Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 207 Die fünf platonischen Körper

2 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper ii Inhalt 1 Definition der fünf platonischen Körper Tabelle Die Polyederformel von Euler Falten und Schneiden Der Würfel Der Schiffchen-Würfel Origami Flechtmodelle des Würfels Tetraeder aus einem dreieckigen Origami Papier Lasst hören aus alter Zeit Die platonischen Körper und die vier Elemente Kepler und die platonischen Körper Zusammenfassung Die platonischen Körper Polyederformel von Euler Herstellungsmethoden Geschichte Modul 207 für die Lehrveranstaltung: Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 1999 Erste Fassung (Einzelblätter) Sommer 2001 Überarbeitung und Erweiterung Sommer 2003 Neue Moduleinteilung, Erweiterungen Sommer 2005 Technische Überarbeitung Sommer 2007 Formel-Editor revidiert. Straffung und Erweiterung Frühjahr 2009 Kürzung Frühjahr 2011 Kleine Änderung und Ergänzung last modified: 1. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel

3 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 1 1 Definition der fünf platonischen Körper Die räumliche Analogie zu den regelmäßigen Vielecken sind die so genannten PLATO- Nischen Körper. Ein platonischer Körper ist konvex, hat ausschließlich kongruente regelmäßige Vielecke als Seitenflächen; zudem sollen an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenkommen. Unter diesen starken Bedingungen für Regelmäßigkeit gibt es nur fünf Körper: a) Das Tetraeder ist von vier regelmäßigen Dreiecken berandet. b) Des Hexaeder (der Würfel) ist von sechs Quadraten berandet. c) Das Oktaeder ist von acht regelmäßigen Dreiecken berandet. d) Das Ikosaeder ist von 20 regelmäßigen Dreiecken berandet. e) Das Dodekaeder ist von zwölf regelmäßigen Fünfecken berandet. Die fünf platonischen Körper

4 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 2 2 Tabelle # Ecken # Kanten # Flächen Tetraeder Oktaeder Würfel Ikosaeder Dodekaeder 2.1 Die Polyederformel von Euler My home is my castle

5 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 3 3 Falten und Schneiden 3.1 Der Würfel Der Schiffchen-Würfel Wir bauen vier Schiffchen aus rechteckigem Papier, zum Beispiel DIN A4 Papier, legen das Segel auf den Boden und stecken je zwei Schiffchen zu einem Körbchen zusammen. Vier Schiffchen Die vier Schiffchen bilden zwei Körbchen Die beiden Körbchen stecken wir nun als Boden und Deckel zu einem Würfel zusammen. Beim Zusammenstecken ist ein wechselseitiger Innen- Außen- Rhythmus zu beachten.

6 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 4 Schiffchen-Würfel Origami Die japanische Origami-Technik basiert auf quadratischem Papier. Über Origami vgl. [Chatani 1986], [Chatani 1989], [Fusè 1990], [Fusè 1993], [Kneißler 1996], [Kneißler 1999]. Zwei Origami-Blätter werden gemäß Muster gefaltet und je zu einem Körbchen aufgebogen. Das getönte Quadrat in der Mitte wird dabei zum Körbchenboden. Die beiden Körbchen stecken wir nun als Boden und Deckel zu einem Würfel zusammen. Beim Zusammenstecken ist ein wechselseitiger Innen- Außen- Rhythmus zu beachten. Talfalt Bergfalt Faltmuster

7 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 5 Falten des einen Teils Flechtmodelle des Würfels Zusammenbau Drei Streifen Das einfachste Flechtmodell des Würfels besteht aus drei Papierstreifen. Jeder Streifen besteht aus sechs Feldern, welche fast Quadrate sind; aus flechttechnischen Gründen (Spielraum) muss die Streifenbreite etwas geringer als die Kantenlänge des Würfels sein. In der Praxis genügt eine Verminderung von ε 1 mm. Die beiden letzten (getönten) Felder der Streifen sind jeweils mit den beiden ersten zu überlappen; sie dienen zur Stabilisierung des Flechtmodells.

