Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene Lernumgebung Teil 2

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Stefan Weber
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1 Hans Walser Raumgeometrie Modul 4 Die Ebene Lernumgebung Teil 2

2 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 ii Inhalt 1 Abstand Punkt / Ebene Abstand Neigungswinkel Neigungswinkel Neigungswinkel Normale einer Ebene Durchstoßpunkt Durchstoßpunkt Spiegelpunkt Gleicher Abstand Schnittgerade Schnitt zweier Ebenen Schnitt zweier Ebenen Schnitt dreier Ebenen Schnittaufgabe Schnittaufgabe Schnittaufgabe Klassische Schnittaufgabe Spiegelung Windschief? Windschief? Windschief? Durchstoßpunkte einer Geraden mit einer Kugel Prinz Rupert Modul 4 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2006 Provisorische Ausgabe. Formel-Editor revidiert Sommer 2007 Ergänzungen und Korrekturen Frühjahr 2008 Ergänzungen Frühjahr 2010 Grafische Überarbeitung last modified: 10. Mai 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Uni Basel

3 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Abstand Punkt / Ebene Welchen Abstand hat der Punkt P von der durch die beiden Spuren gegebenen Ebene? Begründen Sie Ihre Antwort. s 2 P" P' s 1 Wie weit ist der Punkt von der Ebene entfernt?

4 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Abstand Welchen Abstand hat der Punkt P von der Ebene, welche durch die drei Punkte A, B, C aufgespannt wird? P B" A" C" C' A' P' B' Abstand von einer Ebene

5 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Neigungswinkel Welchen Neigungswinkel hat die Ebene bezüglich der dritten Rissebene Π 3? Tipp: Welcher Tipp ist hier wohl der beste? s 2 s 1 Neigungswinkel?

6 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Neigungswinkel Eine Ebene ist gegeben durch einen Punkt P und eine erste Hauptgerade h. Gesucht ist der Neigungswinkel dieser Ebene gegenüber der Grundrissebene. P' h" h' P Neigungswinkel?

7 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Neigungswinkel Gesucht ist der Neigungswinkel der Ebene, welche durch h und k gegeben ist, gegenüber der Aufrissebene. k" h" y-achse h' Neigungswinkel? k'

8 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Normale einer Ebene n ist eine Normale, P ein Punkt einer Ebene. Gesucht ist der Schnittpunkt von n mit der Ebene. n P n P Schnittpunkt der Normalen mit der Ebene?

9 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Durchstoßpunkt Wo schneidet die Gerade g die durch a und b definierte Ebene? g b a b a g Durchstoßpunkt?

10 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Durchstoßpunkt g s 2 s 1 g Wo schneidet die Gerade g die durch die Spuren s 1 und s 2 definierte Ebene? Durchstoßpunkt?

11 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Spiegelpunkt Gesucht ist der Spiegelpunkt von P bei Spiegelung an der Ebene. s 2 P" P' s 1 Spiegelpunkt?

12 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Gleicher Abstand Gesucht ist ein Punkt P auf g, welcher von A und B denselben Abstand hat. B g A A B g Gleicher Abstand

13 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnittgerade Gesucht ist die Schnittgerade der beiden durch ihre Spuren gegebenen Ebenen. t 2 s 2 t 1 s 1 Schnittgerade?

14 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 12 Ergebnis t 2 s" s 2 t 1 s' s 1 Ergebnis

15 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnitt zweier Ebenen Gesucht ist die Schnittgerade g der beiden durch ihre Spuren gegebenen Ebenen. Tipp: Seitenriss. t 2 s 2 t 1 Schnitt zweier Ebenen s 1

16 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 14 Ergebnis t 2 g"' s 2 g" t 1 g' s 1 Ergebnis

17 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnitt zweier Ebenen Gesucht ist die Schnittgerade der beiden durch ihre Spuren gegebenen Ebenen. t 2 s 2 s 1 t 1 Schnittgerade?

18 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnitt dreier Ebenen Gegeben sind drei Ebenen durch ihre Spuren. Gesucht ist ihr Schnittpunkt. Tipp: Schnittgeraden. Schnitt dreier Ebenen

19 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 17 Ergebnis S" S' Ergebnis

20 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnittaufgabe Wo schneidet die Pyramide die durch die Spuren definierte Ebene? s 2 s 1 Pyramide und Ebene

21 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnittaufgabe Wo schneidet die Pyramide die durch die Spuren definierte Ebene? s 2 s 1 Pyramide und Ebene

22 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Schnittaufgabe Wo schneidet der Würfel die durch a und b definierte Ebene? b a b a Würfel und Ebene

23 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Klassische Schnittaufgabe Gesucht sind die Schnitt- und Sichtbarkeitsverhältnisse zwischen dem Dreieck ABC und dem Parallelogramm PQRS. R" S" C" Q" P" B" A" Q' B' P' C' R' S' Klassische Schnittaufgabe A'

