6.5 Konstruktion und Zufallserzeugung von Repräsentanten

Transkript

1 Konstruktion und Zufallserzeugung von Repräsentanten Hat man mit Hilfe einer Bahnenabzählung eine Übersicht über die Anzahl unnumerierter Strukturen, wie z.b. unnumerierter Graphen mit n Punkten, gewonnen, dann entsteht sofort die Frage, wie man diese Strukturen konstruieren kann. Hierzu ebenfalls einige (aus Zeitgründen kurze) Bemerkungen. Zunächst ein Hinweis, daß auch hier Doppelnebenklassen verwendet werden können. Eine unmittelbare Konsequenz der Bijektivität ist nämlich die G(m) G/G m, gm gg m Folgerung Ist G M gegeben, U G und m M, dann ist die folgende Abbildung eine Bijektion: α: U \G(m) U\G/G m, U(gm) UgG m. Aus jeder Transversalen von U\G/G m erhält man also, durch Anwendung von α 1, eine Transverale von U \G(m) Anwendung (Transversalen von G \Y X ) Betrachten wir, als vielseitiges Anwendungsbeispiel, die Ermittlung einer Transversalen der Symmetrieklassen von G auf Y X. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir G S X voraussetzen. i) Aus der Folgerung gewinnen wir die Bijektion α: G \S X (f) G\S X /(S X ) f, G(gf) Gg(S X ) f. Darüberhinaus können wir ohne Einschränkung annehmen, daß also G S n und entsprechend Y X = m n, α: G \S n (f) G\S n /(S n ) f, G(gf) Gg(S n ) f. ii) Die nächste Beobachtung, die wir machen, betrifft die Bahn S n (f). Sie besteht offenbar aus den Abbildungen f m n desselben Inhalts λ(f ) wie f. Dabei verstehen wir unter dem Inhalt von f die Zahlenfolge λ(f) = (λ 0 (f),..., λ m 1 (f)), λ i (f) := f 1 (i), der Vielfachheiten, mit denen f die Werte i m annimmt. Ist λ = (λ 0,..., λ m 1 ) eine Folge der Länge m aus natürlichen Zahlen λ i, i m, mit i λ i = n, dann kürzen wir dies auch so ab: λ = m n.

2 6.5. KONSTRUKTION UND ZUFALLSERZEUGUNG VON REPRÄSENTANTEN275 Die Bahn S n (f) einer Abbildung f vom Inhalt λ enthält also insbesondere die kanonische Abbildung mit diesem Inhalt: f λ := (f λ (0),..., f λ (n 1)) := (0,..., 0, 1,..., 1,..., m 1,..., m 1). }{{}}{{}}{{} λ 0(f) λ 1(f) λ m 1(f) Die Bahn von f mit Inhalt λ ist also die Menge m n λ := {πf λ = f λ π 1 π S n }, und wir haben damit folgendes bewiesen: G \S n (f) = G \m n λ(f). Die Berechnung einer Transversale von G \m n können wir also schrittweise vornehmen, indem wir sukzessive Transversalen der Teilmengen m n λ ermitteln: G \m n = λ = mn G \m n λ. Die Menge der Bahnen aus Elementen vom Inhalt λ wollen wir so bezeichnen: G \ λ m n := G \m n λ. iii) f m n λ kann durch das λ Tabloid der Urbildmengen f 1 (i), i m, veranschaulicht werden: i 0... i λ0 1 j 0... j λ1 1, wobei die i te Zeile aus den Elementen von f 1 (i) besteht, in natürlicher Reihenfolge, also i 0 <... < i λ0 1. Die verschiedenen λ Tabloide sind also gerade die Elemente der Bahn S n (f λ ). Es geht also um die Ermittlung der Transversalen der Bahnen von G auf den Mengen der λ Tabloide, für alle λ = m n. iv) Der kanonische Repräsentant f λ aus der Bahn von f wird durch folgendes Tabloid visualisiert: 0... λ 0 1 λ 0... λ 0 + λ 1 1. Der Stabilisator dieser Abbildung ist (S n ) fλ = S {0,...,λ0 1} S {λ0,...,λ 0+λ 1 1}... =: S λ, die Untergruppe aller Permutationen π S n, die jede Zeile des Tabloids in sich selbst überführen. Wir können unser Problem also wie folgt präzisieren: Es geht um die Bestimmung einer Transversalen von (einer der folgenden bijektiven Mengen):