8 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 6 Würfel aus drei Streifen Schrägstreifen-Modell des Würfels Wir denken uns eine schräge geschlossene Schnur über den Würfel. Eine solche schräge geschlossene Schnur liefert ein regelmäßiges Sechseck. Schrägstreifen Da jedes dieser Sechsecke eine Würfeldiagonale als Achse besitzt, gibt es insgesamt vier solcher Sechsecke. Daraus lässt sich ein Flechtmodell mit vier Schrägstreifen ableiten. Der einzelne Schrägstreifen besteht im Prinzip aus sechs halben Quadraten. Schrägstreifen Hier sind die Überlappungsteile noch nicht berücksichtigt. Wir können nach einer Idee von Ramon Gonzalez die Überlappungsteile gemäß Figur anordnen: Streifen mit Überlappungsteilen Damit ergibt sich eine rationelle und Papier sparende Herstellungsmethode: Wir falten ein Origami-Papier gemäß Figur.

9 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 7 Falten des Origami-Papiers Wir zerschneiden nun entlang der horizontalen Faltlinien und erhalten gleich acht Streifen. Das Zerschneiden geschieht am besten so, dass die Faltlinie zugefaltet wird und dann mit einem Japanmesser auf ganz dünne Breite abgeschnitten. Auf diese Weise werden die Streifen etwas schmaler als die theoretische Breite; damit ist gleich die Papierdicke mitberücksichtigt, so dass das Flechten dann viel einfacher geht. Natürlich lassen sich auch rechteckige Papiere verwenden. Die Figur zeigt das Faltmuster bei Verwendung eines DIN-Papiers. Es entstehen fünf brauchbare Streifen und etwas Abfall. Beim Falten beginnen wir am besten mit den 45 -Faltlinien an den beiden Ecken unten rechts und links. Rechteckiges Papier Das Flechten beginnen wir mit den vier Streifen, indem wir sie in der Mitte wechselseitig übereinander legen gemäß Figur. Die vier Streifen können mit einem wieder entfernbaren Klebestreifen fixiert werden. Das auf Spitz stehende Quadrat in der Mitte wird dann zum Boden des zu flechtenden Würfels.

10 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 8 Flechtstart Nun flechten wir seitlich in die Höhe. Die oberen Ränder können auf jeder Seite mit einer Büroklammer fixiert werden. Seitenwände und Würfel Den Deckel erhalten wir, indem wir farbenweise die Streifen schließen. 3.2 Tetraeder aus einem dreieckigen Origami Papier Die folgenden Modell werden aus einem dreieckigen Origami Papier gebaut. Ein solches dreieckiges Origami Papier kann aus einem rechteckigen Papier (Format DIN A4 oder US Letter) geschnitten werden. Aus den Resten links und rechts kann ebenfalls noch ein (kleineres) dreieckiges Blatt gemäß geschnitten werden.

11 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper Herstellung eines dreieckigen Origami Papiers 9 Resteverwertung Die folgende Figur zeigt das effektive Faltlinienbild. Die Faltlinien sind die effektiven Faltlinien, das heißt, die Linien, die im fertigen Modell mit der angegebenen Faltrichtung (Bergfalt / Talfalt) vorliegen. Es gibt Faltlinien, die je zur Hälfte Bergfalte und Talfalte sind. Daher ein zweistufiges Vorgehen: zunächst einmal die Faltlinien unabhängig von der Faltrichtung finden, dann in die benötigte Richtung allenfalls umfalten. Die anschließende Figur zeigt, welche Teile im fertigen Modell von außen sichtbar sind, also die effektiven Außenseiten. Bergfalt, von außen gesehen Effektiv von außen sichtbare Teile Talfalt, von außen gesehen Effektive Faltlinien Außenseiten

