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Transkript

1 Präsentationen von Flächen Seite 1

2 Das Möbius-Band A. F. Möbius Astronom in Leipzig Seite 2

3 Wir stellen ein Möbius-Band aus einem Papierstreifen her... 1 Seite 3

4 2 3 Seite 4

5 4 Seite 5

6 Wir zerschneiden das Möbius-Band... 1 Seite 6

7 2 3 Seite 7

8 4 Seite 8

9 ? Erst raten, was herauskommt dann schneiden! Seite 9

10 Nun etwas komplizierter... 1 Seite 10

11 2 3 Seite 11

12 4 Seite 12

13 ? Auch hier gilt: erst raten, dann schneiden! Seite 13

14 Das Möbius-Band ein Band mit nur einer Seite Versucht man Vorder- und Rückseite in verschiedenen Farben zu bemalen, so gibt es Probleme... Seite 14

15 Das Möbius-Band ist nicht orientierbar das heisst, eine Figur lässt sich längs eines geschlossenen Weges so verschieben, dass sie seitenverkehrt zurück kommt. Seite 15

16 Ein gewöhnliches Band ist orientierbar. Seite 16

17 Auch diese Fläche ist orientierbar. Seite 17

18 Wir basteln in Gedanken eine weitere Fläche... Die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks werden wie angegeben verklebt: Hinweis: Zuerst die blaue Verklebung durchführen. Seite 18

19 1 Eine halbe Röhre... Sehen Sie schon, was herauskommt? Seite 19

20 2 Eine Röhre... Seite 20

21 3 Eine gekrümmte Röhre... Seite 21

22 4 Ein Schwimmreifen!... für gewöhnlich Torus genannt. Seite 22

23 Der Torus ist eine geschlossene, orientierbare Fläche. Seite 23

24 Zusammengefasst: Seite 24

25 4 Seite 25

26 Ein Blick in höhere Dimensionen... Wir verkleben die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks wie angegeben: Man beachte den Unterschied zum vorherigen Fall (Torus): eine der schmalen Seiten wird vor dem Verkleben umgedreht! Hinweis: Zuerst die blaue Verklebung durchführen. Seite 26

27 1 Eine halbe Röhre... Seite 27

28 2 Eine Röhre bis jetzt noch nichts Neues... Seite 28

29 3 Jetzt gibt es Probleme! Was wir auch versuchen wenn wir die Rohrenden wie vorgeschrieben verkleben wollen, müssen wir die Röhre durchstossen, also eine Selbstdurchdringung der entstehenden Fläche in Kauf nehmen. Aber: Im vierdimensionalen Raum lässt sich unsere Fläche ohne Selbstdurchdringungen schliessen! Seite 29

30 4 Wir bleiben im dreidimensionalen Raum, fahren fort und erhalten ein sogenanntes Modell einer geschlossenen Fläche, die sich im vierdimensionalen Raum befindet: Die Kleinsche Flasche. F. Klein Mathematiker in Göttingen Seite 30

31 Die Kleinsche Flasche ist nicht orientierbar denn wie am Modell gezeigt, enthält sie ein Möbius-Band! Seite 31

32 Es gilt folgender Satz: Eine geschlossene nicht orientierbare Fläche (wie z.b. die Kleinsche Flasche) kann im dreidimensionalen Raum nicht realisiert werden. Alle Modelle einer solchen Fläche haben Selbstdurchdringungen. Seite 32

33 Eine Analogie in kleinerer Dimension... Ein Knoten ist eine geschlossene Kurve, die nicht in der Ebene realisierbar ist. Das Modell des Knotens in der Ebene weist Selbstüberschneidungen auf. Seite 33

34 Zusammengefasst: Die Entstehung der Kleinschen Flasche Seite 34

35 4 Seite 35

36 Eine weitere geschlossene, nicht orientierbare Fläche... Wir verkleben die gegenüberliegenden Seiten eines Quadrates wie folgt: Seite 36

37 1 2 Seite 37

38 ... und erhalten bei Schritt 3 wieder Schwierigkeiten eine unvermeidbare Selbstdurchdringung. 3 Seite 38

39 4 Nehmen wir die Selbstdurchdringung in Kauf, so entsteht in Schritt 4 eine geschlossene Fläche... Seite 39

40 Das Kreuzhaubenmodell der projektiven Ebene Seite 40 J. Steiner Kuhjunge aus Utzensdorf, Schüler von H. Pestalozzi und Mathematiker in Berlin

41 Zur Erklärung des Namens schneiden wir den unteren Teil des Modells weg. Seite 41

42 Die projektive Ebene ist eine geschlossene, nicht orientierbare Fläche. Wie hier am Kreuzhaubenmodell sichtbar gemacht, enthält die projektive Ebene nämlich ein Möbius-Band. Seite 42

43 Durch Herausschneiden desjenigen Stückes aus dem Kreuzhaubenmodell, welches die Selbstdurchdringung enthält erhalten wir einen doppelten Whitney-Schirm. H. Whitney Amerikanischer Mathematiker Seite 43

44 Durch Zerschneiden erhält man daraus zwei Whitney-Schirme. Seite 44

45 Wir basteln einen doppelten Whitney-Schirm aus einem Papierstreifen... 1 Seite 45

46 2 3 Seite 46

47 4 5 Seite 47

48 ... sogar mit einem Möbius-Band darauf! Seite 48

49 Weitere Modelle der projektiven Ebene sind... Die Steinersche Römerfläche, entdeckt von J. Steiner während einer Reise nach Rom... Seite 49

50 Die Boysche Fläche, hier mit einem aufgemalten Möbius-Band. Entdeckt 1909 von W. Boy Student von D. Hilbert Göttingen Seite 50

51 Ein wichtiger Unterschied Das Kreuzhaubenmodell und die Steinersche Römerfläche sind Modelle der projektiven Ebene mit Singularitäten... Seite 51

52 ... während die Boysche Fläche ein singularitätenfreies Modell ist. Seite 52

53 Es gilt folgender Satz: Jede geschlossene Fläche im vierdimensionalen Raum kann so in den dreidimensionalen Raum projiziert werden, dass alle auftretenden Singularitäten auf Whitney-Schirmen erscheinen. H. Whitney hat weiter gezeigt: Realisiert man die projektive Ebene im vierdimensionalen Raum, so hat jede Projektion Singularitäten. Seite 53

54 Fazit: Die Boysche Fläche ist das Modell einer Realisierung der projektiven Ebene im fünfdimensionalen Raum. Seite 54