Mathematik 1 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 03 Differenzialrechnung Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung ii Modul 03 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Winter 003/04 Erstausgabe Winter 004/05 Erweiterung. Fehlerkorrekturen Winter 005/06 Geändertes Layout Winter 006/07 Formel Editor revidiert. Fehlerkorrekturen. Ergänzungen Herbst 007 Ergänzungen. Korrekturen Herbst 009 Erweiterung Herbst 00 Erweiterung Herbst 0 Erweiterung Herbst 03 Fehlerkorrekturen. Grafische Überarbeitung. Kürzung last modified:. Oktober 03 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 405 Basel

3 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung iii Inhalt Steigung... Steigung... 3 Lineare Interpolation... 4 Bilineare Interpolation Beweis? Skizze der Ableitung Ableitung der Sinusfunktion Umkehrung der Ableitung? Umkehrung der Ableitung? Subtiles... 7 Mehrfaches Ableiten. Formel von Leibniz... 7 Zahlendreieck beim Tangens Passende Funktionen gesucht Produktregel für mehrere Faktoren Zusammensetzung von linearen Funktionen Zusammensetzung von linearen Funktionen Zusammensetzung von linearen Funktionen... 8 Zusammensetzungen von zwei linearen Funktionen... 9 Zweimal Sinus Zweimal Kosinus... 4 Der kleine Unterschied... 4 Zusammensetzungen? Zusammensetzung von quadratischen Funktionen Zusammensetzung von quadratischen Funktionen Anzahl Nullstellen Zusammensetzung der Kosinusfunktion... 7 Zusammensetzung von Quadratfunktionen... 8 Nullstellen Zusammensetzung von zwei Funktionen, Kettenregel Spiel mit Exponenten Ableitung Produktregel und Kettenregel Hyperbelfunktionen cosh und sinh Hyperbolischer Tangens Zusammensetzung von drei Funktionen Verallgemeinerte Kettenregel Areafunktionen Artanh x hoch x x hoch x hoch x Ableitung?... 33

4 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung Steigung % Steigung %? Was stimmt an dieser Verkehrstafel nicht? Bearbeitung Die eingezeichnete Rampe hat einen Steigungswinkel von 30 und daher eine Steigung: tan( 30 ) = 57.74% %. 58% Ein Steigungswinkel von 30 führt zu einer Steigung von ca. 58% Umgekehrt führt eine Steigung von % zu einem Steigungswinkel von: arctan ( 0.) % % Steigung, echt Steigungen werden am Schreibtisch und in der Realität ganz unterschiedlich wahrgenommen. Eine Steigung von % sieht am Schreibtisch recht klein aus, für einen Radfahrer mit Gepäck ist das aber schon happig.

5 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung Die offizielle Verkehrstafel enthält eine pictografische Vereinfachung. Steigung Was stimmt hier nicht? Was stimmt hier nicht? Bearbeitung Das mittlere Gefälle ist nur 6.67%. Vielleicht gibt % das maximale Gefälle auf dieser Strecke an. 3 Lineare Interpolation und f ( x ) bekannt. Für [ ] kann dann die Funktion linear interpoliert werden: Von einer Funktion f : x y sind zwei Stützwerte f x 0 ξ x 0, x f ( ξ) f ( x 0 ) + ( ξ x 0 ) f x f x 0 x x 0

6 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 3 4 Bilineare Interpolation Funktionsgraf und lineare Interpolation z. Es seien bekannt. Wir interpolieren an Wir verallgemeinern das auf eine Funktion von zwei Variablen f : x, y vier Stützwerte f ( x 0, y 0 ), f ( x 0, y ), f ( x, y 0 ), f x, y der Stelle ξ,η [ ]. Zunächst ist: Weiter: [ x 0, x ] y 0, y f ( ξ, y 0 ) f ( x 0, y 0 ) + ( ξ x 0 ) f x,y 0 und f ( ξ, y ) f ( x 0, y ) + ( ξ x 0 ) f x,y f ( ξ,η) f ( ξ, y 0 ) + ( η y 0 ) f ξ,y Nun setzen wir die obigen Approximationen ein: f x 0,y 0 x x 0 f x 0,y x x 0 f ξ,y 0 y y 0

