Hans Walser, [ a] Pentagramma mirificum Anregung: [Heinrich 2010]
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- Kajetan Althaus
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![Hans Walser, [011019a] Pentagramma mirificum Anregung: [Heinrich 010] 1 Worum es geht Ein Pentagramma mirificum ist ein sphärisches Pentagramm mit rechten Winkeln an den Spitzen.](/docs-images/76/73799383/images/1-2.jpg "Die Abbildung zeigt ein Beispiel in stereografischer Projektion. Der blaue Kreis ist der Hauptkreis (Bild des Äquators in Standarddisposition). 1.")
1 Hans Walser, [011019a] Pentagramma mirificum Anregung: [Heinrich 010] 1 Worum es geht Ein Pentagramma mirificum ist ein sphärisches Pentagramm mit rechten Winkeln an den Spitzen. Die Abbildung zeigt ein Beispiel in stereografischer Projektion. Der blaue Kreis ist der Hauptkreis (Bild des Äquators in Standarddisposition). 1.1 Pol und Polare Pentagramma mirificum Bezeichnungen
2 Hans Walser: Pentagramma mirificum /8 Wegen der rechten Winkel bei C und D ist A ein Pol zu a. Daher haben die Bögen AD, A E, A B und AC alle die Länge. Analog für die übrigen vier Seiten des Pentagramms. 1. Konstruktion Wir beginnen mit einem bei A rechtwinkligen Dreieck AEB. Erster Schritt Nun zeichnen wir b = Polare von B. Der Schnittpunkt mit dem Großkreis BE sei D, der Schnittpunkt mit dem Großkreis AE sei C und der Schnittpunkt mit dem Großkreis AB sei E. Es ergeben sich die beiden rechten Winkel bei D und E. Zweiter Schritt Als letztes zeichnen wir e = Polare von E. Wir erhalten die Schnittpunkte und rechten Winkel gemäß Abbildung. Damit ist das Pentagramma mirificum komplett.
3 Hans Walser: Pentagramma mirificum 3/8 Dritter und letzter Schritt Als Folge der rechten Winkel sind a = Polare von A der Großkreis BE, c = Polare von C der Großkreis DB und d = Polare von D der Großkreis EC. Wir haben eine erstaunliche fünfteilige Schließungsfigur. In der folgenden Abbildung sind auch noch das Pentagramm ABCDE eingezeichnet. Dieses Pentagramm hat die Seitenlänge. Kleines Pentagramm
4 Hans Walser: Pentagramma mirificum 4/8 Das regelmäßige Pentagramma mirificum.1 Berechnungen Die Abbildung zeigt das regelmäßige Pentagramma mirificum. Regelmäßiges Pentagramma mirificum Für die eingezeichneten Bogenlängen und y gilt zunächst: cos( )cos( y) sin + y = cos( + y)= 0 ( )sin( y)= 0 Der sphärische Pythagoras liefert cos( )= cos ( y). Damit erhalten wir: cos ( y)cos( y) 1 cos 4 ( y) 1 cos ( y) = 0 cos 3 ( y)= 1 cos ( y) cos 4 ( y)+ cos 6 ( y) Damit wird: cos 6 ( y)= 1 cos ( y) cos 4 ( y)+ cos 6 ( y) 0 = 1 cos ( y) cos 4 ( y) cos ( y)= 1±. Hier erscheint der golde- Uns interessiert nur die reelle Lösung, also cos( y)= 1+ ne Schnitt (vgl. [Walser 009]).. Der goldene Schnitt Mit der Bezeichnung = erhalten wir: y = arccos( ) Wegen cos( )= cos ( y) folgt:
5 Hans Walser: Pentagramma mirificum /8 = arccos( ) y = arcsin( ) Diagonalen Wir führen nun auch noch die inneren Diagonalen ein. Diagonalen und Bezeichnungen Auf Grund der Polaritätsbeziehungen erscheinen und y nun auch als Winkel. Diese sind in der Abbildung blau markiert. Wir berechnen z und w. Der Sinn dieser fürchterlichen Rechungen ist, nachher ein handfestes Modell zu bauen. Im Dreieck ADE erhalten wir mit dem Winkel-Kosinus-Satz: cos( g)= cos ( y) + sin y ( ) cos ( ) = + = 1 g = arccos( ) Mit dem Seiten-Kosinus-Satz ergibt sich weiter:
6 Hans Walser: Pentagramma mirificum 6/8 Im Dreieck cos( ) = cos ( z)+ sin ( z)cos( g) = 1 sin ( z) sin ( z) sin ( z)= 1 = cos ( z)= 1 1 = + = z = arccos AEB ergibt sich mit dem Seiten-Kosinus-Satz: cos( w)= cos ( z) + sin ( z ) cos ( ) cos( w)= w = arccos Streifenmodell Für ein Streifenmodell (vgl. [Walser 010]) brauchen wir Streifen nach folgendem Maßmuster. Dabei ist 0.90, y 0.666, z 0.4 und w Vom ersten Streifentyp (rot) benötigen wir Eemplare, diese Streifen beranden das regelmäßige Pentagramma mirificum. Vom zweiten Streifentyp (schwarz) benötigen wir ebenfalls Eemplare, diese Streifen bilden die Diagonalen. Der dritte Streifen (blau) kann optional für den Hauptkreis (Äquator) verwendet werden, wir benötigen nur ein Eemplar. Wir erhalten damit je ein regelmäßiges Pentagramma mirificum auf jeder Halbsphäre. Wenn wir nur eine Halbsphäre mit einem regelmäßigen Pentagramma mirificum haben wollen, brauchen wir von den roten und schwarzen Streifen nur je die Hälfte.
7 Hans Walser: Pentagramma mirificum 7/8 y y y y z z z z w w Streifenmuster Die folgende Abbildung zeigt die obere Halbsphäre in stereografischer Projektion. Ober Halbsphäre Die folgenden Abbildungen zeigen ein Halbkugelmodell. Das Penatgramma mirificum wird durch gelbe Streifen gebildet. Die Diagonalen sind schwarz und der Äquator grün. Zuerst ein Schrägbild und dann ein Bild von ganz oben.
8 Hans Walser: Pentagramma mirificum 8/8 Halbkugelmodell Instruktiv ist auch ein Blick ins Innere der Halbkugel. Sicht von innen Literatur [Heinrich 010] [Walser 009] [Walser 010] Heinrich, Frank: Pentagrammafigurationen. MU Der Mathematikunterricht. Elemente nichteuklidischer Geometrien. Jahrgang 6. Heft 6. Dezember 010. Friedrich Verlag, Seelze. S Walser, Hans: Der Goldene Schnitt.., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 009. ISBN Walser, Hans: Handgreifliche Modelle der Kugelgeometrie und der hyperbolischen Geometrie. MU Der Mathematikunterricht. Elemente nichteuklidischer Geometrien. Jahrgang 6. Heft 6. Dezember 010. Friedrich Verlag, Seelze. S
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