeck Subtraktiv
154 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?
155 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot
156 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?
157 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?
158 Regelmäßiges Zwölfeck blau = rot?
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