1.1.7 Klassifikation transitiver Operationen

Transkript

1 1.1. OPERATIONEN Klassifikation transitiver Operationen Um dieses Beispiel besser zu verstehen, brauchen wir einen Namen für die zentrale Eigenschaft von Abbildungen zwischen G-Mengen. Falls eine Gruppe G auf einer Menge M operiert, so bezeichnen wir für g G so sei g M : M M : m m g die von g induzierte Abbildung. Definition Die Gruppe G operiere auf den Mengen M und N. Eine Abbildung ϕ : M N heißt G-verträglich oder äquivariant, falls gilt: ϕ(m g ) = ϕ(m) g für alle m M, g G. Das bedeutet, das Diagramm gm M M ϕ ϕ N g N N ist für alle g G kommutativ. Ist ϕ zusätzlich bijektiv, so heißen die Operationen oder die G-Mengen G-ähnlich und ϕ heißt dann eine G-Ähnlichkeit. Beispiel ) Die beiden Abbildungen aus Beispiel 1.40 sind S n -verträglich: S n n : g n g und S n / Stab Sn (n) n : Stab Sn (n)g n g, wobei letztere sogar eine S n -Ähnlichkeit ist. 2) Ist M beliebige G-Menge und U(G) die Menge der Untergruppen von G mit der Konjugationsoperation von G, vergl. Beispiel Dann ist wegen 1.37 die Abbildung G-verträglich. M U(G) : m Stab G (m) Wir wollen jetzt unsere Einsichten zusammenfassen und noch einige hinzufügen, wobei wir uns auf den transitiven Fall konzentrieren, wo also die Menge M/G der Bahnen von G auf M einelementig ist. Definition Sei G eine Gruppe und M eine G-Menge. 1.) Die Operation von G auf M heißt transitiv, falls ein m M mit m G = M existiert. 2.) Die Operation von G auf M heißt regulär, falls sie transitiv ist und Stab G (m) = {1} für ein (und damit alle) m M.

2 26 KAPITEL 1. GRUPPEN Übung: Die Operationen durch Rechtsmultiplikation und durch inverse Linksmultiplikation einer Gruppe G auf sich sind beide regulär. Gib eine Ähnlichkeit zwischen beiden an. Satz 1.44 (Hauptsatz für transitive G-Mengen). Sei G eine Gruppe. 1) Sei S G. Dann operiert G transitiv auf der Menge R G:S der Rechtsnebenklassen durch Rechtsmultiplikation: R G:S G R G:S : (Sh, g) Shg. 2) Operiert G transitiv auf der Menge M, sei m M und S := Stab G (m), dann sind M und R G:S als G-Mengen ähnlich: ϕ : M R G:S : m g Sg ist eine G-Ähnlichkeit. 3) Jede transitive G-Menge M bestimmt eine Konjugiertenklasse U M von Untergruppen von G, nämlich U M := {Stab G (m) m M} und die Abbildung M U M : m Stab G (m) ist G-äquivariant. M ist G-ähnlich zu einer transitiven G-Menge N genau dann, wenn U M = U N. Der Satz sagt: Die G-Ähnlichkeitsklassen der transitiven G-Mengen und die Konjugiertenklassen der Untergruppen von G stehen in Bijektion. D.h., aus der Kenntnis der Untergruppen von G heraus überblickt man die Ähnlichkeitsklassen der G-Mengen, die ja zunächst als unabhängige Strukturen definiert waren. Insbesondere für endliche Gruppen ist die Klassifikation ein endliches Problem. Beweis. von Satz 1.44: 1) ist Aufgabe 6(a) und (b) von Blatt 2, die Transitivität ist klar. 2) Es gilt für m M und g, h G: m g = m h gh 1 S Sgh 1 = S Sg = Sh. Dies zeigt, dass ϕ wohldefiniert und bijektiv ist. Da für h G die Gleichheit ϕ((m g ) h ) = ϕ(m (gh) ) = Sgh gilt, ist ϕ eine G-äquivariante Abbildung. 3) Nach 1.37 ist für m M und g G: Stab G (m g ) = Stab G (m) g. Da M transitive G-Menge ist, folgt hieraus, dass U M eine Konjugiertenklasse von Untergruppen von G ist, und auch dass m Stab G (m) eine G-äquivariante Abbildung ist. Ist U M = U N für zwei G-Mengen M und N und S U M, dann folgt aus 2), dass M und N G-ähnlich zu R G:S sind. Ist umgekehrt ϕ : M N eine G-Ähnlichkeit und m M, dann ist Stab G (m) = Stab G (ϕ(m)), also U M = U N. q. e. d. Übung: Man formuliere und beweise (mit Hilfe des Homomorphiesatzes für Mengen) den

