Mathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli

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1 Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Bernoulli Nicolaus Jacob I Nicolaus Johann I Nicolaus I Nicolaus II Daniel Johann II Johann III Jacob II Modul 104 Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen

2 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen ii Inhalt 1 Funktionsdiskussion Sensibilität der Funktion Kleine Ableitung Große Ableitung Fehlerfortpflanzung Mittelwertsatz für stetige Funktionen Durchschnitt Mittelwertsatz Wer ist stärker? Welches Wachstum ist am stärksten? Beispiel Unbestimmte Grenzwerte Beispiel Verallgemeinerung Beispiel Der Satz von BERNOULLI - de L HÔPITAL Komplee Zahlen Die imaginäre Einheit Rechenregeln Quadratische Gleichungen Der harmlose Fall Der Satz von Vieta Der Fundamentalsatz von Gauß Die komplee Zahlenebene Zusammenfassung Sätze Formeln Wachstum von Funktionen Komplee Zahlen Modul 104 für die Lehrveranstaltung Mathematik 1 für Naturwissenschaften Winter 2002/03 Probeausgabe Winter 2003/04 Fehlerbereinigung und Straffung Winter 2004/05 Änderungen und Kürzungen. Fehlerkorrekturen Winter 2005/06 Fehlerkorrekturen Winter 2006/07 MathType. Geändertes Layout Herbst 2007 Korrekturen Herbst 2010 Kleine grafische Änderung Herbst 2012 Kürzungen und Erweiterungen (komplee Zahlen) Herbst 2013 Kürzungen last modified: 19. September 2013 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel

3 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 1 1 Funktionsdiskussion 1.1 Sensibilität der Funktion Kleine Ableitung y f ' klein y Kleine Ableitung Bei einer Funktion mit kleiner Ableitung f ist Δy im Vergleich zu Δ klein. Die Funktion reagiert nur schwach, eine große Ursache hat nur eine kleine Wirkung. Die Funktion ist wenig sensibel Große Ableitung y f ' groß y Große Ableitung Bei einer Funktion mit großer Ableitung f ist Δy im Vergleich zu Δ groß. Die Funktion reagiert heftig, eine kleine Ursache hat eine große Wirkung. Die Funktion ist sehr sensibel.

4 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen Fehlerfortpflanzung Aus ergibt sich: f ( 0 ) = Δ 0 Δy ( Δ ) Δy f ( 0 )Δ ( ) gibt also an, wie stark sich ein Fehler Δ beim -Wert auf den ent- Der Faktor f 0 sprechenden Fehler Δy beim y-wert auswirkt. 2 Mittelwertsatz für stetige Funktionen 2.1 Durchschnitt Bei einer kleinen Anzahl von Menschen gibt es in der Regel niemanden, der genau die durchschnittliche Körpergröße hat. Wenn wir aber eine bestimmte Strecke mit variabler Geschwindigkeit durchfahren, sind wir mindestens einmal (sogar mindestens zweimal, warum?) die Durchschnittsgeschwindigkeit gefahren. Das liegt daran, dass die Funktion s( t) stetig ist. In einem Weg-Zeit-Diagramm ist die Geschwindigkeit die Steigung des Funktionsgraphen. Da die Geschwindigkeit beim Start und am Ziel Null ist, sieht das so zum Beispiel aus: s Start t 1 t 2 Ziel t Weg-Zeit-Diagramm, s(t) Die Steigung der geradlinigen Verbindung von Start zu Ziel entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit. Diese Durchschnittsgeschwindigkeit wird in den Zeitpunkten t 1 und t 2 auch effektiv gefahren. Bei mehreren Rotlichtern oder beim Fahren mit sehr unregelmäßigem Tempo kann die Durchschnittsgeschwindigkeit sogar viel öfter effek-

5 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 3 tiv gefahren werden. Hingegen ist es nicht möglich, ausschließlich mit der Durchschnittsgeschwindigkeit zu fahren (warum?). 2.2 Mittelwertsatz Bei einer stetigen Funktion f gibt es (mindestens) ein ξ zwischen 1 und 2, so dass: f ( ξ) = f 2 ( ) f Geometrisch bedeutet das, dass es mindestens eine Stelle ξ zwischen 1 und 2 gibt, an der die Tangentensteigung gleich der Sekantensteigung für das Intervall [ 1, 2 ] ist. ( ) y Tangentensteigung Sekantensteigung 1 2 Tangentensteigung und Sekantensteigung Die Tangentensteigung ist f ( ξ ), die Sekantensteigung f ( 2 ) f ( 1 ). 2 1 Natürlich sind auch mehrere passende ξ -Werte möglich. y 1 2 Mehrere passende ξ-werte

