Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 5 Projektionen

Transkript

1 Hans Walser Raumgeometrie Modul 5 Projektionen

2 Hans Walser: Modul 5, Projektionen ii Inhalt 1 Schatten und Bilder Eigenschatten und Schlagschatten Eigenschattengrenze? Schatten bei Parallelbeleuchtung Zentralprojektion Camera obscura Das Bild Die Geschichte Das menschliche Auge Zentralprojektion des Turmes Bemerkungen Perspektivische Ansicht Verschiebung des Objektes nach hinten Perspektivische Verkürzungen Staffelung in die Tiefe Projektive Skalen Abbildungsgleichung Die Diagonalprobe Die Kreisprobe Die Zeit Albrecht DÜRERs Umprojizieren Sinn des Umprojizierens Einführen von neuen Rissebenen Situation Umprojizieren eines Punktes Umprojizieren eines Würfels Umprojizieren einer Gerade Umprojizieren eines Würfels Modul 5 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2000 Erstausgabe Sommer 2002 Überarbeitung und Erweiterung Sommer 2003 Kleine Ergänzungen. Grafische Überarbeitung Sommer 2004 Geändertes Layout Sommer 2005 Kleine Erweiterung. Formel Editor revidiert Sommer 2006 MathType. Fehlerkorrekturen Frühjahr 2008 Grafische Überarbeitung Frühjahr 2010 Formale Änderung last modified: 10. Mai 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Uni Basel

3 Hans Walser: Modul 5, Projektionen 1 1 Schatten und Bilder 1.1 Eigenschatten und Schlagschatten Eigenschatten und Schlagschatten

4 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Eigenschattengrenze? Lichtquelle Eigenschattengrenze auf dem Turmdach? Eigenschattengrenze auf dem Turmkörper Eigenschattengrenze?

5 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Schatten bei Parallelbeleuchtung Die Lichtrichtung ist durch die Gerade k gegeben. Gesucht sind der Schlagschatten auf die beiden Rissebenen sowie auf die Turmmauern. k" k' Parallelbeleuchtung

6 Hans Walser: Modul 5, Projektionen 4 2 Zentralprojektion 2.1 Camera obscura Die Lichtstrahlen gehen vom Motivpunkt geradlinig und wellenförmig diffus in alle Richtungen aus. Das Loch bewirkt eine Auswahl aus diesen Lichtstrahlen. Es geht rein theoretisch nur ein Lichtstrahl durch dieses Loch und erzeugt auf einer Wand, einem Schirm oder einer lichtempfindlichen Schicht einen Bildpunkt. Das Bild, daß sich aus verschiedenen Bildpunkten zusammensetzt ist kopfstehend und seitenverkehrt Das Bild Gegenüber der modernen Fotografie besitzt das Bild einer Camera obscura von vorn bis hinten eine weiche Schärfe, das Motiv kann also, im Gegensatz zu der Fotografie mit Linsen, nicht scharf gestellt werden. Es sind sehr stark weitwinkelige Fotos möglich, da der theoretische Bildwinkel 180 Grad beträgt. Die Aufnahmen werden gleich im Originalformat belichtet, so daß später keine Vergrößerungen entstehen, die einen weiteren Verlust an Bildschärfe bedeuten Die Geschichte Der Zeitpunkt der Entdeckung des Prinzips der Camera obscura ist umstritten, er lag aber weit vor Christi Geburt. Das Prinzip war bereits Aristoteles ( v. Chr.) bekannt und wurde ab dem 16. Jahrhundert von Malern und Wissenschaftlern zur Erstellung von naturgetreuen Zeichnungen bis zu Erfindung des fotochemischen Prozesses 1827 genutzt. Mit der Camera obscura werden auch Auftragsarbeiten, wie Architekturaufnahmen, ausgeführt.

7 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Das menschliche Auge Bei der Camera obscura treten an den Bildrändern Verzerrungen auf. Beim menschlichen Age werden diese durch die approximative Kugelgestalt ausgeglichen. Camera obscura und menschliches Auge

8 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Zentralprojektion des Turmes Bildebene ist die erstprojizierende Ebene ω Projektionszentrum ist der Punkt O (Okular, Augpunkt) O" O' ' Zentralprojektion

9 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Bemerkungen In unserem Beispiel scheint das Bild unnatürlich verzerrt. Das liegt daran, dass der Augpunkt zu nahe am Objekt liegt. Eine Faustregel besagt, dass der Öffnungswinkel des Sehkegels höchstens 45 betragen soll. Senkrechte Linien erscheinen im Bild parallel. Dies deshalb, weil die Projektionsebene auch senkrecht steht, also eine erstprojizierende Ebene ist. Andernfalls (Schräghalten des Fotoapparates) ergäbe sich auch oben ein Fluchtpunkt.