7 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 4 f ( ξ,η) f ( ξ, y 0 ) + ( η y 0 ) f ξ,y f ( x 0, y 0 ) + ξ x 0 = f x 0, y 0 + η y 0 f ( ξ,y 0 ) y y 0 f ( x 0,y 0 ) x x 0 f ( x 0,y )+( ξ x 0 ) f ( x,y ) f ( x0,y ) x x0 f ( x 0,y 0 )+ ξ x 0 y y 0 f x,y 0 ξ x 0 η y 0 + f x 0, y f x,y0 f x0,y0 x x0 η y 0 + ξ x 0 η y ( 0 x x 0 y y 0 x x 0 y y 0 ) ξ x 0 η y ( 0 y y 0 x x 0 y y 0 ) + f ( x, y 0 ) ξ x 0 ξ x 0 η y ( 0 x x 0 x x 0 y y 0 ) η y ( 0 x x 0 ) ξ x 0 + f x, y = f ( x 0, y 0 ) + ξ x 0 y y 0 ( f ( x 0, y 0 )) + η y 0 x x 0 f x, y 0 + ξ x 0 x x 0 η y 0 y y 0 f x, y ( f ( x 0, y 0 )) y y 0 f x 0, y ( f ( x, y 0 ) f ( x 0, y ) + f ( x 0, y 0 )) Die Interpolationsfläche ist ein Hyperboloid. Es ist eine gekrümmte Fläche, sie enthält aber zwei Scharen von Geraden. 5 Beweis? Funktionsgraf und bilineare Approximation Es ist (x 4 ) = 4x 3. Wie lässt sich dieser Sachverhalt beweisen? Analog Vorlesung

8 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 5 6 Skizze der Ableitung Skizzieren Sie (ins gleiche Koordinatensystem) die Ableitungsfunktion der durch den Graphen gegebenen Funktion Ableitung? Ableitung der Sinusfunktion Beweisen Sie die Ableitungsformel: Bearbeitung Nach Definition der Ableitung ist: d dt sin( t) = lim Δt Wegen lim cos Δt Δt Funktion und Ableitung sin( t+δt) sin t Δt d dt sin( t) = cos( t) = erhalten wir: sin( t)cos Δt = lim Δt +cos( t)sin( Δt) sin t Δt

9 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 6 d dt sin( t) = lim Δt sin t = lim Δt sin( t+δt) sin t Δt +cos( t)sin Δt Δt Wir haben also noch das Restproblem: = lim sin( t)cos Δt Δt sin( t) = lim cos t Δt lim Δt Dazu betrachten wir folgende Figurenfolge: sin( Δt) =? Δt +cos( t)sin( Δt) sin t Δt sin Δt Δt = cos( t) lim Δt sin( Δt) Δt Δt Δt sin( Δt) Δt sin( Δt) cos( Δt) ineinander geschachtelte Figuren Für die drei Figuren erhalten wir folgende Flächeninhalte: Es gilt der Größenvergleich: Daher ist lim Δt A Roter Sektor = Δt A Grünes Dreieck = sin ( Δt ) A Blauer Sektor = cos ( Δt)Δt A Blauer Sektor < A Grünes Dreieck < A Roter Sektor cos ( Δt)Δt < sin ( Δt ) < Δt cos sin Δt ( Δt) < < Δt lim cos sin( Δt) ( Δt) lim lim Δt Δt Δt Δt = sin( Δt) =.Wir erhalten also: Δt d dt sin( t) = cos( t) 8 Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist jeweils ein Beispiel einer Funktion f x so, dass a) f ( x) = x 4 b) f x = x 4 c) f ( x) = x 4 d) f ( x) = (x 4 ) =