3 G \m n λ G\S n /S λ G \(S n /S λ ). v) Betrachten wir als Beispiel erneut die Graphen mit 4 Punkten und genau 2 Kanten, d.h. n = ( 4 2) = 6, m = 2, λ = (4, 2). Bevor wir alle 15 (4, 2) Tabloide en detail hinschreiben, ist es zweckmäßig zu bemerken, daß von jedem Tabloid eine Zeile weggelassen werden kann, weil diese eindeutig durch die übrigen bestimmt ist, d.h. es genügt, die verkürzten Tabloide hinzuschreiben. Im vorliegenden Fall der Graphen mit 4 Punkten und 2 Kanten schreiben wir deshalb nur die zweiten Zeilen hin, weil diese die kürzeren sind: 01, 02, 03, 04, 05, 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45. vi) Gemäß obiger Argumentation sind die Bahnen von G = S 4 auf der Menge dieser 15 verkürzten Tabloide zu berechnen. Dabei ist aber wieder zu beachten, daß die 6 Einträge 0,..., 5 6 dieser Tabloide, auf denen S n = S 6 operiert für die 6 = ( 4 2) Paare {0, 1},..., {2, 3} von Punkten stehen! Die Untergruppe G = S 4 S 6 ist die Permutationsgruppe induziert von S 4 = (01), (0123) auf der Menge der Punktepaare. Es gilt also G = S 4 = (13)(24), (0352)(14). Eine der beiden Bahnen von S 4 auf der Menge der 15 (4, 2) Tabloide ist ω 1 := {05, 14, 23}, die andere Bahn ω 0 besteht au den übrigen 12 Tabloiden. (Dabei verwenden wir, daß in einer vorbereitenden Abzählung die Anzahl 2 der Graphen mit 4 Punkten und 2 Kanten ermittelt werden konnte!) vii) Repräsentanten dieser Bahnen ω 0, ω 1 sind die verkürzten Tabloide zu 45 ω 0 und 23 ω 1. Daraus ergeben sich die vollständigen Tabloide und Ihnen entsprechen die folgenden Abbildungen f, f 2 6 (4,2) : f = (0, 0, 0, 0, 1, 1), und f = (0, 0, 1, 1, 0, 0). viii) Insgesamt haben wir gezeigt, daß die folgenden beiden Graphen die sämtlichen unnumerierten Graphen mit 4 Punkten und 2 Kanten: und

4 6.5. KONSTRUKTION UND ZUFALLSERZEUGUNG VON REPRÄSENTANTEN277 Diese Methode erscheint mühsam. Mit ihrer Hilfe kann man vollständige Listen aller dieser Graphen mit bis zu ca. 8 Punkten berechnen. Es bedarf also noch einiger Verfeinerungen, um solche Kataloge mit bis zu 12 Punkten, beispielsweise, zu erstellen. Eine solche ist das Leiterspiel, das die sukzessive Berechnung nach ansteigender Kantenzahl erlaubt (vgl. Übungsblatt). Viele mathematische Strukturen wie Graphen, Schaltfunktionen, physikalische Zustände usw. können als Bahnen endlicher Gruppen auf endlichen Mengen definiert und damit auch abgezählt werden. Natürlich kann man sie auch auf diese Weise konstruieren, solange die Gruppe und die Menge, auf der die Gruppe operiert, einigermaßen klein sind. Bei Graphen kann man z.b. einen Katalog aller Graphen mit 10 Punkten herstellen (das sind etwa 12 Millionen Graphen). Man will aber oft auch Graphen mit wesentlich größeren Punktezahlen untersuchen, etwa eine Hypothese über Graphen testen. Hierbei hilft die folgende Methode weiter, die eine gleichverteilte Zufallserzeugung von Repräsentanten der Bahnen ermöglicht. Sie eröffnet gleichzeitig ein weites Feld für die experimentelle Mathematik, kann man hiermit doch immer dann Strukturen gleichverteilt zufallserzeugen, wenn sie als Bahnen endlicher Gruppen auf endlichen Mengen definierbar sind Der Algorithmus von Dixon und Wilf: Ist G M eine endliche Operation, dann erhält man wie folgt Elemente m M, die über die Bahnen gleichverteilt sind (d.h. für jede Bahn ω G \M ist die Wahrscheinlichkeit für m ω gleich G \M 1 ): Zuerst wählt man eine Konjugiertenklasse C von Elementen aus G mit der Wahrscheinlichkeit für irgendein g C. p(c) := C M g G G \M, Dann entnimmt man C irgendein Element g. Schließlich wählt man aus der Menge M g der Fixpunkte von g gleichverteilt ein Element m. Beweis: Seien C 1,..., C r die Konjugiertenklassen von G, mit Repräsentanten g i C i. Dann gilt, nach dem Cauchy-Frobenius Lemma: r i p(c i ) = C i M gi g M = 1, g i=1 so daß p( ) tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Ist jetzt ω G \M, dann haben wir p(m ω) = i p(c i )p(m M gi ω)

