Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 05 Schnecken und Spiralen Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung ii Inhalt 1 Spiralen in der Umwelt... 1 Archimedische Spirale gesucht Logarithmische Spirale gesucht... 4 Spiegeln einer Spirale Kreisspieglung bei Spiralen Woher die logarithmische Spirale ihren Namen hat Falten einer Spirale Welche Smmetrien hat das gezeichnete Muster? Eckige Schnecke Eckige Schnecke Schraubenlinie Im Dreieck: Spiralen zum Schwerpunkt Spiralen Schnittpunkte mit Achsen... 1 Modul 05 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 007 Provisorische Ausgabe Frühjahr 009 Ergänzung Frühjahr 011 Erweiterung. Fehlerkorrekturen last modified:. Januar 014 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 1 1 Spiralen in der Umwelt Suchen Sie Spiralen in Natur und Umwelt. Ergebnis offene Aufgabe Archimedische Spirale gesucht Gesucht ist die archimedische Spirale mit Zentrum im Ursprung durch zwei gegebene Punkte. Beispiel: A 4,1 ( ) und B( 1,5 ) (in kartesischen Koordinaten) Bearbeitung ( ) und B( φ B,r B ) seien die beiden Punkte in Polarkoordinaten. Dann ist A φ A,r A r( φ) = r A + r B r A φ φ φ B φ A A ( ) die Polargleichung der gesuchten archimedischen Spirale. Beispiel: A( 4,1) und B( 1,5 ) (in kartesischen Koordinaten) 9 6 B 3 A Archimedische Spirale Hier wird allerdings vorausgesetzt, dass sich die beiden Punkte A und B auf demselben Überlagerungsblatt befinden. Wenn sich B von A aus gesehen k Runden weiter befindet, muss der Polarwinkel auf φ B + πk abgeändert werden: r r( φ) = r A + B r A ( ( φ φ φ B +πk) φ A ) A

4 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung Für k = erhalten wir: B A Für k = 1 ergibt sich: B ist zwei Runden weiter 6 4 B A B liegt eine Runde zurück 3 Logarithmische Spirale gesucht Gesucht ist die logarithmische Spirale mit Zentrum im Ursprung durch zwei gegebene Punkte. Beispiel: A 4,1 ( ) und B( 1,5 ) (in kartesischen Koordinaten)

5 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 3 Bearbeitung ( ) und B( φ B,r B ) seien die beiden Punkte in Polarkoordinaten. Mit k bezeich- A φ A,r A nen wir, wie viele Blätter sich B oberhalb oder unterhalb von A befindet. Dann ist ( ) = r A r B r φ ( ) r A ( ) φ φ A φ B +πk φ A die Polargleichung der gesuchten logarithmischen Spirale. Beispiel: A( 4,1) und B( 1,5 ) (in kartesischen Koordinaten), k = 0 : B A Für k = erhalten wir: Logarithmische Spirale 6 4 B A B ist zwei Runden weiter

6 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 4 Für k = 1 ergibt sich: 6 4 B A B liegt eine Runde zurück 4 Spiegeln einer Spirale Wie ändert sich eine Spirale, wenn wir sie an einer Geraden durch den Ursprung spiegeln? Ergebnis Aus einer (im positiven Drehsinn betrachtet) wachsenden Spirale wird eine abnehmende Spirale Spiegelung einer logarithmischen Spirale an der -Achse

7 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 5 5 Kreisspieglung bei Spiralen Eine Spiegelung am Einheitskreis kann in Polarkoordinaten so beschrieben werden: ( ) P( r,φ) P 1 r,φ a) Was entsteht aus einer archimedischen Spirale bei der Spiegelung am Einheitskreis? b) Was entsteht aus einer logarithmischen Spirale bei der Spiegelung am Einheitskreis? Ergebnis a) Aus einer archimedischen Spirale erhalten wir eine hperbolische Spirale Archimedische und hperbolische Spirale

8 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 6 b) Aus einer logarithmischen Spirale erhalten wir wiederum ein logarithmische Spirale Logarithmische Spiralen 6 Woher die logarithmische Spirale ihren Namen hat Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass die folgende Spirale durch die Gleichung r φ ( ) = Logarithmische Spirale φ 45 beschrieben wird. Was ist nun φ r ( )? Bearbeitung φ Wir müssen r = 45 nach φ auflösen und erhalten φ r ( ) = 45 ( ) ln r ln ( )

9 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 7 7 Falten einer Spirale Wir falten folgende Spirale: Die Figur passt in einen Karoraster: Spirale Im Karoraster Der Faltprozess geht schrittweise. Wir beginnen mit einem halben Quadrat (Origami Papier einer Diagonale nach halbieren): 1

10 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 8 3 4

11 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung

12 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 10 8 Und nun stecken wir das vorstehende Stücklein nach hinten: 9 Rein theoretisch kann bis ins Unendliche gefaltet werden. Wenn wir wieder auffalten, haben die Faltlinien folgende Struktur: Faltstruktur

13 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 11 Die Faltlinien bilden einen wechselseitig asmmetrischen Baum. Die Ecken der Figur liegen auf einer logarithmischen Spiralen: Logarithmische Spirale

14 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 1 8 Welche Smmetrien hat das gezeichnete Muster? Muster Ergebnis Achsensmmetrie 18-teilige Drehsmmetrie Drehstrecksmmetrie

15 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 13 9 Eckige Schnecke Gesucht sind die nächsten zwei Glieder dieser Schnecke. Wie geht es weiter?