10 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 7 a) f ( x) = 5 x5 + C b) f ( x) = 30 x6 + Cx + D c) f ( x) = 0 x7 + C x + Dx + E d) f ( x) = 30 x6 + C x + Dx + E 9 Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist jeweils ein Beispiel einer Funktion f ( t) so, dass a) f ( t) = sin t a) f t = cos t + C b) f ( t) = sin( t) + Ct + D b) f ( t) = sin( t) c) f ( t) = sin( t) d) f ( t) = sin( t) c) f ( t) = cos( t) + C t + Dt + E d) f ( t) = sin( t) + C t + Dt + E 0 Subtiles = p q f ( p) =? = p q f ( q) =? f p f q = p q f ( p) = q p q = p q f ( q) = ln( p) p q f p f q Mehrfaches Ableiten. Formel von Leibniz f bedeutet die zweite Ableitung von f, also f = ( f ), entsprechend f die dritte Ableitung, f ( 4) die vierte Ableitung, usw.. (Beispiel: f ( x) = x 7, f ( x) = 7x 6, f ( x) = 4x 5, f ( x) = 0x 4, f ( 4) ( x) = 840x 3 ). Wie lautet die entsprechende Produktregel? a) ( fg ) = b) ( fg ) = c) ( fg ) = d) ( fg) ( 4) = e) ( fg) ( 5) = f) Kommentar?

11 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 8 f) ( fg) n n = k n k=0 f ( k) g ( n k) (Formel von Leibniz, verwandt mit binomischer Formel) Zahlendreieck beim Tangens Was geschieht, wenn wir die Tangensfunktion mehrfach ableiten? Bearbeitung Wir verwenden die Ableitungsformel: Damit erhalten wir: d dt tan( t) = + tan ( t) d 0 tan( t) = tan( t) dt 0 d tan( t) = + dt tan ( t) d tan( t) = tan( t) + dt tan3 ( t) d 3 tan( t) = + 8 dt 3 tan ( t) + 6 tan 4 ( t) d 4 dt 4 tan t = 6 tan ( t ) + 40 tan3 ( t) + 4 tan 5 ( t) d 5 tan( t) = dt 5 tan ( t) + 40 tan 4 ( t) + 0 tan 6 ( t) d 6 = 7 tan ( t ) + 3 tan3 ( t) tan 5 ( t) + 70 tan 7 ( t) tan t dt 6 Aus Systemgründen wurde oben noch die nullte Ableitung, also die Funktion selber, eingefügt. Wir interessieren uns um das Koeffizientendreieck. Es sei a ij der Koeffizient von tan j ( t) in der i-ten Ableitung di. Für diese Koeffizienten erhalten wir die Tabelle: dt i tan t i \ j In der letzten Schrägzeile erkennen wir die Fakultäten.

12 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 9 Mit den Startwerten a 00 = 0, a 0 = und a i, = 0 für alle i gilt die Rekursion: a ij = ( j )a i, j + ( j + )a i, j+ Dies wird aus dem Ableitprozedere induktiv ersichtlich. Die Zahlen wachsen sehr rasch. i\j Passende Funktionen gesucht a) Gesucht ist ein Beispiel einer Funktion f x b) Gesucht sind sind zwei verschiedene Funktionen f x c) Gesucht sind zwei verschiedene Funktionen f x so, dass f ( x) = f x. so, dass f ( x) = f x so, dass f ( x) = f x. d) Gesucht sind drei verschiedene Funktionen f ( x) so, dass f ( 4) ( x) = f ( x). a) f x. = ae x, f ( x) = 0 (langweilige Funktion, die in allen diesen Beispielen geht) b) f ( x) = ae x, f ( x) = be x, f ( x) = 0 c) f ( x) = acos( x), f ( x) = bsin( x), f ( x) = 0 d) f ( x) = a cos( x), f ( x) = bsin( x), f ( x) = ce x, f ( x) = de x, f ( x) = 0 4 Produktregel für mehrere Faktoren Es ist ( fg ) = f g + f g. Gesucht ist eine entsprechende Formel für a) ( fgh ) b) ( fghi ) c) ( f 4 ) = ( ffff ) d) ( fgh ) a) ( fgh ) = f gh + f g h + fg h b) ( fghi ) = f ghi + f g hi + fg h i + fgh i c) ( f 4 ) = ( ffff ) = 4 f 3 f (Produktregel oder Kettenregel)