3 1.1. OPERATIONEN 27 Homomorphiesatz für G-Mengen, wobei also die G-verträglichen Abbildungen betrachtet werden. Unter den transitiven G-Mengen sind diejenigen mit trivialen Punktstabilisatoren, also die zu G als G-Menge mit der Rechtsmultiplikation als Operation gehörenden, durch eine wichtige Universalitätseigenschaft besonders ausgezeichnet. Bemerkung Sei M eine G-Menge und m M. Folgende Aussagen sind äquivalent: 1.) M ist regulär. 2.) G M : g m g ist eine Ähnlichkeit von G-Mengen,wobei G auf sich durch Rechtsmultiplikation operiert. 3.) Für jede G-Menge N und jedes n N gibt es genau eine G-äquivariante Abbildung ϕ : M N mit ϕ(m) = n. Diese ist gegeben durch M N : m g ϕ(m) g = n g. Beweis. Diese Äquivalenzen folgen leicht aus dem Hauptsatz, es sind verschiedene Formulierungen für U M = {{1}}. q. e. d. Korollar 1.46 (Bahnen-Stabilisator Satz). Die Gruppe G operiere auf der Menge M. Sei m M mit m G < und S = Stab G (m). Dann gilt: Die Länge der Bahn ist gleich dem Index des Stabilisators: Insbesondere, falls G <, so gilt: m G = [G : S] (:= R G:S ). m G = G S. Beweis. Die erste Aussage folgt sofort aus 1.44(b) und die zweite aus dem Satz von Lagrange q. e. d. Übrigens kann man an dieser letzten Formel das duale Verhalten von Bahn und Stabilisator quantitativ festmachen. Beispiel ) Neuer Beweis für S n = n!: Beweis. S n operiert transitiv auf {1, 2,..., n} =: n, und es gilt offenbar Stab Sn (n) =

4 28 KAPITEL 1. GRUPPEN S n 1. Nach Satz 1.46 gilt: S n = S n 1 n. Daraus folgt die Behauptung durch Induktion wegen S 1 = 1. 2) (Binomialkoeffizienten) S n operiert auf Pot(n), so dass die Bahnen gerade Pot k (n) := {X n X = k} sind (Mächtigkeit ist trennende Invariante) (Beweis: Übung). Klar: Stab Sn (k) und S k S n k stehen (als Mengen) in Bijektion. Also liefert 1.46 ( ) S n Pot k (n) = Stab Sn (k) = n! n k! (n k)! =. k 3) (Bestimmung der Ordnung der vollen linearen Gruppe): Es gilt wobei Stab GL(n,q) ( GL(n, q) = (q n 1) (q n q)... (q n q n 1 ), GL(n, q) := GL(n, F q ) := {X F n n q det X 0} mit F q ein endlicher Körper mit q Elementen. Beweis. GL(n, q) operiert transitiv auf F n 1 q \{0} vermöge der Linksmultiplikation (wie in der LAI) mit Bahnlänge q n 1. Der Stabilisator von (1, 0,..., 0) tr F n 1 q in GL(n, q) ist und hat die Ordnung Nach 1.46 gilt also. 0 ) =. X 0 F q, X GL(n 1, q) Stab GL(n,q) (1, 0,..., 0) tr = q n 1 GL(n 1, q). GL(n, q) = (q n 1) q n 1 GL(n 1, q). Mit GL(1, q) = q 1 folgt die Behauptung durch Induktion. 4) (Gaußsche Binomialkoeffizienten) GL(n, q) operiert auf der Menge der F q -Teilräume von F n 1 q : U(F n 1 q ) := {X X Fq F n 1 q }. Die Bahnen dieser Operation sind U k (F n 1 q ), die Menge der k-dimensionalen Teilräume von F n 1 q. Sei Dann ist U = (1, 0,..., 0) tr, (0, 1, 0,..., 0) tr,..., (0,..., 0, 1, 0,..., 0) tr }{{} Fq Fq F n 1 q k 1 Stab GL(n,q) (U) = {( X Y 0 Z ) } X GL(k, q), Z GL(n k, q), Y F k (n k) q.

