Mathematik 1 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Moul 0 Einführung Lernumgebung Teil 2

2 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 ii Inhalt Where is the flaw?... 2 Intervalle... 3 Frage er Grenzen Passenes Smbol Mengen Zahlmengen Zahlmengen Passenes Smbol Passene Funktion gesucht Passene Funktion gesucht...6 Umkehrfunktion Eponentielles Wachstum Zwei Schreibweisen Funktionen Lineare Funktion Quaratische Funktion Nullstellen Der kleine Unterschie... 9 Vereinfachung? Spiel mit Potenzen... 2 Hoch-hoch Hoch-hoch Hoch-hoch Noch höher... 3 Moul 0 für ie Lehrveranstaltung: Mathematik für Naturwissenschaften Winter 2003/04 Erstausgabe Winter 2004/05 Überarbeitung un Erweiterung. Teilweise mit Lösungswegen Winter 2005/06 Fehlerkorrekturen. Geänertes Laout. Erweiterungen Winter 2006/07 Erweiterungen. MathTpe. Unterteilung in 2 Teile. Fehlerkorrekturen Herbst 2007 Geänertes Laout Herbst 2008 Erweiterung Herbst 2009 Fehlerkorrektur last moifie: 2. Oktober 2008 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel

3 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 Where is the flaw? Behauptung: Alle Zahlen sin gleich. Beweis: Wir beginnen mit zwei Zahlen a un b. Dann ist ( a b) 2 = a 2 2ab + b 2 un ( b a) 2 = b 2 2ba + a 2. Da ie beien rechten Seiten gleich sin, sin es auch ie beien linken Seiten, also ist: ( a b) 2 = ( b a) 2 Weglassen er Quarate ergibt: a b = b a Wir bringen a nach links un b nach rechts un erhalten 2a = 2b oer a = b. Kommentar Aus folgt leiglich ( a b) 2 = ( b a) 2 a b = b a 2 Intervalle Sinnvolle Definition für a,b [ ) un a,b [ a,b) = {, a < b}, a,b ( ]. { } ( ] =, a < b

4 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil Frage er Grenzen Was ist (Skizze): a) [, 2] 2 b) ( 3, 4) 2 c) [ 2,0) 2 b) a) c) Frage er Grenzen 4 Passenes Smbol Gesucht ist as passene Smbol (zum Beispiel: { a,b,c}) a { a,b,c}.5 [, 3] [,3] [, 2] [, 3] { a,c} { a,b,c,,e}.5 [,3] [,3) (, 2) [, 3] { a, f } { a,b,c,,e} 3 [, 3] (,3) (, 2) (, 3) f { a,b,c,,e} 2, 3 [, 3] [,3] [, 2] (, 3) { f } { a,b,c,,e} { 2, 3} [, 3] [, 3] (, 2] (, 3)

5 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 3 { }.5 [, 3] [, 3], 2 a a,b,c [ ], 3 [ ] { a,c} { a,b,c,,e}.5 [, 3] [, 3) (, 2) [, 3] { a, f } { a,b,c,,e} 3 [, 3] (, 3) (, 2) (, 3) { } 2, 3 f a,b,c,,e [ ] [, 3 ], 2, 3 [ ], 3 { f } { a,b,c,,e} { 2, 3} [, 3] [, 3] (, 2] (, 3) 5 Mengen Wie viele Elemente enthalten ie folgenen Mengen: a) A = {} b) B = {{}} c) C = {{},{{}}} { { { }}} ) D = {},{{}}, {}, {} a) 0 b) c) 2 ) 3 6 Zahlmengen Gesucht ist as passene Smbol (zum Beispiel: )

6 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil Zahlmengen Gesucht ist as passene Smbol (zum Beispiel: )

7 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil Passenes Smbol Gesucht ist as passene Smbol (zum Beispiel: { a,b,c }) a { a,b,c}.5 [ 3, ] 3 [,3] [, 7] (, 4) { a,h} { a,b,c,,e}.5 [,3] 3 [, 3] (, 4) [, 7] { a,c} { a,b,,e} 5 [, 3] 3 (,3) [, 4] (, 7) [ a,c] { a,b,c,,e} 9 [, 3] [,3) [, 4) [, 7] p { a,b,c,,e} 9 (, 3) (,3] [, 4) (, 7] { }.5 3, [ ] 3 [, 3] [, 7](, 4) { }.5 [, 3] 3 [, 3] (, 4)[, 7] { } 5 [, 3] 3 (, 3) [, 4](, 7) { } 9 [, 3] [, 3) [, 4) [, 7] { } 9 (, 3) (, 3] [, 4) (, 7] a a,b,c { a,h} a,b,c,,e { a,c} a,b,,e [ a,c] a,b,c,,e p a,b,c,,e 9 Passene Funktion gesucht Geben Sie jeweils en Definitionsbereich A un ie Funktionsvorschrift = f Die waagrechte Achse ist ie -Achse. an a) - b) c) - ) -

8 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil e) f) g) h) [ ] a) = 2, A = b) = 2, A =, c) = 2, A = [,] ) Keine Funktion e) =, A = f) =, A = [ 0,] g) =, A = h) Keine Funktion 0 Passene Funktion gesucht Geben Sie jeweils en Definitionsbereich A un ie Funktionsvorschrift = f Die waagrechte Achse ist ie -Achse. an a) -2 b) c) -2 ) -2

9 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil e) -2 f) -2 a) = f= 3 A = b) = f= 3 A =, [ ] c) = f= 2 A = [,] ) = f= A = [,] e) Keine Funktion f) = f= A = Umkehrfunktion Welche Funktionen sin umkehrbar? Falls umkehrbar: Beschreibung un Skizze es Graphen er Umkehrfunktion a) - b) c) - ) e) - f) -

10 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 8 a) Nicht umkehrbar b) A = (,] ; = c) A = (,0] ; = 2 Funktion un Umkehrfunktion = ) Nicht umkehrbar e) Nicht umkehrbar Funktion un Umkehrfunktion f) A = [ 0,] = 2 (Derselbe Graph wie ie Funktion selber) 2 Eponentielles Wachstum a) Eine Population wächst pro Zeiteinheit um 0%. Wie groß ist ie Veroppelungszeit? b) Eine Population nimmt pro Zeiteinheit um 0% ab. Wie groß ist ie Halbierungszeit?