13 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 0 d) ( fgh ) = f gh + f g h + fg h + f g h + f g h + f g h 5 Zusammensetzung von linearen Funktionen Es sei f x a) g = f f b) h = f f f = x. Was ist dann: c) Welches sind die Nullstellen von f, g, h? Bearbeitung Aus f x = x ergibt sich: = x = x f x g = f f = x h = f f f = x = x 3 Nullstellen: f hat die Nullstelle, g hat die Nullstelle, h hat die Nullstelle 3. 6 Zusammensetzung von linearen Funktionen Es sei f x a) f [ ] = f f = x. Was ist dann: b) f [ 3] = f f f c) Allgemein? Bearbeitung Aus f x = x ergibt sich: = x f x f [ ] x f [ 3] x = f f ( x) = 4x 3 = f f f ( x) = 8x 7 f [ n] ( x) = n x n Die Figur zeigt die Funktionsgraphen von f, f [ ], f [ 3].

14 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung Die drei Geraden Es fällt auf, dass die drei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. 7 Zusammensetzung von linearen Funktionen Es sei f x a) f [ ] = f f = ax + b. Was ist dann: b) f [ 3] = f f f c) Allgemein? d) Wie groß wird die Ableitung? Bearbeitung Aus f x = ax + b ergibt sich: = ax + b f x f [ ] x f [ 3] x = f f ( x) = a( ax + b) + b = a x + ab + b = f f f ( x) = a ( ax + b) + ab + b = a 3 x + a b + ab + b Die Figur zeigt die Situation für a = 3, b = Die drei Geraden Es fällt auf, dass die drei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

15 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung Allgemein gilt bei n-facher Zusammensetzung von f: f [ n] x = f f f ( x) = an x + b + a + + a n n Mal Zur Berechnung der Ableitung gibt es zwei Möglichkeiten. Erster Rechenweg: = a n x + b an Wir leiten die oben berechnete Funktion f [ n] ( x) = a n x + b an a Zweiter Rechenweg: d dx = an ( f [ n] ( x )) = d dx an x + b an a a nach x ab und erhalten: Wir verwenden die Kettenregel. Da die Funktion f ( x) = ax + b linear ist, ergibt sich in jedem Schritt der Kettenregel die Konstante a als Ableitung. Damit erhalten wir: d dx ( f [ n] ( x )) = a a a = an n Mal 8 Zusammensetzungen von zwei linearen Funktionen Es sei Was ist dann: f f f f g g x f f g f g x g f f g x g g f x = = = = = x + = x f x g x Bearbeitung f f f f g g x f f g f g x g f f g x g g f x = ( x) = 4x + 4 = ( x + ) + + = 4x + 4 = ( x + + ) = 4x + 4 = ( x + ) = 4x + 4

16 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 3 9 Zweimal Sinus a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f x überlegen, dann im Computer nachsehen!) b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g x überlegen, dann im Computer nachsehen!) a) = sin t sin t = sin sin( t) ; t π,π ; t π,π [ ]. (Erst [ ]. (Erst y f t = sin t sin t = sin t - - t - b) f ( x) = sin( t)sin( t); t [ π,π] g t = sin sin t y - - t - = sin sin( t) g x ; t π,π [ ]

17 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 4 0 Zweimal Kosinus a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f x überlegen, dann im Computer nachsehen!) b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g x überlegen, dann im Computer nachsehen!) a) = cos t cos t = cos cos( t) ; t π,π ; t π,π [ ]. (Erst [ ]. (Erst y f t = cos t cos t = cos t - - t - b) f ( x) = cos( t)cos( t); t [ π,π] g t = cos cos t y - - t - = cos cos( t) g x ; t π,π [ ] Der kleine Unterschied Skizzieren Sie ins selbe Koordinatensystem: a) y = sin( x) (rot) b) y = sin( x)sin( x) (blau) c) y = sin( sin( x) ) (grün)

18 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung y = sin( x), y = sin( x)sin( x), y = sin( sin( x) ) Zusammensetzungen? Welches ist der größtmögliche Definitionsbereich? Skizzieren oder plotten Sie den Funktionsgrafen. a) f :t cos tan( t) b) g :t tan( cos( t) ) c) h :t cos( t)tan( t) - -3 Bearbeitung a) f :t cos tan( t), t \ π { + kπ, k } b) g :t tan( cos( t) ), t f :t cos( tan( t) )