5 1.1. OPERATIONEN 29 Die Länge der Bahn ist U k (F n 1 q, F q ) = der Gaußsche Binomialkoeffizient. [ GL(n, q) n =: GL(k, q) GL(n k, q) qk(n k) k ] q Erzeuger für Stabilisatoren Der Hauptsatz für transitive G-Mengen hat viele Folgerungen, kann durch viele Beispiele untermauert und auch theoretisch noch weiter verfeinert werden. Wir wollen aber an dieser Stelle auf den Bahnenalgorithmus 2 zurückkommen und ihn dahingehend verfeinern, dass man gleichzeitig ein Erzeugendensystem für den Stabilisator berechnet. Wir erinnern uns, dass man durch den Schreierbaum gleichzeitig mit der Bahn eine Transversale für die Restklassen nach dem Stabilisator bekam. Natürlich korrespondieren die Restklassen, die durch die Transversale repräsentiert werden, mit den Elementen der Bahn im Sinne der G-Ähnlichkeit aus dem Hauptsatz Jeder Kante im Schreiergraph, die im Schreierbaum fehlt, entspricht ein neues Element der Restklasse, die durch den Endpunkt der Kante festgelegt ist. Dividiert man von diesem neuen Element den Vertreter ab, so bekommt man ein Element des Stabilisators. Die Schreiersche Beobachtung ist nun, dass diese Stabilisatorelemente in ihrer Gesamtheit den Stabilisator erzeugen. Der folgende Satz stammt von Otto Schreier ( ). Ein wichtiger Beitrag von Charles Sims war es, diesen Satz in einer Weise zu nutzen, die für Computerberechnungen hilfreich ist. Satz 1.48 (Schreiers Lemma). Sei G eine Gruppe mit Erzeugendensystem X, S eine Untergruppe von G und V ein Vertretersystem der Rechtsnebenklassen von S in G, welches 1 G enthält. Für g G bezeichne g den Vertreter von Sg in V. Dann wird S erzeugt von X S = {tx(tx) 1 t V, x X}. Beweis. Da Stx = Stx folgt, dass tx(tx) 1 S für alle t V, x X. Also X S S und so X S X 1 S S. Wir zeigen jetzt, dass X 1 S = {rx 1 (rx 1 ) 1 r V, x X}(= (X 1 S ) ist. Sei also y = tx(tx) 1 X S. Dann ist y 1 = txx 1 t 1. Setze nun r = tx. Dann ist r V und Srx 1 = Srx 1 = Stxx 1 = St. Also ist rx 1 = t und somit y 1 = rx 1 rx 1 1. Schlielich bleibt zu zeigen, dass S = X S X 1 S. Sei also h S. Da X ein Erzeugendensystem für G ist, kann das Element h geschrieben werden als h = x 1 x 2... x n wobei x i X X 1 für 1 i n. Wir definieren eine Folge t 1,..., t n+1 von n + 1 Elementen von V. Das erste Element ist t 1 = 1 G, und für 1 i n setze t i+1 = t i x i. Für jedes i = 1,..., n, setze a i := t i x i t 1 i+1. Dann gilt h = (t 1 x 1 t 1 2 )(t 2x 2 t 1 3 ) (t nx n t 1 n+1 )t n+1 = a 1 a 2... a n t n+1.

6 30 KAPITEL 1. GRUPPEN Offensichtlich ist a i X S X 1 S für 1 i n. Schließlich, da h S und X S S folgt, dass t n+1 = (a 1 a 2... a n ) 1 h S. Also ist t n+1 = 1 G. Damit ist h ein Produkt von Elementen von X S X 1 S und so h X S X 1 S. Also ist S = X S X 1 S. q. e. d. Wir wenden nun diesen Satz an auf die Untergruppe S := Stab G (α) in G. Algorithmus 3 : StabilisatorUndBahnenAlgorithmus Eingabe : Ein Erzeugendensystem X = {g 1, g 2,..., g n } einer Gruppe G = X, eine Operation von G auf einer Menge M und ein α M. Ausgabe : 1. Die Bahn α G, falls diese endlich ist, 2. ein Nebenklassenvertretersystem V (Transversale) von S := Stab G (α) in G (d.h. zu jedem n α G ein g G mit n = m g ), 3. ein Erzeugendensystem von S. Initialisierung: Bahn := [α]; V := {1 G }; X S := ; j = 1; while j Length(Bahn) do γ := Bahn[j]; for g X do if γ g Bahn then hänge γ g an Bahn an; hänge V [j] g an V an; (wenn γ g in Bahn[k] steht, dann steht in V [k] das zugehörige Element der Transversale) else finde k mit γ g = Bahn[k]; füge V [j] g V [k] 1 zu X S hinzu; end end j := j + 1; end Gebe Bahn, V und X S zurück. Beweis. Aus Satz 1.44 folgt, dass V α G : g α g eine Bijektion ist. Diese wird offensichtlich durch den Algorithmus konstruiert, wie schon früher durch den Schreierbaum dargelegt. Übrigens, hält man bei der Konstruktion des Schreierbaums die natürliche Reihenfolge ein, so sind die Nebenklassenvertreter in V kürzest mögliche Produkte aus Erzeugern in X in ihrer Nebenklasse. Aus dem Satz von Schreier folgt, dass S = X S ist. q. e. d.

