a) b) Abb. 1: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck und Wurzel-2-Dreieck

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1 Hans Walser, [09030] Wurzel--Dreieck Anregung: Horst Steibl, Braunschweig Worum geht es? Das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck (Abb. a) hat das Seitenverhältnis ::. Wir vertauschen nun die beiden Längen und arbeiten mit dem gleichschenkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis : : (Abb. b). Dieses Dreieck nennen wir das Wurzel--Dreieck. a) b) Abb. : Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck und Wurzel--Dreieck Beide Dreiecke können mit je drei Rechtecken im DIN-Format (Walser 03) ausgelegt werden (Abb. ). a) b) Abb. : DIN-Rechtecke

2 Hans Walser: Wurzel--Dreieck / 4 Längen und Winkel Für das Wurzel--Dreieck mit der Basislänge gelten folgende Maße (Bezeichnungen nach Abb. 3). C γ M b 3 3 M a 3 ε 3 A γ γ B Abb. 3: Maße und Bezeichnungen Es ist: γ = arccos( 3 4) () Dieser Winkel γ ist der Spitzenwinkel des Dreiecks, kommt aber auch an anderen Orten vor. Weiter ist: h c = 7.39 () α = β = arccos (3) 8

3 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 3 / 4 ε = arccos( 8) (4) Weiter gilt für die Schwerlinien s a und s b : s a = s b = (5) Die Dreiecke M b AB und BM a A sind daher ebenfalls Wurzel--Dreiecke. 3 Zerlegungen Die Abbildung 4 zeigt eine Zerlegung des Wurzel--Dreieckes durch eine von einer Basisecke ausgehende Schwerlinie in zwei flächengleiche Dreiecke. Abb. 4: Zerlegung Das eine der beiden Dreiecke (himmelblau) ist ebenfalls ein Wurzel--Dreieck. Das andere (orange) Dreieck hat das Seitenverhältnis : :. Der Lehrer Lämpel bringt hier die Bemerkung an, das sei eine geometrische Folge. Wir bezeichnen dieses Dreieck mit dem sperrigen Namen Wurzel--Nebendreieck.

4 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 4 / 4 3. Zerlegung des Wurzel--Nebendreieckes Das Wurzel--Nebendreieck kann in eine Folge von Wurzel--Dreiecken zerlegt werden (Abb. 5a). Dabei wird der Flächeninhalt der Dreiecke schrittweise halbiert. Die Schenkellänge des folgenden Dreieckes ist die Basislänge des vorhergehenden Dreieckes. Zusammen mit dem Wurzel--Dreieck unten rechts haben wir nun eine Zerlegung des ursprünglichen Wurzel--Dreiecks in eine Folge von Wurzel--Dreiecken. Diese Zerlegung erinnert an die Zerlegung des DIN A0-Rechteckes in Rechtecke DIN A, A, A3,... (Walser 03, S., Abb..4). a) b) Abb. 5: Zerlegung

5 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 5 / 4 3. Zerlegung des Wurzel--Dreieckes Wir können umgekehrt das Wurzel--Dreieck in eine Folge von Wurzel-- Nebendreiecken zerlegen. Die Abbildung 6a zeigt eine einfache Lösung mit dem Grenzpunkt rechts unten, die Abbildung 6b eine spiralförmige Lösung mit einem Grenzpunkt im Innern. In der Abbildung 6a sind die orangen und die grünen Dreiecke ungleichsinnig ähnlich. In der Abbildung 6b sind alle Teildreiecke gleichsinnig ähnlich. Es gibt unendlich viele weitere Lösungen. a) b) Abb. 6: Zerlegungen in Wurzel--Nebendreiecke Frage: Gibt es analoge Zerlegungen für andere Dreiecke? 4 Falten Das Wurzel--Dreieck kann durch Falten konstruiert werden. Dies geht sowohl mit einem Papier im DIN-Format wie auch mit einem quadratischen Origami-Papier. Beide Faltkonstruktionen sind exakt. 4. Papier im DIN-Format Die Abbildung 7 zeigt den Faltvorgang. Zu Orientierungszwecken wird angenommen, das Papier sei vorne gelb und hinten magenta. Die beiden schrägen Faltlinien definieren das Wurzel--Dreieck.