19 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 6 c) h :t cos( t)tan( t) g :t tan( cos( t) ) Keine Zusammensetzung, sondern ein Produkt von zwei Funktionen. Streng genommen ist der größtmögliche Definitionsbereich: \ π { + kπ, k }. Wegen cos( t)tan( t) = sin t kann der Definitionsbereich gewählt werden. h :t cos( t)tan( t) = sin( t)

20 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 7 3 Zusammensetzung von quadratischen Funktionen Es sei f ( x) = x. Was ist dann: a) g = f f b) h = f f f c) i = f f f f Bearbeitung Mit CAS > restart: f:=x^-; g:=(x^-)^-: g:=expand(g); h:=((x^-)^-)^-: h:=expand(h); i:=(((x^-)^-)^-)^-: i:=expand(i);

21 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 8 Die vier Funktionsgraphen: Die vier Graphen Auffallend sind gemeinsame Schnittpunkte aller vier Graphen. Diese Schnittpunkte haben die Koordinaten: (,), (, ), (, ), (,). Es ist sogar so, dass auch die Graphen aller weiterer Funktionen durch diese vier Punkte gehen. Beweis der Schnittpunkteigenschaft: Durch Nachrechnen zeigt man, dass f ± für alle Iterationen diese Eigenschaft. = und f ( ±) =. Damit gilt aber auch 4 Zusammensetzung von quadratischen Funktionen Es sei f ( x) = x. Was ist dann: a) g = f f b) h = f f f c) i = f f f f

22 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 9 Bearbeitung Aus f ( x) = x ergibt sich: f ( x) = x g( x) = f f = x = f f f = x h x i x = x 4 x + = x 4 x = f f f f = x = x 8 4x 6 + 4x 4 = x 6 8x 4 + 4x + 4x 8 3x 0 + 8x 6 8x 4 Die Figur zeigt die Funktionsgraphen. Funktionsgraphen Auffallend sind gemeinsame Schnittpunkte aller vier Graphen. Diese Schnittpunkte haben die Koordinaten: ( τ,τ ), ( ρ, ρ), ( ρ, ρ), ( τ,τ ), wobei τ = und ρ = (goldener Schnitt) Es ist sogar so, dass auch die Graphen aller weiterer Funktionen durch diese vier Punkte gehen. Beweis der Schnittpunkteigenschaft:

23 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 0 Durch Nachrechnen zeigt man, dass f ±τ für alle Iterationen diese Eigenschaft. 5 Anzahl Nullstellen Es sei f x = x und weiter: = τ und f ( ±ρ) = ρ. Damit gilt aber auch f [ 0] = Id, f [ ] = f, f [ ] = f f, f [ 3] = f f f Wie viele Nullstellen hat die Funktion f [ n]? Bearbeitung f [ 0] = Id, f [ ] = f, f [ ] = f f, f [ 3] = f f f Die Abbildung zeigt die Funktionsgraphen in den respektiven Farben. Funktionsgraphen Die Funktion f n [ ] hat in, ] [ genau n Nullstellen. Beweis: Aus jedem V wird ein W.

24 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 6 Zusammensetzung der Kosinusfunktion Es sei f x = cos( π x) und weiter: f [ 0] = Id, f [ ] = f, f [ ] = f f, f [ 3] = f f f Wie viele Nullstellen hat die Funktion f [ n] im Intervall ],[? Bearbeitung f [ 0] = Id, f [ ] = f, f [ ] = f f, f [ 3] = f f f Die Abbildung zeigt die Funktionsgraphen in den respektiven Farben. Funktionsgraphen Die Funktion f [ n] hat in ],[ genau n Nullstellen. Beweis: Aus jedem Dromedar wird ein Kamel. 7 Zusammensetzung von Quadratfunktionen Es sei f x = x und weiter: f [ 0] = Id, f [ ] = f, f [ ] = f f, f [ 3] = f f f

25 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung Wie viele Nullstellen hat die Funktion f [ n] im Intervall ],[? Bearbeitung f [ 0] = Id, f [ ] = f, f [ ] = f f, f [ 3] = f f f Die Abbildung zeigt die Funktionsgraphen in den respektiven Farben. Funktionsgraphen Die Funktion f [ n] hat in ],[ genau n Nullstellen.