11 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 9 a) = ln( 2) 7.27 ln(.) b) = 6.58 ln 0.5 ln Zwei Schreibweisen Zwei Schreibweisen für ieselbe Funktion: Wie hängen k un p zusammen? a) k( p)=? b) pk =? N()= t N ( 0)e kt N()= t N 0 ( 00 ) t + p a) k( p)= ln + p ( 00 ) b) pk = 00e k 00 4 Funktionen Kann ein Kreis ein Funktionsgraph sein? Welcher Kreisteil kann Funktionsgraph sein? Geben Sie ie azu passene Funktionsvorschrift. Wie viele Lösungen gibt es zu iesem Problem? Offene Aufgabe. Der Kreis kann kein Funktionsgraph sein. Unenlich viele Lösungen. Bsp.: Oberer Halbkreis 5 Lineare Funktion a) Es sei f= + 7. Wie lautet ihre Umkehrfunktion? 3 b) Eine lineare Funktion habe ie Steigung a. Wie groß ist ie Steigung ihrer Umkehrfunktion? c) Eine lineare Funktion f= a + b habe en -Achsenabschnitt b. Wie groß ist er -Achsenabschnitt ihrer Umkehrfunktion?

12 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 0 ) Eine lineare Funktion habe en -Achsenabschnitt b. Wie groß ist er - Achsenabschnitt ihrer Umkehrfunktion? a) f = b) Steigung a c) -Achsenabschnitt = b a (a ist ie Steigung) ) b 6 Quaratische Funktion a) Bestimmen Sie Scheitelpunkt un Smmetrieachse er Parabel = f= b) Bestimmen Sie Scheitelpunkt un Smmetrieachse er Parabel = f= ( 4) 2 3. c) Kommentar? ) Wo ist er Scheitelpunkt er Parabel = f= 2 2 p + q a) Scheitelpunkt (4, 3), Smmetrieachse: = 4 b) Scheitelpunkt (4, 3), Smmetrieachse: = 4 c) Zweimal ieselbe Parabel ) Scheitelpunkt p, p 2 + q 7 Nullstellen a) Welche Nullstellen hat ie Polnomfunktion ritten Graes: f= ( + ) ( + 2) ( + 3) + 2 b) Welche Nullstellen hat ie Polnomfunktion ritten Graes: f= 2 + a) {, 2, 3} b) 2 (nur eine reelle Nullstelle)

13 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 8 Der kleine Unterschie Es sei f= 2 mit em Definitionsbereich A = [ 0,[. Was ist nun a) ( f ( 9) ) b) f [ ] ( 9) c) ( f( s) ) ) f [ ] s a) ( f ( 9) ) = 8 b) f [ ] ( 9)= 3 c) ( f( s) ) = s 2 ) f [ ] ( s)= s falls s 0 9 Vereinfachung? 7 a) 3 b) c 3 a 3 c 2 2 c) 3 2 ) a) 3 = a 7 6 b) c 3 a c) Spiel mit Potenzen 3 = 0 ) 22 3 c 2 2 = c = 92 a) 23 = b) 2 3 = c) 3 2 = ) 32 = e) 3 2 = f) 2 3 = a) 23 = b) 2 3 = 8 c) 3 2 = 3 ) 32 = e) 3 2 = 9 f) 2 3 = 2 Lösungsweg a) 23 = 8 = b) 2 3 = 2 3 = 8 c) 3 2 = 3 = 3 ) 32 = 9 = e) 3 2 = 3 2 = 9 f) 2 3 = 2 = 2

14 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil Hoch-hoch a) = b) c) = = ) ( 2 2 ) 22 = a) = b) c) = = 256 ) ( 2 2 ) 22 = 256 Lösungsweg a) = 2 24 = 2 6 = b) c) = 2 42 = 2 6 = = ( 4 2 ) 2 = 6 2 = 256 ) ( 2 2 ) 22 = 4 4 = Hoch-hoch a) = b) c) = = ) ( 2 2 ) 23 = a) = b) c) = = 4096 ) ( 2 2 ) 23 = Lösungsweg a) = 2 28 = b) c) = 2 43 = = ( 4 2 ) 3 = 6 3 = 4096 ) ( 2 2 ) 23 = 4 8 = 65536

15 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil Hoch-hoch a) 2 2 = b) c) 2 = = ) ( 2 ) 2 = a) 2 2 = 2 b) c) 2 = 2 = 4 ) ( 2 ) 2 = 4 Lösungsweg a) 2 2 = 2 2 = 2 = 2 b) c) 2 = 2 = 2 = 2 = ( 2 2 ) = 4 = 4 ) ( 2 ) 2 = 2 2 = 4 24 Noch höher Wie kann as ohne Klammern geschrieben weren: ( a b ) c = a b c = a b c = a bc = a bc = a bc = ( a b ) c = a bc a b c = a bc a b c = a b c a bc = a bc = a bc a bc a bc = a bc