7 1.2. BEISPIEL VON OPERATIONEN UND UNTERGRUPPEN, ANWENDUNGEN31 Beispiel Sei G = a = (1, 2)(3, 4), b = (1, 2, 3). Mit Hilfe des verfeinerten Bahnenalgorithmus erhält man 4 G = {4, 3, 1, 2}, den Schreiergraph mit Schreierbaum 2 2 b b 4 a 3 b a 4 a 3 a b 1 b 1 Der rechte Baum ergibt sich aus dem Bahnenalgorithmus, alle zustzlichen Pfeile im linken Graphen liefern Elemente für X S : X S = {b = (1, 2, 3), a 2 = (), ab 2 (aba) 1 = (1, 2, 3), (aba 2 )(ab) 1 = (), (ab) 2 a 1 = (1, 3, 2)(= b 2 )}. Wir haben also: S = (1, 2, 3), G = 4 G S = 4 3 = 12. Anmerkung: Was wir an diesem Beispiel schon sehen, gilt auch im Allgemeinen: in der Praxis ist die Menge X S sehr groß und sehr redundant. Es gibt Algorithmen, die ein viel kleineres X S zurückliefern, das ist dann aber etwas komplizierter. Übung: Man zeige, dass die freie Gruppe F 2 := F {a,b} auf zwei Erzeugern genau 5 Schreierbäume auf 3 Ecken (bei natürlicher Reihenfolge der Kanten) zulässt. Diese resultieren in 13 = Schreiergraphen auf 3 Ecken, so dass F 2 genau 13 Untergruppen vom Index 3 hat. Man gebe für einige dieser Untergruppen ein Erzeugendensystem an. 1.2 Beispiel von Operationen und Untergruppen, Anwendungen Lernziele 2. Konjugationsoperation, Fixpunkte und Bahnen Die Konjugationsoperation Unter den Operationen einer Gruppe nehmen die Konjugationsoperationen der Gruppe auf sich und auf der Menge ihrer Untergruppen eine besondere Rolle ein. Entsprechend hat man auch besondere Namen für die auftretenden Stabilisatoren und Bahnen.

8 32 KAPITEL 1. GRUPPEN Definition Sei G eine Gruppe. 1) G operiere auf sich selbst durch Konjugation. Die Bahn x G := {x g g G} von x G unter dieser Operation heißt Konjugiertenklasse von x in G und der Stabilisator Stab G (x) = {g G x g = g 1 xg = x} = {g G gx = xg} =: C G (x) heißt Zentralisator von x in G. 2.) Operiert G auf U(G) = {U U G} durch Konjugation, so heißt die Bahn U G := {U g g G} die Konjugiertenklasse von U G und der Stabilisator Normalisator von U in G. Stab G (U) = {g G U g = U} = {g G gu = Ug} =: N G (U) Mit dieser Notation bekommen wir aus dem Hauptsatz die folgenden Konsequenzen. Korollar Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt: 1) x G = G C G (x) für jedes x G, insbesondere teilt die Länge einer Konjugiertenklasse von Elementen die Ordnung der Gruppe. Ist {x 1, x 2,..., x k } ein Vertretersystem der Konjugiertenklassen, so lässt sich die Klassengleichung umschreiben als 1 = G = x 1 G x k G 1 C G (x 1 ) C G (x k ). Beachte, 1 G = {1} und C G (1) = G. 2) Für U G ist die Anzahl der zu U konjugierten Untergruppen gleich ein Teiler von G, sogar von G U. G N G (U), also auch Übung: Man diskutiere die Gruppe S 3 im Sinne der letzten Folgerung. Wir schauen uns die Konjugationsoperation in der symmetrischen Gruppe genauer an. Satz Für g S n sei a i (g) = Anzahl der Zyklen der Länge i in disjunkter Zyklenzerlegung von g und a(g) := (a 1 (g),..., a n (g)) der Zyklenzähler. Es gilt: g, h S n sind konjugiert in S n, genau dann wenn a(g) = a(h).

