EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SOHLEGEL IN HAGEN I/W.

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1 EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SOHLEGEL IN HAGEN I/W. Es soll im Folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden, mit wie grosser Leichtigkeit die einfachsten Hilfsmittel der G r äs s - mann'schen Ausdehnimgslehre Lehrsätze der Geometrie und Mechanik in beliebiger Menge liefern. 1. Es seien A l9 A z, A 8> A 4 die Ecken eines Tetraeders, ferner 8i 9 $2> $3, S 4 resp. die Schwerpunkte der Dreiecksflächen ^.3^.4^.!, A^AiAz, A^As. Dann bestehen die Gleichungen: Hieraus folgt durch Addition : 4 = i 2... Da die linke Seite dieser Gleichung den vierfachen Schwerpunkt des von den Punkten S lt $ 2 > $3 > 84 gebildeten Tetraeders ("Schwerpunkt-Tetraeder") ausdrückt, die rechte den vierfachen Schwerpunkt des gegebenen Tetraeders, so sagt Gleichung (2) aus, dass beide Schwerpunkte zusammenfallen. Schreibt man (2) in der Form ( (2).,. (ö), so sagt dieselbe aus, dass die Verbindungslinie der Ecke A 1 mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Fläche A^A s A,i durch den Schwerpunkt S des Tetraeders geht und durch denselben im Verhält-

2 332 V. SCHLEGEL. niss l : 3 getheilt lüird. Denn schreibt man (3) in der abgekürzten Form 48 = ^ + 8$... (4), so folgt hieraus durch eine leichte Umformung 8-8, l z^s = 3... (5) > d. h. : die Strecke 88 t verhält sich zu Aß wie l : Aus den Gleichungen (1) folgt weiter: nebst zwei weiteren Paaren von Gleichungen, welche aus (6) durch zweimalige circuläre Vertauschung der Indices l, 2, 3 entstehen. Da nun die Summe zweier Punkte ihren doppelten Mittelpunkt bedeutet, so sagen die Gleichungen (6) aus, dassjede Verbindungslinie der Mitten zweier Gegenkanten des Schwerpunkt-Tetraeders auch durch die Mitten zweier Gegenkcvnten des gegebenen Tetraeders geht. Schreibt man die Gleichungen (6) in der Form so erkennt man, dass jedesmal der Punkt links die Mitte zwischen den beiden Punkten rechts ist. Man hat also den Satz: Jede Strecke, welche die Mitten zweier Gegenkanten eines Tetraeders verbindet, wird durch zwei Gegenkanten seines Schwerpunkt-Tetraeders in drei gleiche Th&ile getheilt. 3. Aus den Gleichungen (1) folgt ferner : S 4 ) = A,... (8), woraus vier weitere Gleichungen durch circuläre Vertauschung der Indices l, 2, 3 entstehen. Diese Gleichungen sagen, dass jede Kante des Schwerpunkt-Tetraeders einer Kante des gegebenen Tetraeders parallel ist und den dritten Theil ihrer Länge besitzt.

3 EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT Schreibt man die Gleichung (2) unter Berücksichtigung von (1) in der Form so sieht man, dass die Strecke, welche eine Eclce des Tetraeders mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Fläche verbindet, durch den Schwerpunkt der zugeordneten Fläche des Schwerpunkt- Tetraeders geht und durch diesen Punkt im Verhältniss l : 2 getheilt wird. 5. Fallen zwei Gegenkanten des gegebenen Tetraeders in dieselbe Ebene, so verwandeln sich die Kanten des Tetraeders in die Seiten und Diagonalen eines ebenen Vierecks. Die in Nr. l 4 enthaltenen Sätze bleiben in Geltung und erleiden nur diejenigen Veränderungen im Wortausdruck, welche durch diese Verwandlungen bedingt sind. In diesem Falle kann einer der vier Punkte, z. B. A 4, aus den drei übrigen mittelst dreier Zahlen X, ^, v durch die Gleichung abgeleitet werden : Nun folgt aus (9) ^3... (10). ^Ä+Ä+Ä-SÄ... (ii), nebst 3 anderen Gleichungen, welche hieraus durch circuläre Vertauschung aller vier Indices folgen. Setzt man die Werthe (11) in (10) ein, so folgt: (X+/A + v) # 4 = Xflf 1 + f*s z + vs 3... (12). Aus (10) und (12) sieht man, dass die Vierecke A^A^A^A^ und St (" Schwerpunktviereck ") einander ähnlich sind. Sei S der Schnittpunkt der Diagonalen des Schwerpunktvierecks. Dann ist nach (12) v) S = X& + v8 B = (\ + p + v)st- f*8*... (13). Denn nach diesen Gleichungen ist S derjenige Punkt, welcher gleichzeitig aus S It S s, und aus S 2, $ 4 abgeleitet werden kann, d. h. der Schnittpunkt der Geraden Sßs und

