IV. BUCH RAUM MIT. 9b. STERNDELTAEDER. Titelbild:

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1 IV. BUCH RAUM MIT n-dimensionen 9b. STERNDELTAEDER Titelbild:

2 Sterndeltaeder Wie viele Deltaeder mit 18 Dreiecken gibt es? Viele, zu viele! Von den endlich vielen Möglichkeiten ist jedenfalls keiner konvex! Wegen F+4=2E muss er 11 Ecken haben (oder E=½F+2). Wegen K=1,5F hat er 27 Kanten: =2 Ersetzt man alle Seiten einer Dipyramide durch acht Tetraeder (für jede zusätzliche Spitze kommen also zwei Dreiecke und drei Kanten zusätzlich dazu), erhält man einen 18-Deltaeder. Man kann sechs Tetraeder auf den Oktaeder setzen (vorige Abbildung), wofür es 3 Möglichkeiten ergibt. Bei der fünfeckigen Dipyramide kann man vier Tetraeder draufsetzen, was über 10 Möglichkeiten ergibt. Nimmt man den konvexen 12-Deltaeder, so kann man drei seiner Begrenzungsdreiecke durch drei Tetraeder ersetzen. Dies allein ergibt (12 über 3 = 12x11x10/3x2x1) =220 Möglichkeiten. Man kann aber zusätzlich beispielsweise auch nur ein Dreieck zunächst durch einen Tetraeder austauschen und bei diesem wiederum zwei Dreiecke durch zwei Tetraeder ersetzen (sofern keine Selbstdurchdringung erfolgt). Außerdem kann man Tetraeder auch anstatt sie darauf zu setzen nach innen einbauen. Aber auch quadratische Pyramidenspitzen können vorkommen: Drei auf ein Dreiecksprisma aufgesetzte quadratische Pyramiden (14 Dreiecke) kann man verwenden, um dann zwei Dreiecke mit Tetraeder zu ersetzen (nach innen oder nach außen). Zwei dreifach erhöhte Tetraeder kann man verschieden zusammen fügen

3 Dreifach erhöhte 12-Deltaeder Vierfach erhöhte 10-Deltaeder Alle Körper, die man mit 18 Dreiecken bauen kann, haben immer 11 Ecken und sind niemals konvex. Man kann mit 18 Dreiecken auch Körper bauen, bei denen zwei Dreiecke in einer Ebene liegen und daher eigentlich Rauten sind, und damit keine Deltaeder mehr sind, wie diesen in 2 Ansichten abgebildeten, der aus drei an einer Ecke liegende Rauten besteht. Auch er hat 11 Ecken

4 Und es gibt sogar noch gänzlich andere 18-Deltaeder, die man erhält, wenn man beispielsweise auf einem 10-Deltaeder zwei benachbarte Dreiecke herausnimmt und diese durch sechs Dreiecke ersetzt 1, die wie drei an einer Ecke verbundene Tetraeder (Schiffchen) aussehen, es aber nicht wirklich sind, denn in die Lücke zwischen zwei benachbarten aufgesetzten Tetraedern passt ein etwas größerer Körper als ein Tetraeder hinein. Auf dieses Gebilde muss man noch ein Dreieck durch einen Tetraeder ersetzen, der in der folgenden Abbildung so gesetzt wurde, dass er möglichst symmetrisch aussieht. Bei diesem 18-Deltaeder mit den sechs Dreiecken an einer Ecke, die kein regelmäßiges Sechseck bilden, sieht man auch, dass fünf an einer Ecke liegende Dreiecke nicht stets durch ein regelmäßiges Fünfeck ersetzt werden können. Rechts die Rückseite mit den fünf abgenommenen kopunktalen Dreiecken: Das grüne Fünfeck kann man nicht einsetzen, ohne dass das Gebilde auseinander bricht. 1 Man kann diesen Körper nicht durch Aufsetzen von zwei Tetraedern auf einen 12- Deltaeder bekommen, obwohl seine Volumenberechnung zumindest ähnlich schwierig sein dürfte, denn kein konvexer Körper, und auch nicht der 12-Deltaeder, der aber 5 fünfkantige und 3 vierkantige Ecken besitzt, hat jemals sechs kopunktale Dreiecke, die in der Abbildung aber deutlich zu erkennen sind!

5 Man kann ja auf jedes Oberflächendreieck (Vieleck) wiederum Tetraeder (regelmäßige Pyramiden) aufsetzen, solange keine Selbstdurchdringung erfolgt, wie beim blauen Quadrat des linken Larskörpers ( Abb. Eu4). Eine quadr. Pyramide draufgesetzt, bei vorheriger Entfernung des durchdringenden Tetraeders, passt dagegen gerade noch (gedrehte Aufnahme rechts). Die auf platonischen Körpern aufgesetzten Pyramiden sind bestenfalls nur pseudoregelmäßige Körper, die ich hier als halbregelmäßige und die auf archimedischen Grundkörper aufgesetzten Pyramiden als viertelregelmäßige Sterne bezeichne. Abb. Delta3a: Diese beiden nicht-konvexen Deltaeder haben identische Ecken-, Kanten- und Flächenzahlen: = 2 mit E = 60:2 + 2 Links sind 12 fünfeckige Pyramiden auf einen DODEKAEDER aufgesetzt und rechts 20 Tetraeder auf einen IKOSAEDER aufgesetzt

