Eine geometrische Reise in höhere Dimensionen. Thilo Rörig. DFG Research Center MATHEON Mathematics for key
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- Dennis Kohl
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Transkript
1 Eine geometrische Reise in höhere Dimensionen Thilo Rörig DFG Research Center MATHEON Mathematics for key
2 Die Reiseplanung Anwendungen Optimierung Dimension Visualisierung Geometrie 2
3 Anwendungen Linearen Optimierung: Rucksackproblem (1.12. im Mathekalender) Produktionsplanung ( im Mathekalender) Planung von Verkehrsnetzen 3
4 Platonische Körper Geometrie der Linearen Optimierung Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder, Hexaeder (Würfel) 4
5 Geometrie Geometrie der Linearen Optimierung: Lösungsraum: Hochdimensionale Polyeder Bewertung auf den Ecken Optimale Lösungen: optimale Ecke 5
6 Reisewarnung Vasek Chvatal (Math. Professor, Montreal): Here, however, a word of warning may be in order: do not try to visualize n-dimensional objects for n > 3. Such an effort is not only doomed to failure it may be dangerous to your mental health. (If you do succeed, then you are in trouble.) To speak of ndimensional geometry with n > 3 simply means to speak of a certain part of algebra. 6
7 Was ist die Dimension? Aller Anfang ist 1-dimensional: Geraden sind 1-dimensional Kurven sind auch 1-dimensional Wir benötigen eine Koordinate! 7
8 Was ist die Dimension? Weiter in die 2te Dimension: Ebenen sind 2-dimensional. Flächen sind auch 2-dimensional. Ist die Erdoberfläche 2-dimensional? Wir benötigen zwei Koordinaten! 8
9 Was ist die Dimension? Hier sind wir zu Hause die 3te Dimension: Das Innere eines Quader ist 3-dimensional. Eine Kugel ist 3-dimensional. Wir benötigen drei Koordinaten! 9
10 Was ist die Dimension? Diese Reise beginnt die 4te Dimension: Ist die 4te Dimension die Zeit? Wir benötigen vier Koordinaten! 10
11 Was ist die Dimension? Jetzt lieber abstrakt die n-te Dimension: Wir benutzen n Koordinaten! Ein Punkt im n-dimensionalen Raum P = (P1, P2,..., Pn) 11
12 3D Visualisierung Welche Möglichkeiten gibt es? Modelle (echte 3 Dimensionen) Computermodelle (virtuelle 3 Dimensionen) Projektion mit/ohne Perspektive Schnitte mit Ebenen (z.b. Ultraschall) 12
13 3D Visualisierung - Projektion Projektionen ins 2-dimensionale Wähle Koordinatenrichtungen Jeder Punkt in 3D bekommt ein Abbild P = (1,1,1) Projektion eines Würfels Ecken (0,0,0),(0,0,1) (0,1,0),(1,0,0) (0,1,1),(1,0,1) (1,1,0),(1,1,1) 13
14 3D Visualisierung - Projektion Ecken (0,0,1),(0,0,-1) (0,1,0),(0,-1,0) (1,0,0),(-1,0,0) 14
15 4D Visualisierung - Projektion 3D Projektionen in die Ebene Drei Koordinatenachsen in der Ebene Jeder Punkt in 3D erhält ein Abbild in 2D 3D Polyeder bestehen aus einer Sammlung von 2D Polygonen, die sich überlagern 4D Projektionen in den Raum Vier Koordinatenachsen im Raum Jeder Punkt in 4D erhält ein Abbild in 3D 4D Polyeder bestehen aus einer Sammlung von 3D Polyedern, die sich überlagern 15
16 4D Visualisierung - Projektion 4D Projektionen: Vier Koordinatenachsen im Raum Jeder Punkt in 4D erhält ein Abbild in 3D P = (1,1,1,1) Der 4D Würfel 16
17 4D Visualisierung - Projektion Andere 4D Polyeder 24-Zell 120-Zell Permutaeder 17
18 3D Visualisierung Schlegel Diagramme Eine geschickte Projektion Zentralprojektion Nicht alle Seiten bleiben sichtbar 2-dimensionales Bild (auf einer der Seiten) Keine Überlagerung mehr! 18
19 3D Visualisierung Schlegel Diagramme Schlegel Diagramme Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder 19
20 4D Visualisierung Schlegel Diagramme Zentralprojektion auf eine 3D Seite Keine Überlagerung von Seiten Alle Seiten sind sichtbar 20
21 4D Visualisierung Schlegel Diagramme Andere 4D Polyeder 24-Zell 120-Zell Permutaeder 21
22 3D Visualisierung Schnitte Polyeder Tomographie Betrachte ein 3D Polyeder Wähle eine Schnittrichtung Schneide das Polyeder in viele 2D Scheiben Genügend Scheiben erlauben Rekonstruktion 22
23 3D Visualisierung Schnitte 3D Tomographie Oktaeder Dodekaeder Fussball 23
24 3D Visualisierung Schnitte 3D Tomographie Oktaeder Dodekaeder Fussball 24
25 4D Visualisierung Schnitte 4D Tomographie: Betrachte 4D Polyeder Wähle eine Schnittrichtung Schneide das Polyeder in viele 3D Scheiben 25
26 Links Meine Homepage: Illustrationen von Sonja Rörig Mathematische Software polymake: Visualisierung jreality: Visualisierung povray: 26
27 Reisebericht Fotoalbum 27
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