Grundlagen Geometrie. Einsichten in die platonischen Körper. zusätzliche Zeichnungen 3
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- Klara Holzmann
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1 Grundlagen Geometrie zusätzliche Zeichnungen 3 in die platonischen Körper Raumanordnung 3 Einsicht in den Tetraeder 4 Zweifache Einsicht in den Tetraeder 5 Einsicht in den Hexaeder 6 Zweifache Einsicht in den Hexaeder 7 Einsicht in den Oktaeder 8 Zweifache Einsicht in den Oktaeder 9 Einsicht in den Ikosaeder 10 Zweifache Einsicht in den Ikosaeder 11 Einsicht in den Dodekaeder 12 Zweifache Einsicht in den Dodekaeder 13 Erstellt durch: AnOA edition Andreas OttigerAmmann Feldheim 1 CH-6027 Römerswil LU kontakt@anoae.org 1.Version:
2 Literatur: Die Masse der Um-, Zwischen-, und Inkugeln sind dem Buch: Mandalas der Heiligen Geometrie von Bruce Rawles, Silberschnur 1999 entnommen. Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Adam/Wyss, Haupt 1994 Die sind eine Ergänzung zum Buch: Vom ewig beginnenden Ende von Andreas OttigerAmmann, AnOA edition 2008
3 Raumanordnung Eine ineinander verschachtelte Raumanordnung der platonischen Körper: B: Durchdringung von Ikosaeder (grün) und Dodekaeder (rot) C: Durchdringung von Tetraeder (blau) und Tetraeder (orange-gelb) D: Durchdringung von Oktaeder (dunkelblau) und Hexaeder (dunkelgelb) Sie sind gezeichnet mit all ihren Um-, Zwischen- und Inkugeln. D C B Inkugel Würfel r = 1 = 1 Inkugel Oktaeder r = (4/3) = Zw-k Oktaeder/Würfel/In-k Sterntetraeder r = 2 = Umkugel Würfel r = 3 = Umkugel Oktaeder/Zwischenkugel Sterntetraeder r = 4 = 2 Inkugel Dodekaeder r Inkugel Ikosaeder r Zwischenkugel Ikosaeder/Dodekaeder r = 5+1= Umkugel Dodekaeder/Sterntetraeder r = 12 = Umkugel Ikosaeder r Darstellung der : (Seiten 4-13) linke Reihe: Ansicht auf eine Kante des äusseren Körpers rechte Reihe: leicht nach rechts gedrehte Ansicht Jeder platonische Körper lässt sich in die anderen Körper einpassen. Die Ecken der eingepassten Körper treffen entweder auf eine Ecke, eine Kante oder auf die Mitte der Fläche des sie umgebenden Körpers. 3
4 Einsicht in den Tetraeder Nur der Tetraeder lässt sich auch in sich selbst einpassen. U Tetraeder Vier Dodekaeder-Ecken berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder Vier Ikosaeder-Flächen berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder Vier Oktaeder-Flächen berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder Vier Hexaeder-Ecken berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder Vier innere Tetraeder-Ecken berühren die äusseren Tetraeder-Flächen 4
5 Zweifache Einsicht in den Tetraeder Nur der Tetraeder lässt sich auch in sich selbst einpassen. U gr. Tetraeder U kl. Tetraeder U gr. Tetraeder U kl. Tetraeder U gr. Tetraeder U kl. Tetraeder U gr. Tetraeder U kl. Tetraeder U gr. Tetraeder U kl. Tetraeder U gr./u kl
6 Einsicht in den Hexaeder Sechs Dodekaeder-Kanten berühren die Hexaeder-Flächen U Hexaeder Der Dodekaeder ist um grösser als beim Oktaeder = von Umkugel zu Zw-Kugel Sechs Ikosaeder-Kanten berühren die Hexaeder-Flächen U Hexaeder Der Ikosaeder ist um kleiner als beim Oktaeder = von Inkugel zu Zw-Kugel Die sechs Oktaeder-Ecken berühren die Hexaeder-Flächen U Hexaeder Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Hexaeder-Ecken U Hexaeder Die Umkugel und Zwischenkugel von Tetraeder
7 Zweifache Einsicht in den Hexaeder U gr. Hexaeder U kl. Hexaeder U gr./u kl Phi (Goldener Schnitt) U gr. Hexaeder U kl. Hexaeder U gr./u kl Phi 4 5 ( ist eine Phi-Endung) U gr. Hexaeder U kl. Hexaeder U gr./u kl U gr. Hexaeder U kl. Hexaeder Die Umkugel und Zwischenkugel von Tetraeder
8 Einsicht in den Oktaeder U Oktaeder Acht Dodekaeder-Ecken berühren die Oktaeder-Flächen U Oktaeder Acht Ikosaeder-Flächen berühren die Oktaeder-Flächen U Oktaeder Die acht Hexaeder-Ecken berühren die Oktaeder-Flächen U Oktaeder Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Oktaeder-Flächen 8
9 Zweifache Einsicht in den Oktaeder U gr. Oktaeder U kl. Oktaeder U gr./u kl Phi 4 5 ( ist eine Phi-Endung) U gr. Oktaeder U kl. Oktaeder U gr./u kl Phi (Goldener Schnitt) U gr. Oktaeder U kl. Oktaeder U gr. Oktaeder U kl. Oktaeder
10 Einsicht in den Ikosaeder Zwanzig Dodekaeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Flächen U Ikosaeder Acht Oktaeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Kanten U Ikosaeder Die acht Hexaeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Flächen U Ikosaeder Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Flächen U Ikosaeder
11 Zweifache Einsicht in den Ikosaeder U gr. Ikosaeder U kl. Ikosaeder ist der Kehrwert von U gr./u kl U gr. Ikosaeder U kl. Ikosaeder U gr./u kl Phi (Goldener Schnitt) U gr. Ikosaeder U kl. Ikosaeder U gr./u kl Phi 4 5 ( ist eine Phi-Endung) U gr. Ikosaeder U kl. Ikosaeder U gr. Ikosaeder = U Tetraeder U kl. Ikosaeder
12 Einsicht in den Dodekaeder U Dodekaeder Zwölf Ikosaeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Flächen U Dodekaeder Acht Oktaeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Kanten Die acht Hexaeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Ecken Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Ecken 12
13 Zweifache Einsicht in den Dodekaeder U gr. Dodekaeder U kl. Dodekaeder ist der Kehrwert von U gr./u kl U gr. Dodekaeder U kl. Dodekaeder ist der Kehrwert von 3 U gr./u kl Phi 4 5 ( ist eine Phi-Endung) U gr. Dodekaeder = U kl. Dodekaeder ist der Kehrwert von Phi U gr./u kl. 1, Phi (Goldener Schnitt) U gr. Dodekaeder = U kl. Dodekaeder ist 1/3 der gr. Umkugel 13
a) b) Abb. 1: Würfel und Kantenmittenkugel
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