4 334 V. SOHLEGEL. Sei ferner A der Schnittpunkt der Diagonalen des gegebenen Vierecks. Dann ist nach (10) (\ + v)a=\a 1 + va 3 = (\ + fj,+ v)a±- PA*... (14). Addirt man die Gleichungen (13) und (14) und dividirt durch 2, so erkennt man, dass die Mittelpunkte folgender Strecken auf je einer Geraden liegen: (1) AS, A^, A 3 S 3, (2) AS, A 2 S 2, 6. Bestimmen wir endlich auf den Diagonalen des Vierecks A^A^A^ die Punkte A^ und A 13, durch die Bedingungen t AzAu und AA 1 = A 3 A 13, oder, anders ausgedrückt: A A± = -O-a -"-24 3 A AI = A3 ^0-13 (l 5). Verbinden wir ferner (1) A^ mit A : und A 3, (2) A 13 mit A 2 und J.4, (3) AM mit AU> so entstehen die Dreiecke Multiplicirt man nun (13) mit 3 und ersetzt 8 l9 S 2, S 3, S 4 durch die Werthe (1), so folgt 3 (X + v) S = (X + v) (A* + A,) + \A 3 + vai... (16). Andrerseits folgt aus (15): (X + v) A» + (X + v) A = (\ + v) A 1 + (\ + v),a 3...(17), und, wenn man hiervon (14) subtrahirt : (\ + v)a 13 = va 1 + \A 3... (18). Setzt man endlich die rechte Seite dieser Gleichung in (16) ein, so erhält man nach Weglassung des gemeinsamen Factors (\ H- v) : SS = A, + A, + A ls... (19), d. h. : S ist der -Schwerpunkt des Dreiecks A ZA±A 13. Ferner folgt aus (15) durch Subtraction : oder AI -0.4 = -O-a ~~ AM A > A l + A 3 + A 2i = A z + A i + A l3... (20),^ d. h. : die Dreiecke J.^^ wwcü A z A ti A I3 haben denselben Schwerpunkt (S). Endlich folgt aus (15) :

5 EINIGE SATZE VOM SCHWEBPUNKT. 335 oder, indem man beiderseits A^ addirt : (21), d. h. : auch das Dreieck AA 1S A^ hat den Schwerpunkt 8. Man kann nun die letzten Resultate in dem Satze zusammenfassen : Trägt man auf jeder Diagonale eines Vierecks (A-^A^A^A^ den kleineren ihrer Abschnitte von dem ändern Endpunkte der Diagonale aus a&, und verbindet jeden der beiden so erhaltenen Pwtikte A 13, A^, mit dem anderen und mit den Endpunkten der anderen Diagonale, so entstehen (wenn A der Schnittpunkt der Diagonalen ist) die Dreiecke AA^A^, A-^A^A^ A Z A 4 A 13. Und es ist der Söhnittpwikt (8) der Diagonalen des Schwerpunktvierecks (8) der gemeinsame Schwerpunkt dieser drei Dreiecke. Ebenso erhält man aus den Gleichungen (15) durch Addition anderer Punkte das Resultat, dass auch folgende Dreieckspaare jedesmal denselben Schwerpunkt haben: (1) A^A^A^ und AA^A^, (2) AiAtAz und AA 4 A 1SJ (3) A Z A : A 4 und AA^A^, (4) A 2 A 3 A 4 und JO~ -O. g^cl Die in Nr. l 4 enthaltenen Sätze über das Tetraeder und die Schwerpunkte seiner Seitenflächen stehen in genauer Analogie zu den Sätzen der ebenen Geometrie über das Dreieck und die Schwerpunkte (Mitten) seiner Seiten. Die hier angewandte Methode gestattet ohne jede Schwierigkeit auch die Ansdehnuiig der hier mitgetheilten Sätze auf die dem Dreieck und Tetraeder entsprechenden Gebilde der Räume mit mehr als drei Dimensionen. Insbesondere findet die oben erwähnte Übertragung der Sätze vom Tetraeder auf das ebene Viereck ein Analogon in der Übertragung der entsprechenden Sätze vom vierdimensionalen Fünfzell (Pentaedroid) auf das Doppeltetraeder (12345) (Fig, 2) mit seinen sechs Seiten (123, 135, 152, 423, 435, 452) und vier Diagonalflächen (134, 124, 145, 235), welches aus dem Fünfzell entsteht, wenn eine Kante desselben (z. B. 12) mit der gegenüberliegenden Fläche (345) in denselben dreidimensionalen Raum fällt. Und ebenso, wie das ans dem Tetraeder entstehende Viereck (1234) (Fig. 1) mit seinen 4 Seiten (12, 23, 34, 41) und zwei Diagonalen (13, 24) zwei verschiedene Formen erhalten kann (Summe oder Differenz der Dreiecke 132, 134), je nachdem es eine

6 336 V. SOHLEGEL. Ecke (4) oder keine giebt, die in dem von den anderen gebildeten Dreiecke liegt ebenso kann auch das aus dem Fünfzell entstehende Doppeltetraeder (Hexaeder) zwei verschiedene Formen erhalten (Summe oder Differenz der Tetraeder 4235, 1235), je nachdem es eine Ecke (1) oder keine giebt, die in dem von den anderen gebildeten Tetraeder liegt. (Vgl. hierzu meinen Aufsatz: " Über die verschiedenen Formen von Gruppen, welche r beliebige Punkte im %-dimensionalen Baume bilden können." Hoppe's Arohiv der Math. u. Phys. (2) x. p. 293.)