26 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 3 8 Nullstellen Welches sind die Nullstellen von: a) f ( x) = ln( x) b) g x c) h x d) i x ( ) = ln ln( x) ( ( )) = ln ln ln x = ln ln ln ln x a) f x = ln x x 0 = b) g x c) h x d) i x = ln ln( x) x 0 = e ( ) x 0 = e e = ln ln ln( x) ( ( )) x 0 = e ee = ln ln ln ln( x) Die Abbildung zeigt die ersten drei Funktionen ( ) f ( x) = ln( x), g( x) = ln( ln( x) ), h( x) = ln ln ln( x) 9 Zusammensetzung von zwei Funktionen, Kettenregel Es sei: f : x x und g : x sin( x). Gesucht sind: a) ( g f ) b) ( f g) = sin x a) g f ( ) = x cos( x ) b) f g = sin ( x) = sin x cos x

27 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 4 30 Spiel mit Exponenten Gesucht ist je die erste Ableitung: a) f t 4 b) g t = cos( t) a) f t b) g t 3 ( sin( t) ) = 4 cos( t) = 4 cos( t) c) h ( t) = sin t 4 d) k ( t) =6cos 3 t 4 = cos 4 ( t) c) h( t) = cos t 4 d) k t 3 ( sin( t) ) (wie bei a), nur andere Schreibweise) 4t3 ( sin( t4 )) t3 3 Ableitung Welches ist die erste Ableitung von a) f ( x) = ln( x) b) g x c) h x ( ) = ln ln( x) = ln ln ln x a) f ( x) = ln( x) f b) g x c) h x = ln ln( x) ( x) = x g ( x) = = ln ln ln( x) x ln x ( ) h ( x) = ( ) ln ln x ln( x) x 3 Produktregel und Kettenregel Gesucht ist die zweite Ableitung (Zwischenschritte angeben!) = cos cos( t) f t f t = cos cos( t) f t f t = sin cos t ( )( sin( t) ) = sin cos t = cos cos( t) ( sin( t) ) + sin cos t ( )sin( t) ( )cos( t) = cos4 t 4

28 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 5 33 Hyperbelfunktionen Die Funktionen cosh ( cosinus hyperbolicus oder hyperbolischer Kosinus ) und sinh ( sinus hyperbolicus oder hyperbolischer Sinus ) sind wie folgt definiert: cosh( x) = ex +e x und sinh( x) = ex e x a) In der Figur sind die Funktionsgraphen von e x und e x eingetragen. Skizzieren Sie dazu die beiden Funktionsgraphen von cosh( x) und sinh( x) Funktionsgraphen von e x und e x Bemerkung: Der Funktionsgraph von cosh( x) wird als Kettenlinie bezeichnet. b) Gesucht sind die Ableitungen cos h und sin h. Kommentar? -4

29 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 6 a) Die hyperbolischen Funktionen b) cos h = sinh, sin h = cosh cosh und sinh Die Funktionen cosh und sinh sind wie folgt definiert: cosh( x) = ex +e x und sinh( x) = ex e x Gibt es eine zu cos ( x) + sin ( x) = entsprechende Formel mit cosh und sinh? cosh x = ex +e x

30 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 7 35 Hyperbolischer Tangens Es ist tanh( x) = sinh( x) cosh( x). a) Skizze oder Plot des Funktionsgraphen? b) lim tanh( x) =? x =? c) lim tanh x x d) Ableitung von tanh? a) y = tanh x b) lim tanh( x) = x c) lim tanh x x = d) dx d tanh ( x ) = cosh ( x) = tanh ( x) Hyperbolischer Tangens