16 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 14 Ergebnis Folge von ähnlichen Dreiecken

17 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung Eckige Schnecke Gibt es eine eckige Schnecke im Dreiecksraster? Dreiecksraster

18 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 16 Ergebnis Variante 1 Variante 1

19 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 17 Variante Gibt es weitere Varianten? Variante 11 Schraubenlinie Bestimmen Sie die Länge der Schraubenlinie (t) r cos( t) = r sin( t) pt durch Abwickeln der Kurve. ; t [ 0,π]

20 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 18 Ergebnis s = π r + p 1 Im Dreieck: Spiralen zum Schwerpunkt In einem Dreieck werden die drei Seiten zklisch im gleichen Verhältnis unterteilt. Die drei Teilpunkte bilden ein neues Dreieck, mit dem ebenso verfahren wird. Und so weiter. Die Figur zeigt ein Ausgangsdreieck und den ersten und den zweiten Schritt bei einem Teilverhältnis von 1: 9. Schritte eins und zwei Im folgenden Bild sind die ersten 50 Schritte eingezeichnet. Zusätzlich ist blau der Schwerpunkt des Ausgangsdreieckes markiert. 50 Schritte, Schwerpunkt Wir vermuten: Die drei Spiralen (in Wirklichkeit Polgone) streben zum Schwerpunkt. Wie lässt sich das beweisen? Bearbeitung Für das reguläre Dreieck ist die Aussage aus Smmetriegründen klar. Der Übergang von einem Dreieck zum nächsten kann durch eine Drehstreckung mit Zentrum im Ursprung beschreiben werden. Die Spiralen sind daher logarithmische Spiralen.

21 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung Reguläres Dreieck Wir können nun das reguläre Dreieck affin auf ein allgemeines Dreieck abbilden. Die Teilverhältnisse bleiben dabei erhalten. Da unsere Spiralen wie auch der Schwerpunkt mit Teilverhältnissen definiert sind, bleibt die Eigenschaft erhalten, dass die Spiralen in den Schwerpunkt einmünden. Allerdings sind die affin verzerrten logarithmischen Spiralen im allgemeinen keine logarithmische Spiralen mehr. 13 Spiralen a) Die Figur zeigt eine logarithmische Spirale. Wie hängt der Radius r vom Polarwinkel φ ab? Logarithmische Spirale

22 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung 0 b) Die Figur zeigt eine archimedische Spirale. Wie hängt der Radius r vom Polarwinkel φ ab? Bearbeitung a) r φ ( ) = φ [ ] π, φ 0,π r:=phi->^(phi/(*pi)): Archimedische Spirale kurve:=plot::curved([r(phi)*cos(phi), r(phi)*sin(phi)], phi=0..*pi, LineWidth=1, LineColor=[1,0,0]): plot(kurve, Scaling=Constrained, TicksDistance=1, TicksBetween=0, ViewingBo=[-..,-..], AesLineWidth=0.5, AesLineColor=[0,0,0], AesTitleFont=["Times", 1, Italic], TicksLabelFont=["Times", 1],Width=70, Height=70) b) r( φ) = 1+ φ π, φ [ 0,π] r:=phi->1+phi/(*pi): kurve:=plot::curved([r(phi)*cos(phi), r(phi)*sin(phi)], phi=0..*pi, LineWidth=1, LineColor=[0,0,1]): plot(kurve, Scaling=Constrained, TicksDistance=1, TicksBetween=0, ViewingBo=[-..,-..], AesLineWidth=0.5, AesLineColor=[0,0,0], AesTitleFont=["Times", 1, Italic], TicksLabelFont=["Times", 1], Width=70, Height=70) Die beiden Kurven unterscheiden sich im gezeichneten Bereich kaum. Bei zwei Umgängen werden die Unterschiede sichtbar. Nachfolgend eine Überlagerung.

23 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung Überlagerung, einen und zwei Umgänge 14 Schnittpunkte mit Achsen a) Die Figur zeigt eine logarithmische Spirale. Gesucht sind die Koordinaten der eingezeichneten Schnittpunkte der Spirale mit den Koordinatenachsen Logarithmische Spirale

24 Hans Walser: Modul 05, Schnecken und Spiralen. Lernumgebung b) Die Figur zeigt eine archimedische Spirale. Gesucht sind die Koordinaten der eingezeichneten Schnittpunkte Bearbeitung a) Logarithmische Spirale mit r φ Archimedische Spirale ( ) = φ π, φ 0,π [ ] : 0, 1 4, 1,0, 0, 3 4 b) Archimedische Spirale mit r( φ) = 1 + φ π, φ [ 0,π]: ( 0, 5 4 ), ( 3,0 ), ( 0, 7 4 )