6 = berechnen (3 aus 6 färben).

Transkript

1 Problemfeld Triaden, Sachanalyse Seite 1 von 6 Zu Problem 1 und 2: Die möglichen 20 Farbmuster mit Spiegelachsen und Farbumkehr systematische Zusammenstellung Farben vertauscht in der Sortierung von Konstantin. Abb.1 Anmerkung: Man kann die Anzahl auch durch 6 = 3 20 berechnen (3 aus 6 färben). Übergänge zwischen den Mustern: Die eckige Runddrehung A (Begriffsvorschlag aus der Gruppe) besteht aus drei Einzelschritten und transformiert ein Farbmuster in ein anderes: Abb. 2 A ist natürlich umkehrbar. Die Umkehrabbildung zu A erhält man dadurch, dass man das kleine Dreieck unten links zuerst nach rechts unten, in Richtung des gepunkteten Pfeils verschiebt. Man kann A nun wieder und wieder auf das Ergebnis anwenden: Abb. 3 Die eckige Runddrehung A erzeugt also einen Kreis aus fünf Farbmustern. Da die Farben vertauschbar sind, können wir schon zwei Kreise notieren:

2 Problemfeld Triaden, Sachanalyse Seite 2 von 6 Abb. 4 Ob es zwischen diesen Kreisen eine Verbindung gibt, muss noch geprüft werden und die folgenden Muster fehlen sogar noch: Abb. 5 Da die fehlenden Farbmuster ebenfalls zwei Gruppen bilden, die durch Farbumkehr auseinander hervorgehen, ist anzunehmen, dass diese Gruppen wieder durch die eckige Runddrehung A miteinander verbunden sind. Das wird geprüft. Abb. 6 Die in Abb. 6 dokumentierte Prüfung ergibt, dass in der Tat die Farbmuster der oberen Zeile in Abb. 5 durch die eckige Runddrehung A wieder einen Kreis bilden. Daher bilden die Farbmuster der unteren Zeile ebenfalls einen Kreis. Abb. 7 zeigt den Graphen der Musterübergänge. Dieser besteht nun aus vier noch unverbundenen Fünfecken:

3 Problemfeld Triaden, Sachanalyse Seite 3 von 6 Abb. 7 Wir prüfen nun, ob es auch möglich ist, von einer der vier Mustergruppen in eine andere zu gelangen, indem wir eine weitere eckige Runddrehung B verwenden. Bei dieser verschieben wir das obere kleine Dreieck zunächst nach rechts und fahren analog zur Runddrehung A fort (das Ergebnis ist in Abb.7 bereits als gestrichelte Linie eingetragen): Die eckige Runddrehung B (Start mit dem oberen Dreieck): Abb. 8 Damit ist nicht nur klar, dass sich jedes Farbmuster in jedes andere überführen lässt, man sieht auch, durch welche Abbildungen dies geschehen kann.

4 Problemfeld Triaden, Sachanalyse Seite 4 von 6 Anschlussprobleme Man kann nach Weglängen im Graphen fragen. Befinden sich zwei Farbmuster M 1 und M 2 im selben Fünferzyklus braucht man offensichtlich höchstens zwei Operationen (A, B oder ihre Umkehrungen), um M 1 in M 2 zu überführen. Liegen die Farbmuster M 1 und M 2 in verschiedenen Zyklen, braucht man höchstens 6 Operationen. Die Wege lassen sich vielleicht verkürzen, wenn man den Graphen um weitere Übergänge ergänzt. Schließlich könnte man noch die eckige Runddrehung C hinzunehmen, bei der man mit dem kleinen Dreieck unten links startet (Abb. 10). Zunächst tragen wir ohne weiteres Probieren den Fünferzyklus ein, der durch Farbumkehr aus dem schon vorhandenen Zyklus entsteht: d d c e e c a b b a Abb. 9 Der Aussenkreis (blau dargestellt in Abb. 9) wird also ebenfalls durch die Operation B gebildet. Operation B bildet noch zwei weitere Fünferzyklen, die nicht eingetragen wurden. Die rot gestrichelt dargestellten Übergänge sind durch die in Abb. 10 dargestellte Operation ( eckige Runddrehung C ) möglich. Abb. 10

5 Problemfeld Triaden, Sachanalyse Seite 5 von 6 Trägt man alle Übergänge ein, die auf unseren 3 Abbildungen fußen, so entsteht ein Graph, mit dem einheitlichen Eckengrad 6, denn jede Ecke (=Farbmuster) ist über die 3 Abbildungen und ihre Umkehrabbildungen mit 6 Ecken verbunden. Dieser Graph kann doppelte Kanten und auch theoretisch auch Schlaufen enthalten (falls ein Muster unter einer der Abbildungen konstant bleibt ). Ein Graph mit 20 Ecken und dem konstanten Eckengrad 6 kann schnell unübersichtlich werden. Allerdings sind in diesem Graphen viele Symmetrien zu erwarten. Die verwendeten Abbildungen A, B, C gehen durch 120 auseinander hervor: Start A Start B Start C Abb. 11 Man kann die Farbmuster nach Drehbeziehungen sortieren: Abb. 12 Die blau dargestellten Übergänge bewirkt Runddrehung A, die rot dargestellten Runddrehung B und die schwarz dargestellten unsere Runddrehung C. Es ist klar, dass die 120 -Drehung der Muster eine weitere völlig gleichartige Zeile erzeugt, bei der lediglich die Abbildungen vertauscht werden: Abb. 13 Auf diese Art und Weise erhält man schnell die 18 Muster und ihre Übergänge, die unter einer Drehung (oder 240 -Drehung) nicht invariant sind. Übrig bleiben nur unsere beiden rotationssymmetrischen Muster (gleichfarbige Dreiecksecken), die wiederum durch Farbumkehr miteinander verbunden sind. Berücksichtigt man alle Drehsymmetrien und durch Farbumkehr ineinander überführbare Muster, ist es einfach, den vollständigen Übergangsgraphen schnell zu konstruieren:

6 Problemfeld Triaden, Sachanalyse Seite 6 von 6 Abb. 14 Die Symmetrien dieses Übergangsgraphen ließen sich auf einer gekrümmten Fläche (Zylindermatel oder vielleicht Torus) noch stärker hervorheben. Man kann nun weiterhin untersuchen, wie weit zwei beliebige Farbmuster in diesem Graphen voneinander entfernt sind (wie viele Abbildungen mindestens nötig sind, um das eine Muster in das andere zu überführen) oder nach den voneinander am weitesten entfernten Mustern fragen. Man kann weitere Umlegeprozesse suchen und auch für diese derartige Graphen konstruieren.