31 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 8 36 Zusammensetzung von drei Funktionen Es sei: f ( x) = x, g( x) = sin( x) und h( x) = x. Wie viele Zusammensetzungen dieser drei Funktionen gibt es (Beispiele: h g f, g h f, )? Listen Sie die Zusammensetzungen auf und geben Sie einen schönen Definitionsbereich an. Es gibt 3! = 6 Zusammensetzungen, nämlich (Definitionsbereiche exemplarisch): Definitionsbereich (exemplarisch) - π, π 0 + Zusammensetzung h g f = sin( x ) h f g = sin( x) g h f = sin( x ) g f h = sin( x) [ 0, π] f h g = sin( x) 0 + f g h = sin ( x ) In den angegebenen Definitionsbereichen sehen die interessanteren dieser Funktionen wie folgt aus: h g f = sin( x )

32 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung h f g = sin( x) g h f = sin( x ) f g h = sin ( x )

33 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung Verallgemeinerte Kettenregel Es sei: f ( x) = x, g( x) = sin( x) und h( x) = x. Wie viele Zusammensetzungen dieser drei Funktionen gibt es (Beispiele: h g f, g h f, )? Listen Sie die Zusammensetzungen auf und geben Sie die im Definitionsbereich 0, ] ] gültige Ableitung an. Definitionsbereich Zusammensetzung Ableitung ] 0,] h g f = sin( x ) x cos x sin x ] 0,] h f g = sin( x) cos( x) ] 0,] g h f = sin( x) cos( x) ] 0,] g f h = sin( x) cos( x) ] 0,] f h g = sin( x) cos( x) ] 0,] f g h = sin ( x ) sin( x )cos x x

34 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 3 38 Areafunktionen a) arcosh ( area cosinus hyperbolicus ) ist die Umkehrfunktion von cosh. Gesucht ist arcos h ( x). b) Was ist arsin h ( x)? a) arcos h ( x) = b) arsin h ( x) = x +x 39 Artanh artanh ( area tangens hyperbolicus ) ist die Umkehrfunktion von tanh. Gesucht ist artan h ( x). artan h ( x) = x

35 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 3 40 x hoch x Gesucht ist die Ableitung der Funktion y = f ( x) = x x. Bearbeitung Aus y = x x ergibt sich ln y x ( ) = x ln( x). Beidseitiges Ableiten nach x ergibt: dy y dx = ln( x) + x x dy ( + ) = x x ln( x) + dx = y ln x Die Abbildung zeigt rot den Funktionsgrafen von y = f ( x) = x x und blau den Grafen der Ableitung. 0 Funktion und Ableitung Die Ableitung hat die Nullstelle x 0 = e Der Funktionsgraf hat daher sein Minimum bei e,e e ( ,0.69). Bereits Leibniz (646 76) hat diese Funktion und ihre Ableitung bearbeitet. 4 x hoch x hoch x Gesucht ist die Ableitung der Funktion y = f ( x) = x xx. Bemerkung: Diese Funktion ist. so zu lesen: y = f ( x) = x xx

36 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 33 Bearbeitung Aus y = x xx ergibt sich durch zweimaliges Logarithmisieren: y( x) = x xx ln y( x) = x x ln x ( ) = ln x x ln ln y x Beidseitiges Ableiten nach x ergibt: ln y x ( ) y x dy dx = ln x + ln ln x ( ) = x ln( x) + ln ln( x) + x x + dy dx = y( x)ln y x dy dx = xxx x x ln x x ln x ( ) ln( x) + + ln( x) + + ln x ln x x x dy dx = xxx x x ln ( x) + x xx x x ln( x) + x xx x x Die Abbildung zeigt rot den Funktionsgrafen von y = f ( x) = x xx und blau den Grafen der Ableitung. 0 4 Ableitung? Skizzieren Sie die Ableitung von f x Gibt es eine Formel für die Ableitung? Funktion und Ableitung = sin( x), x 0,4π [ ]. Ist die Ableitung stetig?

37 Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung 34 Bearbeitung y x Funktion und Ableitung Die Ableitung ist unstetig bei Vielfachen von π. Eine schöne Formel für die Ableitung gibt es nicht. Es geht zum Beispiel mit Fallunterscheidungen: f für x [ 0,π[ cos x nicht definiert für x = π cos( x) für x ] π,π[ ( x) = nicht definiert für x = π cos( x) für x ] π,3π[ nicht definiert für x = 3π cos( x) für x ] 3π,4π]