6 Die Körper voriger Abbildung sind aber keine regelmäßigen Sternkörper, man kann sie aber durch das Herausziehen der Sternspitzen dazu machen (dann müssen aber die aufgesetzten Pyramiden längere Seitenkanten als diejenigen Seiten ihre Basisfläche haben die Seitenflächen sind keine gleichseitigen mehr, sondern gleichschenklige Dreiecke). Setzt man so auf einen Dodekaeder solche fünfseitigen Pyramiden auf, dass diese gerade mit den Verlängerungen der Dodekaederkanten zusammenfallen, dann erhält man einen regelmäßigen Sternkörper, den Keplerstern 2 nämlich. 2 Ordnung/Der_Dodekaederstern/der_dodekaederstern.html

7 Abb. Delta3b: Der Keplerstern erfüllt eigentlich nicht den eulerschen Polyedersatz E-K+F=2 wegen der 30 sich selbst-durchdringenden Kanten (je drei Kanten der Abbildung Delta 3 links ergeben hier eine einzige ungeknickte) 20 Ecken des inneren Dodekaeders +12 Pyramidenspitzen E = 32 frontal auf eine Spitze geschaut zeigt die 5 Diagonalen des Pentagramms, die auch an der Bildung der (anderen) Spitzen beteiligt sind, doppelt gezählt: 12 mal 5 :2 = mal 5 fünfseitige Pyramidenmantelflächen F = 60 Analog kann man die Kanten des Ikosaeders bis zum Schnitt verlängern und hat dann auf den zwanzig Dreiecken 20 Zelte aufgeschlagen auch einen regelmäßigen Stern

8 Die auf einen Ikosaeder aufgesetzten 20 Dreieckspyramiden müssen längere Kanten als der Ikosaeder haben, denn ihre Verlängerungen sollen mit weiteren aber nicht direkt benachbarten Pyramiden zu einem regelmäßigen Fünfeckstern verschmelzen. Durch vollständiges Aushöhlen der 20 Dreiecke eines Ikosaeders bis zum Gravitationszentrum erhält man einen weiteren nicht konvexen regelmäßigen Körper

9 Abb. Delta4a: Unregelmäßige Sterndeltaeder (Bauanleitung siehe folgende Abbildungen) Links 6x4 + 32x3 = 120 Flächen und = 60+2 Ecken Rechts 10x4=40 plus 24x3=72 also 112 Flächen mit = 56+2 Ecken Durch das Aufsetzen von 6 quadratischen und 32 Dreieckspyramiden auf einen archimedischen Körper mit 6x4=24 Ecken erhaltener Sternkörper (E= )

10 Nur durch das Aufsetzen von quadratischen und Dreieckspyramiden auf Johnsonkörper erhältliche Sternkörper: 6-, 8- und 10-Ecke können stets durch Kronen ersetzt werden. Hier wird links die quadratische Kuppel zu einer Krone. Die achteckige Doppelkrone wird durch acht quadratische (oder wie hier) durch 16 dreieckige Pyramiden verlängert Zehneck-, Sechseck- und Fünfeck-Krone

11 Oktaederstern: Das Aufsetzen von Tetraedern auf einen Oktaeder liefert zwei sich selbst durchdringende Tetraeder 3 Durchdringungen von Platonischen Körpern 3 Einen etwas sophistikateren Sternkörper erhält man daraus, wenn man noch den Oktaeder umschreibenden dualen Würfel durch die sechs Oktaederecken einbaut; dann ragen acht rechtwinklige Spitzen in der Mitte zwischen den acht Tetraederspitzen heraus!

12 aus 5 Tetraedern bzw. Oktaedern zusammengesetzte Sternkörper aus zehn Tetraedern zusammengesetzter Sternkörper

13 Weitere Sternkörper oder Sternpolyeder finden sich unter

14 5 sich durchdringende Tetraeder Der durch M. C. Escher so bekannte Rhombendodekaederstern ist beim ewigen Wasserfall die rechte Turmspitzendekoration. (der der anderen sind Würfeldurchdringungen) Schneidet man die 12 Sternpyramidenspitzen ab, dann erhält man die 12 Rauten des Rhombendodekaeders Intriguing Tessellations unter Links

15 Da man jedes regelmäßige Dreieck (etwa beim Tetraeder) durch vier halb so große gleichseitige ersetzen kann, kann man auf dessen mittleres Dreieck einen Tetraeder halb so großer Kantenlängen setzen. Auf den Oktaederstern z.b. angewendet, erhält man einen weiteren Sternkörper. Andere fraktale Körper durch stetige Aushöhlung Diesen Ersetzungsvorgang kann man wiederum mit nochmals halbierten kleinere Dreiecken wiederholen, und dies sogar unendlich oft, was fraktale Sterndeltaeder mit unendlich vielen Sternecken liefert. Man kann aber statt Tetraeder (oder kleinere Würfel beim Würfel) darauf zu setzen, auch solche von innen heraus wegnehmen, und dieses auch ewig wiederholen (-> folgende Schwämme FRAKTALER DIMENSION zwischen 2 und 3)

16 Natürlich gibt es noch viele andere nicht-konvexe Körper wie etwa diese drei Viele Dreieckskörper bastelte George Hart: Hier Dürer s Melancholie

17 DODECADODECAEDER Bücher über Sternkörper: Polyhedron Models von Magnus Wenninger Shapes, spaces and symmetry, Alan Holden; Columbia paperback

18 -> Weiterlesen: Hyperdeltaeder