6 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 4 3 Wer ist stärker? 3.1 Welches Wachstum ist am stärksten? Für divergieren alle der folgenden Funktionen: Eponentialfunktionen: Potenzfunktionen: Logarithmusfunktionen: e, a n ln( ), log a ( ) Am stärksten wachsen aber die Eponentialfunktionen, dann folgen die Potenzfunktionen und schließlich die Logarithmusfunktionen Beispiel Wir vergleichen die Eponentialfunktion y = 2 mit der Potenzfunktion (quadratische Funktion) y = 2 und der Logarithmusfunktion zur Basis 2, also y = log 2 ( ) y = y = y = log 2 ( ) Offensichtlich wächst für große die Eponentialfunktion y = 2 stärker als die Potenzfunktion y = 2 und diese wächst stärker als die Logarithmusfunktion y = log 2 ( ). y = 2 y = 2 y = log 2 ( ) Vergleich

7 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 5 Allgemein gilt: Eponentialfunktionen: e, a wächst am stärksten Potenzfunktionen: n wächst mittelstark Logarithmusfunktionen: 4 Unbestimmte Grenzwerte 4.1 Beispiel Im Beispiel ln( ), log a ( ) wächst am schwächsten 0 sin haben wir für = 0 die Null über Null -Situation. Aus der Situation im Einheitskreis sin() (im Bogenmaß) 1 Situation im Einheitskreis

8 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 6 wie auch aus der Lage der Graphen für y = sin( ) und y = Graphen für y = sin() und y = vermuten wir, dass für kleine gilt: sin( ) und daher Auch der Graph der Funktion y = sin( ) 0 = 1. sin unterstützt diese Vermutung: Graph der Funktion y = sin( ) Wir können diese Vermutung mit dem Mittelwertsatz beweisen. Der Mittelwertsatz f ( ) = f ( 0 ) + f ( lautet für die Funktionen y = sin( ): ξ ξ zwischen 0 und )( 0 ) sin( ) = sin( 0 ) + cos( ξ )( 0 )

9 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 7 Darin setzen wir nun 0 = 0 und erhalten: 0 = sin 0 cos ξ = (cos( 0 ξ ξ zwischen 0 und )) = cos(0) = Verallgemeinerung Wenn wir zwei Funktionen f und g mit f ( 0 ) = 0 und g( 0 ) = 0 haben, so gilt: 0 ( ) = f g f ( 0 )+ f (ξ 1 ) 0 g 0 ( 0 )+ g (ξ 2 ) 0 ( ) Dabei liegen ξ 1 und ξ 2 beide zwischen 0 und. Damit ergibt sich: Beispiel Was ist ( ) = f g f ( 0 )+ f (ξ 1 ) 0 g 0 ( 0 )+ g (ξ 2 ) f g ( ) = ( ) = ln 1+2 f ( 0 ) g ( 0 ) =? ( ) = f (ξ 1 ) g (ξ 2 ) 0 f ( 0 ) g ( 0 ) Für = 0 ergibt sich wieder die Null über Null -Situation. Auf Grund des Funktionsgraphen für y = ( ) ln 1+2 : Graph von y = ln 1+2 ( )

10 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 8 vermuten wir ln = 2. Nach unserer Verallgemeinerung gilt: 0 2 = 1 ln Wir können die Zahl 2 durch a ersetzen und erhalten: Folgerungen 1 + a 0 Daraus ergibt sich: ( ) 1 0 = ln 1+a = 0 e 1 ln 1+a a 1+a 0 1 = 2 = a = e 0 ln ( 1+a ( ) ) = e a Also: n ( ) n 1+ a n = m= 1 n m 0 ( ) 1 m 1 + am = ea n ( ) n 1+ a n = e a und insbesondere für a =1: e = n ( ) n 1+ 1 n Damit haben wir eine Möglichkeit, die EULERsche Zahl e zu bestimmen.

