1.1 Sonderfall Quadrat Wir halbieren die Seiten eines Quadrates und verbinden gemäß Abbildung 1. Abb. 1: Unterteilung eines Quadrates

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1 Hans Walser, [ a] Rechtecksunterteilung Anregung: F. E., V. Ein Rechteck wird in dazu ähnliche Rechtecke unterteilt. Neben dem Quadrat gibt das DIN-Rechteck einige schöne Beispiele her. Auch die pythagoreischen Zahlentripel spiele eine exemplarische Rolle. 1 Beispiele 1.1 Sonderfall Quadrat Wir halbieren die Seiten eines Quadrates und verbinden gemäß Abbildung 1. Abb. 1: Unterteilung eines Quadrates Dann entsteht in der Mitte ein Quadrat, dessen Fläche ein Fünftel der Fläche des Ausgangsquadrates ist. Dies kann mit einem Puzzle-Beweis eingesehen werden. 1.2 Rechteck im DIN-Format Bei einem Rechteck im DIN-Format unterteilen wir die Seiten je in drei Teile. Dann verbinden wir gemäß Abbildung 2. Abb. 2: Unterteilung eines DIN-Rechteckes Es entstehen Rechtecke, welche zum Ausgangsrechteck ähnlich sind (Beweis?). Der Flächeninhalt eines Teilrechteckes ist ein Elftel des Flächeninhaltes des Ausgangsrechteckes. Dies kann mit einem Puzzle-Beweis eingesehen werden.

2 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 2/ Nochmals: Rechteck im DIN-Format Bei einem Rechteck im DIN-Format unterteilen wir die Längsseite in vier und die Schmalseite in zwei Teile. Dann verbinden wir gemäß Abbildung 3. Abb. 3: Unterteilung eines DIN-Rechteckes Es entstehen Rechtecke, welche zum Ausgangsrechteck ähnlich sind (Beweis?). Der Flächeninhalt eines Teilrechteckes ist ein Neuntel des Flächeninhaltes des Ausgangsrechteckes. Auch dies kann mit einem Puzzle-Beweis eingesehen werden. Im Unterschied zum Beispiel der Abbildung 2 stehen die Teilrechtecke annähernd im Hochformat. 2 Allgemeine Situation 2.1 Unterteilung Wir arbeiten in einem Rechteck im Querformat mit den Seiten a und b, a b. Die Seite a unterteilen wir in m gleiche Teile, die Seite b in n gleiche Teile. Weiter wählen wir zwei Zahlen k und l gemäß Abbildung 4. Die Abbildung 4 entspricht dem Fall m = 9, n = 5, k = 3 und l = 2. Abb. 4: Unterteilungen Die beiden schrägen blauen Linien nehmen wir als Basis für eine Parallelogrammrasterung (Abb. 5).

3 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 3/10 Abb. 5: Parallelogrammraster 2.2 Orthogonalisierung Wir verlangen nun, dass die Parallelogramme Rechtecke sein sollen. Dazu müssen die beiden Parallelenscharen orthogonal sein. Diese Orthogonalitätsbedingung ergibt: Also ist (Orthogonalitätsbedingung): l n b a = k m a b b 2 = kn lm a2 b = kn lm a Zu gegebenem a ist also b bestimmt. Für das Beispiel Fall m = 9, n = 5, k = 3 und l = 2 erhalten wir b = 5 6 a a. Die Abbildung 6 zeigt das korrigierte Rechteck. (Als Folge der erforderlichen affinen Streckung in vertikaler Richtung erscheinen die ursprünglich kreisförmigen Punktsignaturen nun als stehende Ellipsen.)

4 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 4/10 Abb. 6: Orthogonalisierte Version Es ist dann ψ = φ und weiter: Ferner ist: tan( φ) = l n b a = l n kn lm = kl mn cos( φ) = 1 1+tan 2 ( φ) = mn mn+kl p = a m cos( φ) = a m q = b n cos( φ) = b n mn mn+kl = a mn mn+kl = b m n n m 1 mn+kl 1 mn+kl Für den Flächeninhalt eines Rasterrechteckes erhalten wir daraus: pq = ab 1 mn+kl Wir haben also flächenmäßig mn + kl Rasterrechtecke im Ausgangsrechteck. 2.3 Ähnlichkeit Weiter sollen die Rasterrechtecke ähnlich zum Ausgangsrechteck sein. Dazu sind zwei Fälle zu unterscheiden: Erster Fall ( Querformat ): p q = a b Zweiter Fall ( Hochformat ): p q = b a Teilrechtecke Querformat Wir erhalten die Bedingung:

