5A. Von der Perspektive zu den projektiven Ebenen.

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1 5A. Von der Perspektive zu den projektiven Ebenen. Neben der Euklidischen Geometrie, wie sie im Buch von Euklid niedergelegt und wie wir sie im vorigen Abschnitt behandelt haben, gibt es noch weitere Geometrien. In diesem Kapitel behandeln wir eine neue Raumlehre - die projektive Geometrie. Die Geschichte der projektiven Geometrie begann mit der Entdeckung der Perspektive in der Renaissance. Die Entdeckung der Perspektive. Die Grundprobleme der Rennaissance Maler und Baumeister waren die folgenden: (1) Wie kann man auf einer Fläche die Illusion des Raumes herstellen. (2) Mit welchem Experiment kann man verifizieren, dass die korrekten Gesetze der Perspektive gefunden wurden. Die Maler kamen auf diese Frage, weil sie bei ihren Er-

2 56 I. Elementare Mathematik 1 forschungen der römischen Ruinen entdeckten, dass die Römer offensichtlich die Perspektive kannten und sie nutzten, um Räumen durch perspektivische Wandgemälde die Illusion von Größe zu geben. Die Lösung der Probleme hat Bruneleschi gegeben (der gleiche der auch die Kuppel des florentiner Domes gebaut hat). Für die zweite Frage benutzte er die folgende Versuchsanordnung: Gebaeude Guckloch halber Spiegel Rueckwand des Gemaeldes Gemaelde (umgedreht) Das Experiment von Bruneleschi Wenn man durch das Guckloch schaut, dann sieht man zwei Hälften: in der unteren Hälfte das gemalte Gebäude im Spiegel und in der oberen Hälfte das wirkliche Gebäude. Wenn nun das Gemälde perspektivisch

3 5 Projektive Geometrie 57 korrekt gemalt ist, dann müsste die Illusion entstehen, das vollständige Haus zu sehen (obwohl ja die untere Hälfte in Wirklichkeit durch den Spiegel verdeckt ist). Dieses Experiment wurde tatsächlich ausgeführt. Und zwar auf dem Vorplatz des Florenzer Doms. Das Gemälde stellte dabei das Baptisterium dar. Damit hat man das Experiment. Aber wie lauten die Gesetze der Perspektive? Die Entdeckung der perspektivischen Gesetze in der Rennaissance war ein komplizierter Prozess. Sie wurden schließlich ebenfalls von Bruneleschi gefunden und stellten eine Revolution des Malens (und Sehens dar). Die Gesetze liefen auf die Verwendung folgender Methode hinaus: Gitterschirm Auge Methode zur Konstruktion perspektivischer Gemälde

4 58 I. Elementare Mathematik 1 Beschreibung. Die erste Entdeckung war die Entdeckung eines unendlich fernen Punktes. Auf ihn liefen im Gemälde alle parallelen Linien zu, die vom Betrachter wegführten. Als nächstes entdeckte man die unendlich ferne Gerade, d.h. den Horizont. Büschel von parallelen Linien in jeder Richtung laufen auf einen unendlichen fernen Punkt zu und alle diese unendlich fernen Punkte ergeben eine unendlich ferne Gerade auf dem Schirm. Damit ist jetzt klar wie sich ein Schachbrettmuster auf dem Schirm darstellt. Methode zur Konstruktion perspektivischer Gemälde Beschreibung. Man muss die beiden Fluchtpunkte bestimmen, die durch zwei Büschel von Parallelen gebildet werden. Einmal die Parallelen des Schachbrettmusters, die vom Betrachter weglaufen und dann die

5 5 Projektive Geometrie 59 Parallelen die durch die Diagonalen der Kacheln bestimmt werden. Danach kann man dann das Schachbrettmuster nach obiger Vorschrift auf den Schirm malen. Mit diesen Regeln kann man nun alle möglichen Objekte darstellen und zwar ohne zu rechnen. Das ganze Verfahren wurde von Dürer in verschiedenen Holzstichen festgehalten. Bei Dürer sieht das alles natürlich viel schöner aus: Die perspektivische Methode nach Dürer oder so