11 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 9 Leonhard EULER, Zeichnung von Bigna Steiner Numerisch: n ( 1+ 1 n ) n

12 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 10 Die Sache kann allerdings in die Hosen gehen, wenn man zuviel will: n ( 1+ 1 n ) n Rundungsfehler wirken sich schm aus Mein Taschenrechner gibt e = Die Zahl e ist aber eine irrationale Zahl, das heißt, ihre Dezimaldarstellung hat keine Periode, obwohl das der Taschenrechner so suggeriert. Es ist: e =

13 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen Der Satz von BERNOULLI - de L HÔPITAL Für zwei Funktionen f und g mit f ( 0 ) = 0 und g( 0 ) = 0 gilt: 0 ( ) = Dies ist ein Sonderfall des allgemeineren Satzes von BERNOULLI - de l HÔPITAL: f g f ( 0 ) g ( 0 ) Es sei: Dann gilt: ( f ( ) ) = 0 ( oder ± ) ( g( ) ) = 0 ( oder ± ) ( ) = f g ( ) f () g () 0 Statt eines Beweises etwas Familiengeschichte. Johann BERNOULLI gehörte zur berühmten Basler Familie Bernoulli, welche mehrere Mathematiker hervorgebracht hat. Jacob I, Johann I und Nicolaus I lebten und wirkten hauptsächlich in Basel, Nicolaus II, Daniel, Johann II und dessen Söhne Johann III und Jacob II in St. Petersburg. Bernoulli Nicolaus Jacob I Nicolaus Johann I Nicolaus I Nicolaus II Daniel Johann II Johann III Jacob II Familie Bernoulli, ohne Frauen

14 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 12 5 Komplee Zahlen 5.1 Die imaginäre Einheit Die kompleen Zahlen entstanden aus dem Bedürfnis, Wurzeln aus negativen Radikanden zu ziehen ; etwa beim Lösen quadratischer Gleichungen. Definition: = { z z = + iy,, y,i 2 = 1} Die kompleen Zahlen sind also aus zwei reellen Zahlen zusammengesetzt. Dabei heißt der Realteil von z und y der Imaginärteil von z. Schreibweisen: Re( z) und Im( z). Der Imaginärteil ist aber auch eine reelle Zahl. Das i wurde von Euler als Abkürzung für imaginäre Einheit eingeführt. 5.2 Rechenregeln Addition und Subtraktion sind einfach. Beispiele: Allgemein: Auch die Multiplikation ist einfach. Beispiel: Allgemein: ( 3 + 2i) + ( 2 + 5i) = 5 + 7i ( 2 + 8i) ( 3 i) = 5 + 9i ( + iy) + ( u + iv ) = ( + u) + y + v ( + iy) ( u + iv ) = ( u) + y v ( 3 + 2i) ( 2 + 5i) = 6 +15i + 4i +10i 2 ( )i ( )i = 6 +15i + 4i 10 = 4 +19i ( + iy) ( u + iv) = u + iv + iyu + i 2 yv ( ) = u + iv + iyu yv = u yv + i v + yu Für die Division brauchen wir einen Trick mit geeignetem Erweitern. Beispiel: Allgemein: +yi u+vi = +yi u+vi 3+2i 4+3i = 4+3i 3+2i u vi u vi = 4 3i 4 3i = i = i ( u+yv )+i ( v+yu ) = u+yv u 2 +v 2 u 2 +v 2 ( ) v +yu + i ( ) u 2 +v 2

15 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 13 Wir machen die wichtige Feststellung, dass die Resultate bei diesen Rechenoperationen in jedem Fall wieder komplee Zahlen sind. On reste en famille. Das Vorgehen bei der Division gibt Anlass zu folgenden Definitionen: Konjugation: u vi ist die zu u + vi konjugiert komplee Zahl Schreibweise : u vi = u + vi Beim Konjugieren wird beim Imaginärteil das Vorzeichen gewechselt. Betrag oder absoluter Betrag: w = u + iv = u 2 + v 2 ist der Betrag der kompleen Zahl w = u + iv Der offensichtliche Zusammenhang des Betrages mit der Formel von Pythagoras wird in der geometrischen Darstellung in der kompleen Zahlenebene deutlich. 5.3 Quadratische Gleichungen Der harmlose Fall Lösung mit der Formel: = 0 Lösung mit Linearfaktoren: Der Satz von Vieta Eine Gleichung von der Form 2 + b + c = 0 habe die Lösungen 1 und 2. Wegen folgt der Satz von Vieta: 2 + b + c = ( 1 )( 2 ) = 0 In einer quadratischen Gleichung a 2 + b + c = 0 mit a =1 gilt: b = ( ) c = 1 2 Gilt das nun auch, wenn komplee Lösungen auftreten? Beispiel: = 0 Die Diskriminante ist nun negativ: D =16 52 = 36 < 0 Somit ist D = 36 = 6i