12 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 10 Die nächste Figur zeigt das effektive Überlagerungsbild, es gibt bei jedem von außen sichtbaren Teil an, aus wie vielen Papierlagen die Tetraederoberfläche dort besteht. Die gleich bezeichneten Punkte liegen im fertigen Modell aufeinander. Das Papiermodell hat nicht die volle Symmetriegruppe des Tetraeders. Drei Seitenflächen dies Modells sind kongruent, die vierte Seite, die Grundfläche, ist zwar auch ein gleichseitiges Dreieck, hat aber eine andere Binnenstruktur. Das Modell hat lediglich eine dreiteilige Drehsymmetrie um die auf der Grundfläche stehende Höhe. Gemäß Figur 040 hat die Grundfläche die Ecken ABC und den Mittelpunkt M. Die Punkte D, E und F sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kanten BC, CA und AB. Der Punkt S ist die Spitze des Modells. S A E A F M F S B S F D M C E A E C D M B D M E D F S C S B S 3-lagig 5-lagig Überlagerungsbild Die folgende Figur zeigt eine Zwischenphase des Modellbaus. Wir sehen auf die Spitze des Tetraeders, welches sich in der Mitte befindet. Die nächste Figur zeigt dieselbe Situation von unten. Die drei Flügel werden über den Boden geklappt und wechselseitig verschlauft. Wir sehen hier auf dem Bodenstück blinde Faltkanten, welche zum Auffinden des Mittelpunktes des Origami Papiers gebraucht wurden, aber im fertigen Modell nicht mehr gefaltet sind.

13 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 11 Sicht auf das angefangene Modell von oben und von unten In der folgenden Figur sind bereits zwei Flügel in der richtigen Position. Das Einstecken des dritten und letzten Flügels ist etwas heikel. Man kann mit einer Pinzette von der Gegenseite her ziehen helfen. Die anschließende Figur zeigt eine Ansicht des fertigen Modells, darin sind die Grundfläche (mit der dreiteiligen Drehsymmetrie) und eine Seitenfläche sichtbar. Zwei Flügel sind eingeklappt Ansicht

14 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 12 4 Lasst hören aus alter Zeit 4.1 Die platonischen Körper und die vier Elemente In der Antike wurden den fünf platonischen Körpern die vier Elemente Feuer, Erde, Luft und Wasser sowie (dem Dodekaeder) das Weltall zugeordnet. 4.2 Kepler und die platonischen Körper Johannes KEPLER, KEPLER ( ) versuchte, die Radienverhältnisse der Planetenbahnen mit einem Modell zu erklären, das aus ineinander geschachtelten platonischen Körpern mitsamt deren Umkugeln und Inkugeln bestand. Die Inkugel des einen Körpers ist gleichzeitig die Umkugel des nächst inneren Körpers.

15 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 13 In einer Skizze hat Kepler dieses Schalenmodell zweidimensional dargestellt. Die platonischen Körper sind durch regelmäßige Vielecke ersetzt. Zweidimensionales Schalenmodell Reihenfolge von außen nach innen: Saturn Jupiter Mars Erde Venus Merkur Würfel Tetraeder Dodekaeder Ikosaeder Oktaeder

16 Hans Walser: Modul 207, Die fünf platonischen Körper 14 5 Zusammenfassung 5.1 Die platonischen Körper Ein platonischer Körper ist konvex, hat ausschließlich kongruente regelmäßige Vielecke als Seitenflächen; zudem sollen an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenkommen. Es gibt fünf platonische Körper: Tetraeder, Oktaeder, Würfel (Hexaeder), Ikosaeder, Dodekaeder. 5.2 Polyederformel von Euler Gilt für jedes Polyeder: e k + f = Herstellungsmethoden Falten und Flechten 5.4 Geschichte Link mit den vier Elementen der Alchimisten Planetenmodell von Kepler, bevor er seine keplerschen Gesetze entdeckte.