6 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 6 / 4 Abb. 7: Falten bei DIN-Papier 4. Quadratisches Origami Papier Die Abbildung 8 zeigt den Faltvorgang. Abb. 8: Falten bei Origami-Papier Wer clever ist, holt noch ein zweites Wurzel--Dreieck heraus.

7 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 7 / 4 5 Das Wurzel--Trapez Wir schneiden auf halber Höhe die Spitze des Wurzel--Dreieckes ab (Abb. 9a). Es bleibt ein gleichschenkliges Trapez übrig. Durch Strecken mit dem Faktor die Grundparallele die Länge erhält, die Schenkel erhalten die Länge und die Deckparallele die Länge, also den Kehrwert der Grundparallele (Abb. 9b). Die Diagonalen erhalten ebenfalls die Länge. a) b) Abb. 9: Abschneiden zum Trapez Dieses Trapez kann als spezielle Position eines Gelenkmodells gesehen werden, das aus den vier in der Abbildung 9b fett eingezeichneten Stäben der Längen und besteht (Walser 03, S. 37, 38, 44). Die beiden Parallelseiten haben dann inverse Längen. Die Abbildung 0 zeigt zwei andere Positionen dieses Gelenkmodells.

8 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 8 / 4 Φ 0.68 Φ.68 a) b) Abb. 0: Andere Positionen 6 Dimetrische Axonometrie ( ) ( ) Den Spitzenwinkel γ = arccos 3 des Wurzel--Dreieckes treffen wir auch 4 bei der dimetrischen Axonometrie an (Abb. a mit den Einheitsvektoren auf den Achsen). Ebenfalls treffen wir dort den Schnittwinkel ε = arccos der beiden Schwerlinien s a 8 und s b an. Die Winkel in der Abbildung sind rein planimetrisch zu verstehen, nicht etwa räumlich. Im Raum misst ja der Winkel zwischen der y- Achse und der z-achse 90. z γ x ε y a) b) Abb. : Dimetrische Axonometrie In der Abbildung b ist das dimetrische Bild des Einheitswürfels eingetragen.

9 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 9 / 4 7 Rationale Seitenverhältnisse Das Seitenverhältnis im Wurzel--Dreieck ist irrational. Es gibt aber auch Dreiecke mit rationalen Seitenverhältnissen, bei denen Vielfache (modulo 80 ) der Winkel γ = arccos( 3 und erscheinen. 4) ε = arccos( 8) Seitenverhältnis 3:: ε γ γ Abb. : Seitenverhältnis 3:: Dieses Dreieck erscheint auch als Teildreieck in der Abbildung 3.

10 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 0 / 4 7. Seitenverhältnis :4:4 ε γ γ Abb. 3: Seitenverhältnis :4:4 Die Winkel sind modulo 80 verdoppelt.

11 Hans Walser: Wurzel--Dreieck / Seitenverhältnis 9:8:8 3ε γ 80 3γ 80 9 Abb. 4: Seitenverhältnis 9:8:8 Die Winkel sind modulo 80 verdreifacht. 7.4 Seitenverhältnis 3:6: γ 80 4ε γ 80 Abb. 5: Seitenverhältnis 3:6:6 Die Winkel sind modulo 80 vervierfacht.

12 Hans Walser: Wurzel--Dreieck / Seitenverhältnis 57:3:3 3 5ε γ 80 5γ Abb.6: Seitenverhältnis 57:3:3 Die Winkel sind modulo 80 verfünffacht. Frage: Gibt es ein analoges Vorgehen für andere Winkel? 7.6 Übersicht 7.6. Positive Zahlen Die Tabelle gibt eine Übersicht. Faktor Basis Schenkel Schenkel Tab. : Übersicht Für den Vervielfachungsfaktor n ist die Schenkellänge: a n = n (6) Für die Basislänge gilt:

13 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 3 / 4 c n = a n cos( nγ ) (7) 7.6. Weglassen der Betragsstriche Mit erhalten wir die Werte der Tabelle. d n = a n cos( nγ ) (8) n d n a n Tab. : Mit Minuszeichen Bei der Folge d n handelt es sich um die Folge A47563 der oeis. Sie hat die Rekursion: d n = 3d n 4d n (9)

14 Hans Walser: Wurzel--Dreieck 4 / 4 Weblinks Oeis, The On-Line Encyclopedia for Integer Sequences: Horst Steibl, Braunschweig: Hans Walser: Miniaturen: DIN-Format: Literatur Walser, Hans (03): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck Goldenes Trapez DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 03. ISBN