Hans Walser, [ a] Dreiecksunterteilung Anregung: I. L., B.

Transkript

1 Hans Walser, [00075a] Dreiecksunterteilung Anregung: I. L., B. Worum geht es? Wir unterteilen die drei Seiten eines Dreieckes in den Verhältnissen : und :, zeichnen die sechs zugehörigen Ecktransversalen und untersuchen die dadurch entstehenden Teilgebiete des Dreieckes. Unterteilung Affine Invarianz Für Fragen der Inzidenz (Kollinearität dreier Punkte und Kounktalität dreier Geraden) sowie Teilverhältnisse auf einer Geraden und Flächenanteile von Polygonen können wir ausnützen, dass jedes Dreieck affin regulär ist, das heißt durch eine affine Abbildung auf ein regelmäßiges Dreieck abgebildet werden kann. Wir können also die entsrechenden Fragen beim regelmäßigen Dreieck untersuchen.

2 Hans Walser: Dreiecksunterteilung /5 Regulärer Fall 3 Baryzentrische Koordinaten Wir arbeiten im Folgenden mit baryzentrischen Koordinaten mit der Festlegung : 0 : 0, 0 : : 0 und 0 : 0 : für die Dreiecksecken. Damit erhalten wir: : 0 : 0 0 : 0 : : 0 : : 0 : : 0 : : 0 : : : : : 0 : : 0 : : : : 0 : : 0 :: : : : 0 : : : :: : 0 : : : : : 0 : : : : 0 : : : : : : : : : 0 : 0 : : : : 0 0 :: 0 0 : 0 : : : 0 :: 0 : : 0 : : 0 0 :: 0 : : 0 Baryzentrische Koordinaten, unnormiert

3 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 3/5 Blaue Koordinaten beziehen sich auf Punkte, rote Koordinaten auf Geraden. Die Koordinaten sind noch nicht normiert. Wir können aber schon mal zeigen, dass die sechs Punkte : :, : :, : :, : :, : : und : : jeweils auf Seitenhalbierenden liegen. Es ist zum Beisiel: 0 0 det = 0 und 0 0 det = 0 Daher sind die Punkte 0 : 0 :, : :, : : kollinear und ebenso die Punkte 0 : 0 :, : :, :: (vgl. [Kennedy 993]). Dies folgt wegen der affinen Invarianz auch direkt aus dem regulären Fall. 4 Normierung Um Längenverhältnisse auf einer Geraden zu berechnen, benötigen wir normierte baryzentrische Koordinaten. Wir normieren wie folgt: ξ ξ :η :ζ! ξ+η+ζ, η ξ+η+ζ, ζ ( ξ+η+ζ ) Wenn wir die normierten baryzentrischen Koordinaten als kartesische 3d-Koordinaten interretieren, erhalten wir folgende Situation:

4 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 4/5 z y x Darstellung im Raum Die Figur liegt in der Ebne x + y + z =. Es wird automatisch der Fall des regulären Dreiecks dargestellt. 5 Längenverhältnisse Aus Symmetriegründen (in der Darstellung des regulären Dreiecks) sind die Längenverhältnisse auf vielen Geraden gleich. Wir haben im Prinzi nur drei Geradentyen: Dreiecksseiten, Seitenhalbierende, Ecktransversalen

5 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 5/5 5. Dreiecksseiten Wir bearbeiten die Dreiecksseite 0 : 0 :. (, 0,0) +, ( + ),0 (,,0 ) Dreiecksseite Damit erhalten wir aber nur die Daten der Aufgabe. +, ( + ),0 ( 0,,0 )

6 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 6/5 5. Seitenhalbierende Wir bearbeiten die Seitenhalbierende :: 0. ( 0, 0,) +, +, ( + ) ( 3, 3, 3) +, +, ( +) ( ),,0 Seitenhalbierende Wir sehen anhand der jeweiligen dritten Koordinaten (welche aufwärts von 0 bis läuft), dass der untere Ecktransversalen-Schnittunkt auf dem relativen Niveau +, der Schwerunkt auf dem relativen Niveau Schnittunkt auf dem relativen Niveau + beiden Ecktransversalen-Schnittunkte ergibt sich: = +5 + und der obere Ecktransversalen- liegt. Für den Niveau-Unterschied der Das kann auch so formuliert werden: Die Summe der Längen der der Mittelunktsdiagonalen des gelb markierten Sechseckes ist gleich Seitenhalbierendenlängen mal die Summe der

7 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 7/5 Sechseck in der Mitte Zahlenbeisiele: Für =, =, das heißt beim Dritteln der Dreiecksseiten ist der untere Ecktransversalen-Schnittunkt auf dem Niveau und der obere Ecktransversalen-Schnittunkt auf 5 dem Niveau (also auf der Mittelarallel des Dreiecks). Niveau-Unterschied 3 0. Für =, = 3, das heißt beim Vierteln der Dreiecksseiten ist der untere Ecktransversalen-Schnittunkt auf dem Niveau und der obere Ecktransversalen-Schnittunkt auf 7 dem Niveau 3. Niveau-Unterschied