6 60 I. Elementare Mathematik 1 Abwandlung desselben Verfahrens Die projektive Ebene. Die bisher besprochene Methode macht einen kleinen, aber dennoch ganz gravierenden Fehler. Es projiziert die Umgebung auf eine planare Fläche. Dies fällt nicht besonders auf, weil das menschliche Auge immer nur einen relativ kleinen Ausschnitt erfassen kann. Bei Fliegen z.b. ist dies ganz anders, sie erfassen einen

7 5 Projektive Geometrie 61 sehr grossen Ausschnitt. Das Bild, dass gesehen wird ist die Projektion auf die Netzhaut, die ja im Prinzip ein Teil einer Kugel, d.h. gekrümmt ist. Eine wirkliche perspektivische Projektion müsste somit eine Projektion auf eine Kugel, d.h. auf eine Leinwand sein die eine 2-dimensionale Sphäre darstellt: Perspektivische Projektion Hierbei erhält man aber verdoppelte Information, denn jeder Lichtstrahl trifft das Auge zweimal. Um dieses auszugleichen, muss man diese beiden Punkte identifizieren. Aus der Sphäre wird dann ein ganz anderes Objekt, nämlich eine projektive Ebene. Bemerkungen. In der obigen Definition werden keine Maßverhältnisse definiert - es gibt also keine

8 62 I. Elementare Mathematik 1 Längen- und Winkelmessungen. Es gibt nur Schnittverhältnisse. Projektive Geometrie ist Geometrie ohne Messen, d.h. eine rein kombinatorische Angelegenheit. Es gibt viele projektive Ebenenen - unendliche und endliche. Um eine projektive Ebene zu definieren muß man Punkte und Geraden definieren und die obigen Gesetze nachweisen. Dabei definiert man die projektive Ebene RP 2 durch folgende Vorschrift: (1) Punkte von RP 2 := Geraden im Euklidischen Raum durch den Nullpunkt. (2) Geraden von RP 2 := Ebenen im Euklidischen Raum durch den Nullpunkt. Bem. Die projektive Ebene hat die Eigenschaft, dass je zwei Geraden sich in genau einem Punkt schneiden (denn je zwei Ebenen durch den Mittelpunkt schneiden sich in genau einer Geraden).

9 5 Projektive Geometrie 63 Topologie der projektiven Ebene. Wie sieht die projektive Ebene aus. Dafür braucht man ein Modell der projektiven Ebene. Ein Modell dieser projektiven Ebene kann man sich schnell verschaffen, wenn man sich klarmacht, dass alle Geraden durch den Nullpunkt repräsentiert sind durch das Paar der Schnittpunkte der Geraden mit der Einheitssphäre. Das Modell der projektive Ebene entsteht also aus der 2-Sphäre indem man gegenüberliegende Punkte identifiziert. Dass dies eine ganz eigenartige Fläche sein muss, sieht man wie folgt: Kreisring Identifikation von Antipoden Möbiusband Da der Kreisring in der Kugel enthalten ist, muss das Möbiusband in der projektiven Ebene enthalten sein. Die projektive Ebene ist also von der Kugel verschieden.

10 64 I. Elementare Mathematik 1 Wegen der (sich dadurch andeutenden) ungewöhnlichen Gestalt der projektive Ebenen, ist sie oft schwer zu handhaben. Viel einfacher sind die affinen Ebenen, die ihnen zugeordnet sind. Diese entsprechen den Leinwände der Rennaissance Maler. Der projektive Standpunkt. Welche Objekte im Raum erzeugen das gleiche Bild im Auge oder besser in der projektiven Ebene. Dies sind genau die Objekte, die modulo Drehungen, das gleiche Büschel von Geraden bestimmen. Dabei identifizieren wir ein Objekt im Raum mit dem Büschel aller Geraden, die das Objekt schneidet: Projektiv gleiche Objekte bestimmen das gleiche Geradenbüschel

