1 Worum es geht Wir konstruieren den Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie viele Arten dies möglich ist.

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1 Hans Walser, [ ] Schwerpunkte nach Archimedes 1 Worum es geht Wir konstruieren den Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie viele Arten dies möglich ist. 2 Beispiele 2.1 Eineck Das Eineck besteht nur aus einem Punkt, und dieser ist sein eigener Schwerpunkt. 2.2 Zweieck Bei zwei Punkten ist der Mittelpunkt ihrer Strecke der Schwerpunkt. Diese Konstruktion kann nur auf eine Art durchgeführt werden (Abb. 1). Abb. 1: Der Mittelpunkt ist Schwerpunkt 2.3 Dreieck Wir verbinden zwei der drei Dreiecksecken. Deren Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. In diesem Punkt hängen zwei Massen. Nun verbinden wir diesen (lokalen) Schwerpunkt mit der dritten Dreiecksecke, wir zeichnen also die Seitenhalbierende. Da wir an einem Ende (Seitenmitte) dieser Seitenhalbierenden zwei Massen haben, am anderen Ende (Dreiecksecke) aber nur eine, müssen wir für den Schwerpunkt dritteln. Der Schwerpunkt ist ein Drittel von der Seitenmitte entfernt. Das ist dann auch der Schwerpunkt aller drei Dreiecksecken. Diese Konstruktion kann auf drei Arten durchgeführt werden (Abb. 2). Abb. 2: Drei Konstruktionen des Schwerpunktes Die Überlagerung der drei Figuren ist von der Schule her bekannt (Abb. 3).

2 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 2/11 Abb. 3: Überlagerung Das gelb markierte Dreieck (Seitenmittendreieck) ist längenmäßig halb so groß wie das Ausgangsdreieck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsdreieck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor 1. Der Flächeninhalt des gelben Dreiecks ist 2 ein Viertel des Flächeninhaltes des Ausgangsdreieckes. Dies kann durch eine Parkettierung gezeigt werden. 2.4 Viereck Die Abbildung 4 zeigt ein Beispiel für das Viereck. Zuerst wird halbiert (rot), dann gedrittelt (grün) und dann geviertelt (blau). Abb. 4: Viereck Es geht aber auch anders (Abb. 5). Da wird ausschließlich halbiert. Abb. 5: Halbieren Auf wie viele Arten kann im Viereck der Schwerpunkt nach Archimedes gefunden werden? Für Konstruktionen vom Typ der Abbildung 4 wählen wir zunächst einen Eckpunkt (4 Möglichkeiten) und verbinden mit einem anderen Eckpunkt (3 Möglichkeiten, rot). Dann zeichnen wir den Mittelpunkt dieser Strecke (rot) und verbinden mit einem weiteren Eckpunkt (noch 2 Möglichkeiten, grün. Diese Strecke dritteln wir. Der Drittelpunkt (grün) näher beim Mittelpunkt des ersten Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der bislang verwendeten Eckpunkte. Wir verbinden diesen grünen Schwerpunkt mit der verbleibenden Ecke (nur eine Möglichkeit, blau) und vierteln. Der Viertelpunkt (blau)

3 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 3/11 nahe beim Schwerpunkt des zweiten Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der vier Eckpunkte. Der erste Schritt (rot) wird bei dieser kombinatorischen Abzählung allerdings doppelt gezählt. Für die Gesamtzahl der Konstruktionen nach dem Typ der Abbildung 4 ergeben sich somit = 4! = 12 Möglichkeiten. Die Abbildung 6 listet diese explizit 2 2 auf. Abb. 6: Die zwölf Beispiele Für die Konstruktionen vom Typ der Abbildung 5 müssen wir die 4 Eckpunkte in Paare aufteilen. Dazu gibt es 1 2 ( 24 )= 3 Möglichkeiten. Der Mittelpunkt der Mittelpunkte der

4 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 4/11 beiden Paare ist jeweils der Schwerpunkt der vier Ecken. Bei diesen Konstruktionen müssen wir lediglich halbieren. Die Abbildung 7 listet die drei Fälle explizit auf. Abb. 7: Drei Fälle mit Halbieren Es gibt also insgesamt 15 Fälle. Die Abbildung 8 zeigt die Überlagerung dieser 15 Fälle. Abb. 8: Überlagerung Die drei in der Abbildung 9 markierten Viereck sind Parallelogramme. Das erste ist ein Ladenhüter der Schulgeometrie.

5 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 5/11

6 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 6/11 Abb. 9: Drei Parallelogramme Das in der Abbildung 10 markierte gelbe Viereck ist ähnlich zum Ausgangsviereck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsviereck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor 1 3. Abb. 10: Ähnliches Viereck Flächenmäßig ist das gelbe Viereck ein Neuntel des Ausgangsviereck. Ein Versuch, dies durch eine Parkettierung zu zeigen, scheitert (Abb. 11). An den Ecken des Ausgangsviereckes erscheinen Parallelogramme, welche nicht gleich groß sind.