24 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 22 Ergebnis R" S" C" Q" P" B" A" Q' B' P' C' R' S' Ergebnis A'

25 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Spiegelung Gesucht ist das Spiegelbild des Würfels bei Spiegelung an der durch ihre Spuren gegebenen Ebene. Spiegelung an Ebene

26 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 24 Ergebnis Ergebnis

27 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Windschief? Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die beiden Geraden p und q windschief sind. q" p" q' p' Windschief? Antwort Ja. Pseudoschnittpunkte nicht auf demselben Ordner. 21 Windschief? Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die beiden Geraden p und q windschief sind. p"=q" q' p' Windschief? Antwort Nein. Erste Hauptgeraden auf demselben Niveau mit Schnittpunkt. S" p"=q" q' p' S' Schnittpunkt

28 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Windschief? Die beiden Punkte A und B liegen auf der Geraden q. Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die beiden Geraden p und q windschief sind. z"'=z" q" A" B" p" x"' y'=y" A' B' p' x' Windschief? q'

29 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 27 Antwort Ja. Mit Hilfe des Seitenrisses sehen wir, dass die Pseudoschnittpunkte nicht auf denselben Ordnern liegen. p"' q"' z"'=z" q" A" B" p" x"' y'=y" A' B' p' x' Windschief q'

30 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Durchstoßpunkte einer Geraden mit einer Kugel Wo schneidet die Gerade g die Kugel? g g Wo sind die Schnittpunkte?

31 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 29 Erster Lösungsweg Wir denken uns eine erstprojizierende Ebene durch g. Diese schneidet die Kugel in einem Kleinkreis. Nun drehen wir diese erstprojizierende Ebene mit g und mit dem Kleinreis in zweite Hauptlage. Nun können wir die Schnittpunkte D 1 und D 2 zeichnen und dann das Ganze zurückdrehen. D 1 D 1 k D 2 D 2 g g g k D 2 k D 1 Drehen in zweite Hauptlage

32 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 30 Zweiter Lösungsweg Wir denken uns wiederum eine erstprojizierende Ebene durch g. Diese schneidet die Kugel in einem Kleinkreis. Nun legen wir den Kleinkreis mit der Geraden g um in erste Hauptlage. Damit können wir die Schnittpunkte D 1 und D 2 zeichnen. D 1 D 2 g g D 1 D 2 D 1 D 2 g k Umlegen in erste Hauptlage

33 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil Prinz Rupert Prinz Rupert ( ) zeigte: Durch einen Würfel kann ein derart großes Loch mit quadratischem Querschnitt gestanzt werden, dass ein zweiter gleich großer Würfel hindurch geschoben werden kann. In der Figur ist links der Würfel in Grund- und Aufriss gezeichnet. Eine Körperdiagonale ist erstprojizierend. Dem roten Seitenquadrat gegenüber liegt ein grünes Seitenquadrat, dem blauen gegenüber ein oranges und dem gelben gegenüber ein violettes. Das quadratische Loch durch den Würfel Rechts der Würfel mit einem Loch. Die Lochachse ist koaxial zur erstprojizierenden Würfeldiagonalen. Die Lochseiten sind parallel zu Auf- und Seitenrissebene. Der quadratische Querschnitt ist gerade groß genug, um einen zweiten Würfel hindurch zuschieben. Der Witz der Sache ist, dass im Grundriss das quadratische Loch (knapp) innerhalb des Würfelumrisses verläuft. Um dieses einzusehen, arbeiten wir rein planimetrisch im Grundriss mit dem in der folgenden Figur angegebenen Koordinatensystem (beachte die Richtung der x-achse, aber das ist in der darstellenden Geometrie so üblich). Wir wählen die Würfelkante gleich eins. Damit hat die Lochecke unten rechts die Koordinaten 1 ( 2, 1 2 ). Da der Grundriss eine isometrische Normalaxonometrie ist, ergibt sich das Verkürzungsverhältnis r : s :t = 1:1:1. Wegen r 2 + s 2 + t 2 = 2 (das ist eine Formel aus der

34 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 32 Theorie der Normalaxonometrie) folgt r = s = t = 2 3. Dies ist die Seitenlänge und auch der Umkreisradius des regelmäßigen Sechseckes, welches als Würfelumriss erscheint. Für die eingezeichnete Konturlinie erhalten wir die Gleichung 3x + y = 2. Einsetzen ( ) liefert 1 2 der Eckpunktskoordinaten 1 2, 1 2 liegt also knapp oberhalb der Konturlinie < 2. Die Ecke y x Im Grundriss Literatur [Jerrard/Wetzel 2008] Jerrard, Richard P. and John E. Wetzel: Universal Stoppers Are Rupert. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 2, March 2008

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