9 1.2. BEISPIEL VON OPERATIONEN UND UNTERGRUPPEN, ANWENDUNGEN33 Beweis. 1) Konjugieren ändert den Zyklenzähler nicht: Seien g, h S n mit g = (α 1,..., α k )(β 1,..., β l )... in disjunkter Zykelzerlegung. Dann ist g h = h 1 gh = (α h 1,..., α h k )(βh 1,..., β h l )... die disjunkte Zykelzerlegung von h 1 gh, wie wir bereits in einer Aufgabe auf Blatt 1 gesehen haben. Insbesondere hat sich der Zyklenzähler nicht verändert. 2) Umgekehrt: Sei a(g) = a(h). Ordnet man bei beiden Permutationen die Zyklen (aus der disjunkten Zyklenzerlegung) der Länge nach, so stehen im folgenden Schema die Zyklen gleicher Länge untereinander: g = (α 1,..., α k )(β 1,..., β l )... h = (α 1,..., α k )(β 1,..., β l )... in disjunkter Zykelzerlegung. Also definiere x S n durch x : α i α i; β j β j etc. Dann gilt x 1 gx = h. q. e. d. Übung: Zeige jedes a Z n 0 mit ia i = n kommt als Zykelzähler eines Elementes von S n vor. Wieviele Konjugiertenklassen hat S 6? Was haben Zykelzähler mit Partitionen der Zahl n zu tun? Beispiel zur Konjugation in der S n : 1) Gegeben seien g = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9), h = (9, 4)(1, 2, 3, 7, 6)(5, 8) S 9. Suche ein x S 9 mit x 1 gx = h. Lösung: g = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9) h = (9, 4)(1, 2, 3, 7, 6)(5, 8) Also x = (1, 9, 8, 5, 3)(2, 4)(6, 7) ist eine Lösung. Gibt es andere Lösungen? Z.B. g = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9) h = (5, 8)(2, 3, 7, 6, 1)(9, 4) liefert weitere Lösung x = (1, 5, 7)(2, 8, 9, 4, 3). Beachte, die Lösungen bilden eine Restklasse nach C S9 (g). Man sieht leicht, die Elemente von C S9 (g) entsprechen genau den Möglichkeiten eine disjunkte Zyklenzerlegung von h kompatibel unter die gegebene disjunkte Zyklenzerlegung von g zu schreiben. Also C S9 (g) = Bestimme C S10 ((1, 2, 3)). Lösung: C S10 ((1, 2, 3)) = {h S 10 h 1 (1, 2, 3)h = (1, 2, 3)} = {h S 10 (1 h, 2 h, 3 h ) = (1, 2, 3)} Also h = (1, 2, 3) i x mit x S 10, i x = i für i = 1, 2, 3. Kurz C S10 ((1, 2, 3)) = (1, 2, 3) S 10 3

10 34 KAPITEL 1. GRUPPEN Übung: Wir hatten bereits (äußere) direkte Produkt G H zweier Gruppen G, H auf dem cartesischen Produkt G H mit komponentenweiser Multiplikation definiert. Wann kann man das innere Produkt zweier Untergruppen einer Gruppe definieren? (Es sollte natürlich isomorph sein zum äußeren direkten Produkt!) Übung: Bestimme die kürzesten Elemente in der Konjugiertenklasse von ab in F {a,b}. Was ist der Zentralisator von ab in F(a, b)? Beschreibe ein Vertretersystem der Konjugiertenklassen der Elemente von F {a,b} Anwendung auf kombinatorische Abzählprobleme Wir wollen uns eine sehr fruchtbare Anwendung der endlichen Gruppentheorie auf kombinatorische Abzählprobleme anschauen. Ausgangspunkt ist der folgende Satz, der trotz des Namens wohl schon auf Cauchy zurückgeht. Satz (Burnsidesches Lemma ) Eine endliche Gruppe G operiere auf einer ebenfalls endlichen Menge M. Für g G definiere fix(g) := {m M m g = m}. Dann lässt sich die Anzahl der Bahnen von G auf M berechnen durch M/G = 1 G fix(g). g G { 1, falls m Beweis. Sei (a(m, g)) m M,g G die Matrix mit a(m, g) = g = m 0, sonst Dann gilt: ( 1 ) : a(m, g) = Stab G (m). g G ( 2 ) : m M Daraus folgt: a(m, g) = fix(g). fix(g) g G ( 2 ) = m M,g G a(m, g) ( 1 ) = Stab G (m) m M = Stab G (m) = = B M/G m B B M/G B M/G B Stab G (m B ) G = M/G G, wobei m B B ein fest gewählter Repräsentant der Bahn B ist. q. e. d.