10 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Perspektivische Ansicht Gesucht ist ein perspektivisches Bild der Kirche. ' O' h e Perspektivische Ansicht

11 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Verschiebung des Objektes nach hinten Gesucht ist ein perspektivisches Bild der Kirche. ' O' h e Verschiebung des Objektes nach hinten

12 Hans Walser: Modul 5, Projektionen 10 3 Perspektivische Verkürzungen 3.1 Staffelung in die Tiefe Die Abbildung zeigt eine Pappel-Allee mit in Wirklichkeit etwa gleich hohen Pappeln in gleichen Abständen. Pappel Allee Die Pappeln haben von vorn nach hinten für die scheinbaren, also perspektivisch verkürzten Höhen, die Verhältnisse: 1 : 1 2 : 1 3 : 1 4 : 1 5 Die Verkürzungsverhältnisse bilden eine harmonische Folge. Dies kann durch die Seitenansicht eingesehen werden. Das Auge des Beobachters befindet sich im Punkt A; die perspektivisch verkürzte Höhe B C des zweiten Baumes ist dann noch die Hälfte der Höhe BC des ersten Baumes. Für den dritten Baum erhalten wir eine perspektivisch verkürzte Höhe von einem Drittel usw. C C' A B B' Allee von der Seite

13 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Projektive Skalen Reguläre Skala Reguläre Skalen kennen wir von Maßstäben; sie haben gleiche Abstände zwischen den einzelnen Skalenpunkten. Eine reguläre Skala ist daher durch Angabe von zwei Skalenpunkten festgelegt. Eine projektive Skala ist das Bild einer regulären Skala bei einer Zentralprojektion. S Projektive Skala

14 Hans Walser: Modul 5, Projektionen 12 Eine projektive Skala ist durch Angabe von drei Skalenpunkten gegeben: Projektive Skala mit drei Skalenangaben Zur Konstruktion der übrigen Skalenpunkte wird eine reguläre Hilfsskala so angelegt, dass ein Fixpunkt entsteht: Reguläre Hilfsskala 8 Anlegen einer regulären Hilfsskala Die übrigen Skalenpunkte der projektiven Skala ergeben sich dann über eine Zentralprojektion.

15 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Abbildungsgleichung Rechnerisches In diesem speziellen Beispiel wird der Übergang von der regulären Skala auf die projektive Skala durch y = 1 vermittelt. Allgemein ergibt sich eine projektive Skala aus einer x regulären Skala durch eine gebrochen lineare Abbildung, also: y = ax+b cx+d 3.4 Die Diagonalprobe Bei einem projektiven Bild eines Rechtecksrasters lässt sich die Verkürzung mit einer Diagonale nachprüfen. Diese muss auch im Bild eine Gerade sein. Bei einer falschen Verkürzung, zum Beispiel mit einer quadratischen Folge, erscheint die fortgesetzte Diagonale gekrümmt. richtig falsch

16 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Die Kreisprobe Das Bild eines Kreises erscheint bei einer richtigen Verkürzung als Ellipse. Bei einer falschen Verkürzung kann eine Birne erscheinen. richtig falsch 4 Die Zeit Albrecht DÜRERs Die Frage der Verkürzungen in der Tiefe war zu DÜRERs Zeit noch nicht vollständig gelöst. In Bildern des jungen DÜRER, aber auch anderer zeitgenössischer Maler, finden sich Fehler in der Tiefenperspektive, welche beim Entzerren zu Tage treten. In den Bildern des späten DÜRER treten solche Fehler dann nicht mehr auf. Entzerrungsprobleme spielen heute bei der Fotogrammetrie, zum Beispiel beim Herstellen von Karten aus Luftbildaufnahmen, eine zentrale Rolle. DÜRER gab aber auch Hinweise zur praktischen Lösung des Problems. Die von ihm vorgeschlagenen Instrumente blieben bis ins 19. Jahrhundert im Gebrauch. 5 Umprojizieren 5.1 Sinn des Umprojizierens Spezielle Lage Allgemeine Lage wahre Längen wahre Winkel anschaulich Umprojizieren Wir werden sehen, dass wir die relevanten Probleme mit zweimaligem Umprojizieren lösen können.

17 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Einführen von neuen Rissebenen Situation 2 P 3 P"' P 1, 2 1 P 1,3 Neue Rissebene Π 3

18 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Umprojizieren eines Punktes P" 2,1 P' 1,3 3,4 Umprojizieren eines Punktes

19 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Umprojizieren eines Würfels 1 In diesem Beispiel geht es darum, aus einer speziellen Ansicht eine allgemeine Ansicht zu gewinnen. E" A" 2,1 A'=E' 1,3 3,4 Würfel umprojizieren

20 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Umprojizieren einer Gerade a) Bezüglich der dritten Rissebene soll g Hauptgerade sein. b) Bezüglich der vierten Rissebene soll g projizierend sein. g" 1,2 g' Gerade umprojizieren

21 Hans Walser: Modul 5, Projektionen Umprojizieren eines Würfels 2 In diesem Beispiel geht es darum, aus einer allgemeinen Ansicht eine spezielle Ansicht zu gewinnen. Gesucht ist der Schnittwinkel γ der Ebenen ABGH und BFHD. E H F G A C B Schnittwinkel der beiden Ebenen? E"=H" F"=G" A"=D" D'=H' B"=C" C'=G' 2,1 A'=E' B'=F' Beispiel im Würfel