16 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 14 Für die Lösungen nach der üblichen Formel erhalten wir: 1 = 4+6i = 2 + 3i und 2 2 = 4 6i = 2 3i 2 Die beiden Lösungen sind konjugiert komple. Tatsächlich gilt: b = ( ) = 4 c = 1 2 =13 Der imaginäre Anteil fällt bei beiden Rechnungen heraus. Wir sehen in diesem Beispiel eine Anwendung des Begriffs der Konjugation: w + w = 2Re( w) ww = w Der Fundamentalsatz von Gauß Eine quadratische Gleichung hat offenbar folgendes Lösungsverhalten: Zwei verschiedene reelle Lösungen Eine reelle Doppellösung (Vielfachheit 2) Zwei konjugiert komplee Lösungen Dabei setzen wir voraus, dass die in der Gleichung vorkommenden Koeffizienten a, b, c selber reell sind. Dies lässt sich verallgemeinern: Eine Gleichung vom Grade n mit reellen Koeffizienten hat insgesamt genau n Lösungen. Diese können reell (mit Vielfachheiten) sein oder paarweise konjugiert komple. Dieser Satz wurde von Gauß in seiner Dissertation bewiesen. Er wird oft als Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet. Ist n ungerade, gibt es also immer mindestens eine reelle Lösung, da die konjugierten Lösungen immer paarweise auftreten.

17 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen Die komplee Zahlenebene Die Idee ist, Real- und Imaginärteil einer kompleen Zahl als -Koordinate beziehungsweise y-koordinate eines kartesischen Koordinatensystems zu interpretieren. So kann jeder kompleen Zahl ein Punkt in der zweidimensionalen kompleen Zahlenebene zugeordnet werden. Dies ist eine natürliche Verallgemeinerung der reellen Zahlengeraden. Die komplee Ebene geht auf Gauß zurück und wird deshalb oft als Gaußsche Ebene bezeichnet. z = 4 + 3i Die komplee Zahlenebene Damit haben wir einen Link zur Geometrie. Die Polarkoordinaten einer kompleen Zahl sind der schon bekannte Betrag der kompleen Zahl sowie das Argument der kompleen Zahl. z z = 4 + 3i = arg(z) Argument und Betrag

18 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 16 Es gelten die Formeln: ( ) = Im z tan arg( z) z = ( ) ( ) Re z ( Re( z) ) 2 + Im( z) ( ) 2 = z z Bei der konkreten Berechnung des Argumentes φ = arg z ( ) ist zu beachten, dass die arctan-funktion auf einer tan-funktion mit eingeschränktem Definitionsbereich basiert.

19 Hans Walser: Modul 104, Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen 17 6 Zusammenfassung 6.1 Sätze Mittelwertsatz: Bei einer stetigen Funktion f gibt es (mindestens) ein ξ zwischen 1 und 2, so dass: f ( ξ) = f 2 ( ) f ( ) Satz von BERNOULLI - de l HÔPITAL: Es sei: Dann gilt: ( f ( ) ) = 0 ( oder ± ) ( g( ) ) = 0 ( oder ± ) ( ) = f g ( ) f () g () Formeln Fehlerfortpflanzung: Δy f ( 0 )Δ Eulersche Zahl e: e = n n ( ) n 1+ a n n ( ) n = e a 6.3 Wachstum von Funktionen Eponentialfunktionen: e, a wächst am stärksten Potenzfunktionen: n wächst mittelstark Logarithmusfunktionen: 6.4 Komplee Zahlen { } = z z = + iy,, y,i 2 = 1 ln( ), log a ( ) wächst am schwächsten u vi ist die zu u + vi konjugiert komplee Zahl, Schreibweise: u vi = u + vi w = u + iv = u 2 + v 2 ist der Betrag der kompleen Zahl w = u + iv