5 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 5/10 a p q = m cos φ b n cos φ Daraus ergibt sich die Querformatsbedingung: Es ist dann b = a, und wir haben flächenmäßig m 2 + kl Rasterrechtecke im Ausgangsrechteck. k l Teilrechtecke Hochformat Wir erhalten die Bedingung: ( ) ( ) = an n = m bm =! a b a p q = m cos φ b n cos φ ( ) ( ) = an bm =! b a Also: a 2 n = b 2 m. Wegen der Orthogonalitätsbedingung b 2 = kn lm a2 ergibt sich: a 2 n = kn lm a2 m 1 = k l Wir erhalten die Hochformatsbedingung: Es ist b = n m a, und wir haben flächenmäßig mn + k2 Rasterrechtecke im Ausgangsrechteck. l = k 2.4 Übersicht Teilrechtecke Querformat Teilrechtecke Hochformat Bedingung Format Ausgangsrechteck Anzahl Rasterrechtecke n = m b = k l a m 2 + kl l = k b = n m a mn + k 2 3 Weitere Beispiele 3.1 Raster parallel zu Rechtecksseiten Die Rasterlinien sollen parallel zu den Seiten des Ausgangsrechteckes sein. In diesem Fall ist k = 0 und l = Teilrechtecke Querformat Es ist zunächst n = m und b = k l a. Die zweite Formel macht aber für k = 0 und l = 0 keinen Sinn. Aus der ursprünglichen Form für die Orthogonalitätsbedingung, also l n b a = k m a b,

6 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 6/10 erhalten wir in unserem Fall 0 a = 0. Die Seiten des Ausgangsrechteckes sind unabhängig voneinander, wir können ein beliebiges Ausgangsrechteck unterteilen. Die Abbil- b dung 7 zeigt die Situation für n = 3. Wir erhalten n 2 = 9 Rasterrechtecke. Abb. 7: Parallele Unterteilung im Querformat Teilrechtecke Hochformat Die Bedingung l = k ist ohnehin erfüllt. Für das Ausgangsrechteck haben wir die Formatbedingung b = n m a. Wir erhalten mn Teilrechtecke. Das bekannteste Beispiel ist der Fall m = 2 und n = 1, also das DIN-Format mit b = 1 2 a. Aus einem DIN A4 Papier ergeben sich durch Halbieren zwei DIN A5 Papiere (Abb. 8). Abb. 8: Halbieren im DIN-Format Als weiteres Beispiel den Fall m = 6 und n = 2, also b = 1 3 a (Abb. 9). Das Ausgangsrechteck lässt sich in ein gleichseitiges Dreieck einpassen. Es ergeben sich 12 Teilrechtecke.

7 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 7/10 Abb. 9: Unterteilung im doppelten halben Dreieck Die Abbildung 10 zeigt eine davon abgeleitete Unterteilung des gleichseitigen Dreieckes in zwölf flächengleiche Teile. 3.2 Spezielle Ausgangsrechtecke Abb. 10: Unterteilung des Dreiecks Quadrat Das Quadrat ist sowohl Querformat wie auch Hochformat. Wir haben daher die beiden Bedingungen n = m und l = k. Viel Spielraum gibt es da nicht. Die Abbildung 11 zeigt die Situation für den Fall n = m = 4 und l = k = 3. Wir erhalten m 2 + k 2 = 25 Teilquadrate. Diese 25 Teilquadrate lassen sich natürlich quadratisch anordnen, das Gesamtquadrat ist aber flächengleich und damit kongruent zum Ausgangsquadrat. Es geht aus diesem durch eine Drehung um den Winkel arctan 3 4 Für den Puzzle-Beweis müssen wir Teile umlegen (spiegeln). ( ) hervor.

8 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 8/10 Abb. 11: Unterteilung des Quadrates Das Beispiel ist allerdings etwas speziell, weil die Zahlen n = m = 4 und l = k = 3 zum pythagoreischen Zahlentripel 3, 4, 5 gehören. Die Abbildung 12 zeigt das analoge Beispiel für Zahlen n = m = 12 und l = k = 5, welche zum pythagoreischen Zahlentripel 5, 12, 13 gehören. Es gibt m 2 + k 2 = 169 Teilquadrate, die wir eine einem Quadrat anordnen können. Abb. 12: Pythagoreisches Zahlentripel 5, 12, 13

9 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 9/10 Wir werden hier Opfer einer optischen Täuschung, indem wir meinen, dass das Ausgangsquadrat (das ist dasjenige mit den Unterteilungspunkten) schief im Satzspiegel hängt. Dies ist aber nicht der Fall, wie man durch Nachmessen sich überzeugen kann. Die Zahlen n = m = 3 und l = k = 1 gehören nicht zu einem pythagoreischen Zahlentripel. Es gibt m 2 + k 2 = 10 Teilquadrate (Abb. 13), und die können wir nicht quadratisch anordnen. Es bleibt eins übrig DIN-Rechteck Abb. 13: Es bleibt eins übrig Im DIN-Rechteck ist b = 1 2 a. Im Vergleich mit den Formatbedingungen für Querformat, also b = k l a, beziehungsweise Hochformat, also b = Bedingungen l = 2k beziehungsweise n = 2m. n m a, sehen wir die Im Querformat-Fall ergeben sich m 2 + 2k 2 Teilrechtecke, im Hochformatfall 2m 2 + k 2 Teilrechtecke. Als Beispiel (Abb. 14) den Querformat-Fall mit m = 4, k = 5 und l = 10. Man beachte, dass k > m. Es geht trotzdem.

10 Hans Walser: Rechtecksunterteilung 10/10 Abb. 14: Querformat? Die Teilrechtecke scheinen eher im Hochformat zu stehen. Wir müssen den Begriff Querformat präzisieren: Die Teilrechtecke stehen im Querformat, wenn ihre Längsseite die Richtung der von der linken unteren Ecke des Ausgangsrechteckes ausgehenden Rasterlinie hat.