5 278 = Nun gilt zudem = i 1 G G \M p(c i ) M g i ω M gi = i C i M gi ω = i C i M gi M gi ω G G \M M gi 1 G G \M M g ω. M g ω = 1 = 1 = G m, g g G m M g ω m ω g G m m ω das ist aber gleich G y ω = G, für jedes y ω, und wir sind fertig. Die Anwendung dieser Methode zur Erzeugung von Repräsentanten von G- Klassen auf Y X ist recht einfach, da wir die Fixpunkte für diesen Fall genau kennen Folgerung Für endliche G X und Y liefert der folgende Algorithmus Elemente f Y X, die gleichverteilt über die G-Klassen sind: Zuerst wählt man eine Konjugiertenklasse C von G mit der Wahrscheinlichkeit p(c) := C Y ) g z(ḡ Y, g C. z(ḡ) g Dann nimmt man irgendein g C, berechnet dessen Zykeltyp und konstruiert ein f Y X, das konstant auf diesen Zykeln ist, und wobei die Werte auf diesen Zykeln gleichverteilt über Y sind Beispiel Wir wollen nun die Graphen mit vier Punkten zufällig gleichverteilt erzeugen. Die Konjugiertenklassen werden durch die Partitionen (4), (3, 1), (2 2 ), (2, 1 2 ) und (1 4 ) von 4 charakterisiert. Die Ordnungen dieser Klassen sind 6,8,3,6 und 1. Die Anzahl zyklischer Faktoren der auf der Menge ( 4 2) der Punktepaare induzierten Permutationen sind 2,2,4,4 und 6, so daß die Zahl der Fixpunkte auf der Menge 2 2) (4 der numerierten Graphen 4,4,16,16 und 64 beträgt. Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeiten die Werte (mit S 4 \2 2) (4 = 11) 1 11, 4 33, 2 11, 4 11, Dies liefert uns nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner 33 die natürlichen Zahlen 3,4,6,12,8, aus denen sich nach Aufaddieren 3, 7, 13, 25, 33 ergibt. Ein Zufallsgenerator, der gleichverteilt natürliche Zahlen zwischen 1 und 33 liefert, wird nun verwendet, um C zu wählen. Wird 1, 2 oder 3 erzeugt, so bedeutet dies, daß die erste Konjugiertenklasse gewählt ist. Erhalten wir 4, 5, 6 oder 7, fahren wir mit der zweiten Klasse fort usw. Nehmen wir an, der Generator würde uns 12 ausgeben. Damit ist die Klasse C 2 der Elemente mit Zykelpartition (2 2 )

6 6.5. KONSTRUKTION UND ZUFALLSERZEUGUNG VON REPRÄSENTANTEN279 Abbildung 6.1: Der zufallserzeugte Graph ausgewählt; sie enthält z.b. die Permutation (01)(23). Diese induziert auf der Menge {a = {0, 1}, b = {0, 2}, c = {0, 3}, d = {1, 2}, e = {1, 3}, f = {2, 3}} der Punktepaare die Permutation (01)(23) = (a)(be)(cd)(f). Ein Zufallsgenerator für Nullen und Einsen wird jetzt eingesetzt, um den zyklischen Faktoren (a)(be)(cd)(f) die Werte 0 oder 1 zuzuordnen. Erzeugt er beispielsweise die Folge 1,0,0,1, so erhalten wir den numerierten Graphen, bei dem nur die Elemente der Paare a und f verbunden sind. Seine Bahn wird durch einen Graphen repräsentiert, wie ihn Abb. 6.1 zeigt.