8 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 8/5 5.3 Ecktransversalen Wir bearbeiten die Ecktransversale : : 0. ( 0, 0,) + +, + +, + + +, +, ( +) + +, +, +, ( + ), , ( + ),0 Ecktransversale Für die Punkte haben wir von unten nach oben die relativen Niveaus (dritte Koordinate): 0, + +, +, +,, + + Für die auf dieser Ecktransversalen liegende Seite des oben gelb markierten erhalten wir die Niveaudifferenz: + + = +5 + Somit ist der Umfang dieses Sechseckes gleich mal die Summe der Längen aller sechs Ecktransversalen Der Faktor ist halb so groß wie der Faktor, den wir bei den Längen der Mittelunktsdiagonalen angetroffen haben. Es ist aber zu beachten, dass diese Faktoren sich auf unterschiedlich lange Strecken beziehen.

9 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 9/5 6 Flächenanteile Wenn wir den Flächeninhalt des Basisdreieckes auf normieren, kann der Flächenanteil eines Dreiecks DEF mit den normierten baryzentrischen Eckunktskoordinaten ( x D, y D, z D ), ( x E, y E,z E ), ( x F, y F,z F ) mit der Determinante x D y D z D Flächenanteil DreieckDEF = det x E y E z E x F y F z F berechnet werden. Um das einzusehen, denken wir uns in der Darstellung im Raum eine Pyramide über dem Dreieck DEF mit der Sitze im Ursrung des räumlichen Koordinatensystems. Da alle solche Pyramiden, einschließlich der Pyramide über dem Basisdreieck, dieselbe Höhe haben, entsrechen die Volumenverhältnisse den Grundflächenverhältnissen. Im regulären Dreieck sehen wir, dass jeder Flächenanteil sechs Mal erscheint. Flächenunterteilung 6. Gelbes Dreieck Das gelbe Dreieck rechts unten hat die Eckunktskoordinaten ( 3, 3, 3), +, +, ( + ) und +, +, + ( ). Für seinen Flächenanteil erhalten wir:

10 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 0/5 Flächenanteil gelbes Dreieck = det = det = 3 6. Übersicht Analog können wir die übrigen Flächenanteile berechnen. Wir erhalten: ( ) +5 + Gelbes Dreieck Rotes Dreieck Grünes Dreieck Hellblaues Viereck Violettes Dreieck Summe

11 Hans Walser: Dreiecksunterteilung /5 6.3 Beisiele 6.3. Rationale Teilverhältnisse Farbe \ und = = = = 3 = = 4 = = 3 = = 5 Stichwort Dritteln Vierteln Fünfteln Fünfteln Siebteln Gelbes Dreieck 60 = = = = = Rotes Dreieck 70 = = = = = Grünes Dreieck 8 = = = = = 376 Hellblaues Viereck 0 = = = = = 376 Violettes Dreieck = = = = = Summe 6 = = = = = Bei =, = 4 (Fünfteln) bedeckt das gelbe Sechseck einen Drittel der Dreiecksfläche. Ein Drittel ist gelb

12 Hans Walser: Dreiecksunterteilung /5 Bei =, = 5 (Siebteln) bedeckt das gelbe Sechseck einen Sechstel der Dreiecksfläche. Ein Sechstel ist gelb

13 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 3/ Goldener Schnitt und DIN-Format Farbe \ und = = + 5 = = Stichwort Goldener Schnitt DIN-Format Gelbes Dreieck Rotes Dreieck Grünes Dreieck Hellblaues Viereck Violettes Dreieck Summe

14 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 4/ Weitere irrationale Teilverhältnisse Wir wollen erreichen, dass das gelbe zentrale Sechseck einen vorgegebenen Flächenanteil des Dreiecks hat, zum Beisiel die Hälfte. Mit der Normierung = erhalten wir dafür die Bedingung: = Farbe \ und Sechsecksgröße = = Halbes Dreieck Gelbes Dreieck Rotes Dreieck Grünes Dreieck Hellblaues Viereck Violettes Dreieck Summe

15 Hans Walser: Dreiecksunterteilung 5/5 Im folgenden Beisiel soll das gelbe zentrale Sechseck einen Viertel der Dreiecksfläche ausmachen. Farbe \ und Sechsecksgröße Gelbes Dreieck = = Viertel des Dreieckes Rotes Dreieck Grünes Dreieck Hellblaues Viereck Violettes Dreieck Summe Literatur [Kennedy 993] Kennedy, Joe: (Resonds to) Marion s Theorem. Math. Teacher 86, 993,. 69