7 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 7/11 Abb. 11: Keine Parkettierung Wenn wir doch parkettieren (man kann mit jedem Viereck ein Parkett bauen), ergibt sich eine Umrissfigur mit neun Ecken, welche Flächengleich zum Ausgangsviereck ist (Abb. 12). Abb. 12: Parkettierung Die Flächengleichheit der beiden Figuren kann auch mit einem Zerlegungsbeweis gezeigt werden (Abb. 13).

8 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 8/11 Abb. 13: Zerlegungsbeweis 2.5 Fünfeck Die Abbildung 14 zeigt zwei verschiedene Beispiele für das Fünfeck. Die gefüllten Punkte illustrieren die benötigten Teilverhältnisse. Der Schwerpunkt ist schwarz gezeichnet. Abb. 14: Fünfeck Wer Lust hat, kann sich überlegen, wie viele Fälle es beim Fünfeck insgesamt gibt.

9 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 9/11 3 Abzählung Wir bezeichnen mit hn ( ) die Anzahl der Fälle beim n-eck. 3.1 Bereits bekannte Beispiele Aus unseren Beispielen erhalten wir die Tabelle 1. ( ) n h n Tab. 1: Beispiele { } kennen und suchen eine Re- 3.2 Eine Rekursionsformel Wir gehen davon aus, dass wir h( k) für k 1,,n 1 kursionsformel für h( n). Dazu unterteilen wir die n in zwei nichtleere disjunkte Teilmengen von k und n k Punkten. Dies geht auf n k ( ) Arten. Zur Teilmenge von k Punkten können wir auf hk Arten den Schwerpunkt konstruieren, zur Komplementärmenge auf hn k Nun unterteilen wir die Verbindungsstrecke der Schwerpunkte der beiden Teilmengen im Verhältnis ( n k): k und erhalten so den Schwerpunkt der n Punkte. Somit ist: hn ( )= 1 n 2 ( k )hk ( ) hn ( k) ( ) ( ) Arten. Der Faktor 1 ist erforderlich, weil die Teilmengen für j Punkte sowohl für k = j wie 2 auch für k = n j berücksichtigt werden. Die Summe läuft von 1 bis n 1, weil die Teilmengen mindestens 1 und höchstens n 1 Elemente enthalten. Mit Hilfe dieser Rekursionsformel und dem Startwert h()= 1 1 erhalten wir die Werte der Tabelle 2, Spalte 2. h( n) Zerlegung n Tab. 2: Beispiele. Zerlegung

10 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 10/11 Die Zahlen werden rasch groß. Aus der dritten Spalte der Tabelle 2 ergibt sich die Vermutung für eine explizite Formel: hn ( )= ( 2k 1) = ( 2n 2)! ( )!2 Für den Beweis dieser expliziten Formel arbeiten wir mit den Catalan-Zahlen. Die Anregung dazu erhielt ich von P. W. in A Catalan-Zahlen Eugène Charles Catalan, (1814 in Brügge 1894), belgischer Mathematiker Definition der Catalan-Zahlen: C n = 1 2n ( 2n)! n+1( n )= ( n+1)!n! Numerisch: n C n Für die Catalan-Zahlen gilt die Rekursion von Segner 1758 (Johann Andreas von Segner, 1704 in Pressburg (Bratislava) 1777 in Halle): C n+1 = n k=0 C n k C k Mit Hilfe der Catalan-Zahlen können wir die vermutete explizite Formel umschreiben: ( 2n 2)! hn ( )= = n! ( ( ))! n! ( )! = n! ( )! Beweis der expliziten Formel Zu zeigen ist: hn ( )= n! erfüllt die Rekursion 2 C mit dem Startwert h()= 1 1. Startwert: h 1 ()= 1! 2 0 C 0 = C 0 = 1 ok. hn ( )= 1 n 2 ( k )hn k ( )hk ( ) 2 C

11 Hans Walser: Schwerpunkte nach Archimedes 11/11 Rekursion: Linke Seite: h( n)= n! C 2 Rechte Seite: ( )hn ( k)hk ( ) = 1 n! ( n k)! 2 ( n k)!k! C 2 k 1 k 1 = n! C 2 n k 1 C k 1 1 n 2 k 2 n k 1 C n k 1 k! Nun verwenden wir die Rekursion von Segner: C n+1 = Zunächst ist: Durch Umindizieren ergibt sich: C = C = Somit erhalten wir für die rechte Seite: 1 n 2 k Dies ist gleich der linken Seite. Die explizite Formel ist bewiesen. n 2 k=0 C n 2 k C k C k C k 1 n k=0 C n k C k ( )hn ( k)hk ( ) = n! C 2 n k 1 C k 1 = n! 2 C