11 Affine Ebenen. 5 Projektive Geometrie 65 Man macht einen projektiven Gegenstand auf einer affinen Ebene sichtbar, ebenso wie ein Rennaissance Maler sein Motiv auf einer Leinwand sichtbar macht. Per Definition ist eine Affine Ebene gegeben durch eine Wahl einer Ebene, die nicht durch den Mittelpunkt geht. Es gibt aber für affine Ebenen viele Wahlen und das macht die Situation etwas verwickelt. Definition. Sei E eine Ebene durch den Mittelpunkt (diese ist eindeutig gegeben durch ihre Senkrechte im Nullpunkt). Dann ist die affine Ebene (bzgl. E) ist gegeben durch alle Geraden durch den Nullpunkt, die nicht in E enthalten sind. Alle diese Wahlen sind durch Ebenen durch den Mittelpunkt gegeben. Ein und derselbe projektive Gegenstand kann in diesen vielen affinen Ebenen verschieden erscheinen. Nehmen als einfaches Beispiel den Doppelkegel als projektiven Gegenstand.

12 66 I. Elementare Mathematik 1 Affine Ebenen Die Projektionen auf die verschiedenen affinen Ebenen sehen zwar verschieden aus, aber es handelt sich doch immer um denselben projektiven Gegenstand der hier dargestellt wird. Geraden, die in einer Ebene, parallel sind können sich in einer anderen durchaus schneiden. In beiden Fällen sind sie aber durch die gleichen Ebenen durch den Mittelpunkt gegeben. Parallele Geraden = Nicht-parallele Geraden

13 5 Projektive Geometrie 67 Im obigen Bild sind die affinen Ebenen schattiert. Alle anderen Ebenen repräsentieren (projektive) Geraden. Wir sagen zwei geometrische Figuren in einer Ebene sind projektiv äquivalent, wenn diese Ebenen so in den Raum gelegt werden können, dass das Geradenbüschel der Figuren gleich ist. Nachdem was wir eben gesehen haben sind z.b. Kreis, Ellipse und Parabel projektiv äquivalent. Transformationen der affinen Ebene. Statt umgebenden Raum festzuhalten und einen Punkt im Raum zu bewegen, kann man auch den Punkt festhalten und den umgebenden Raum bewegen. Wir wenden dieses Dualitätsprinzip auf affinen Ebenen an: Satz. Je zwei affine Ebenen sind gleich, modulo (Euklidischen) Drehungen und Streckungen des Raumes. Beweis. Man muss lediglich zeigen, dass es für je zwei affine Ebenen E,E eine Drehung des Raumes so gibt, dass danach die Ebene E parallel zu E ist. Aber parallele Ebenen im Raum, die nicht durch den Mittelpunkt gehen, sind bestimmt durch die Gerade,

14 68 I. Elementare Mathematik 1 die durch den Mittelpunkt geht und senkrecht auf beiden Ebenen steht. Weiter ist klar, dass es zu je zwei Geraden durch den Mittelpunkt eine Drehung gibt, die eine Gearde in die andere bewegt. Damit ist der Satz bewiesen. Nun wenden wir nun das obige Dualitätsprinzip an: (1) Die beiden Schnitte eines und desselben projektiven Objekts (Geradenbüschel) mit je zwei affinen Ebenen heißen projektiv äquivalent. (2) Zwei geometrische Objekte in einer und derselben affinen Ebene heißen projektiv äquivalent, wenn sie zwei Geradenbüschel bestimmen, die nach Drehungen gleich sind. Bem. Es ist Aufgabe der projektiven Geometrie, die Transformationen analytisch zu beschreiben, die geometrische Figuren in projetiv äquivalente verwandelt. Dies könne wir erst behandeln, nacdem wir über Koordinaten gesprochen haben. Die Transformationen der affinen Ebene sehen ganz anders aus als die Transformationen der Euklidischen Ebene. Sie können z.b. eine Kreis in ein Ellipse verwandeln.