Modul 205 Schnecken und Spiralen!
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1 Modul 205 Schnecken und Spiralen!
2 Radiales Netz 2
3 Radiales Netz Diagonalen 3
4 Radiales Netz 4
5 Radiales Netz 5
6 Radiales Netz 6
7 Radiales Netz 7
8 Radiales Netz 8
9 Archimedische Spirale 9
10 Archimedische Spirale Archimedische Spiralen aus Halbkreisen 10
11 Rundes Quadratnetz 11
12 Rundes Quadratnetz Diagonalen 12
13 Rundes Quadratnetz 13
14 Rundes Quadratnetz 14
15 Rundes Quadratnetz 15
16 Rundes Quadratnetz 16
17 Rundes Quadratnetz 17
18 Logarithmische Spirale 18
19 Zeichnen einer logarithmischen Spirale 19
20 Zeichnen einer logarithmischen Spirale Startpunkt 20
21 Zeichnen einer logarithmischen Spirale Winkel z. B
22 Zeichnen einer logarithmischen Spirale Winkel z. B
23 Zeichnen einer logarithmischen Spirale 23
24 Zeichnen einer logarithmischen Spirale 24
25 Zeichnen einer logarithmischen Spirale 25
26 Zeichnen einer logarithmischen Spirale 26
27 Zeichnen einer logarithmischen Spirale 27
28 y Im Quadratraster x
29 y Im Quadratraster x
30 y Im Quadratraster x
31 y Im Quadratraster x
32 y Im Quadratraster x
33 y Im Quadratraster x
34 y Im Quadratraster x
35 y Im Quadratraster x
36 y Im Quadratraster x
37 y Im Quadratraster x
38 Falten aus einem halben Origami Papier 38
39 Eckennummer Radius Polarwinkel ( 2) ( 2) ( 2)
40 Eckennummer Radius Polarwinkel ( 2) ( 2) ( 2)
41 Eckennummer Radius Polarwinkel ( 2) ( 2) ( 2)
42 Eckennummer Radius Polarwinkel ( 2) ( 2) ( 2)
43 Eckennummer Radius Polarwinkel r( φ) = ( 2 ) φ ( 2) ( 2) x = ( 2 ) φ 45 cos( φ) y = 2 ( ) φ 45 sin φ ( ) 7 ( 2)
44 Eckennummer Radius Polarwinkel r( φ) = ( 2 ) φ ( 2) ( 2) x = ( 2 ) φ 45 cos( φ) y = 2 ( ) φ 45 sin φ ( ) 7 ( 2)
45 y Im Quadratraster x
46 y Im Quadratraster x -4-8 Drehstrecksymmetrie mit Transparentfolien einsehbar 46
47 Crash Kurs Komplexe Zahlen
48 Crash Kurs Die imaginäre Einheit i i 2 = 1 Komplexe Zahlen
49 Die imaginäre Einheit i = { z z = x + iy, x, y, i 2 = 1} = Menge der komplexen Zahlen 49
50 Die imaginäre Einheit i = { z z = x + iy, x, y, i 2 = 1} Leonhard Euler,
51 Die imaginäre Einheit i = { z z = x + iy, x, y, i 2 = 1} x = Re z y = Im z ( ) Realteil von z ( ) Imaginärteil von z ( ) = π Re π 1 2 i Im( π 1 2 i ) = 1 2 Der Imaginärteil ist eine reelle Zahl 51
52 How to compute i wie eine Variable behandeln i 2 = 1 setzen 52
53 How to compute ( 3 + 2i) + ( 2 + 5i) = 5 + 7i ( 2 + 8i) ( 3 i) = 5 + 9i ( x + iy) + ( u + iv) = ( x + u) + y + v ( x + iy) ( u + iv) = ( x u) + y v ( )i ( )i 53
54 How to compute ( 3 + 2i) ( 2 + 5i) = 6 +15i + 4i +10i 2 = 6 +15i + 4i 10 = 4 +19i ( x + iy) ( u + iv) = xu + ixv + iyu + i 2 yv ( ) = xu + ixv + iyu yv = xu yv + i xv + yu 54
55 How to compute ( 3 + 2i) ( 2 + 5i) = 6 +15i + 4i +10i 2 = 6 +15i + 4i 10 = 4 +19i ( x + iy) ( u + iv) = xu + ixv + iyu + i 2 yv ( ) = xu + ixv + iyu yv = xu yv + i xv + yu 55
56 How to compute ( 3 + 2i) ( 2 + 5i) = 6 +15i + 4i +10i 2 = 6 +15i + 4i 10 = 4 +19i ( x + iy) ( u + iv) = xu + ixv + iyu + i 2 yv ( ) = xu + ixv + iyu yv = xu yv + i xv + yu 56
57 Die Geometrie der Sache Carl Friedrich Gauß
58 z = 4 + 3i 58
59 Imaginärteil z = 4 + 3i Realteil 59
60 Imaginärteil z = 4 + 3i Realteil 60
61 Imaginärteil z = 4 + 3i f = arg(z) Realteil 61
62 Argument und Betrag tan arg( z) ( ) ( ) ( ) = Im z Re z z = ( Re( z) ) 2 + ( Im( z) ) 2 62
63 Imaginärteil z = 4 + 3i f = arg(z) Realteil 63
64 Argument und Betrag Polarkoordinaten tan arg( z) ( ) ( ) ( ) = Im z Re z z = ( Re( z) ) 2 + ( Im( z) ) 2 Re z Im z ( ) = z cos( φ) ( ) = z sin( φ) 64
65 Komplexe Zahlen n z n = ( 1 + i) n z n arg( z n ) Potenzen z n = ( 1 + i) n i 2 π 4 2 2i 2 π i ( 2) 3 3π π 5 4 4i ( 2) 5 5π 4 6 8i 8 3π i ( 2) 7 7π π 65
66 Komplexe Zahlen n z n = ( 1 + i) n z n arg( z n ) Potenzen z n = ( 1 + i) n i 2 π 4 2 2i 2 π i ( 2) 3 3π π 5 4 4i ( 2) 5 5π 4 6 8i 8 3π i ( 2) 7 7π π 66
67 Komplexe Zahlen n z n = ( 1 + i) n z n arg( z n ) Potenzen z n = ( 1 + i) n i 2 π 4 2 2i 2 π i ( 2) 3 3π π 5 4 4i ( 2) 5 5π 4 6 8i 8 3π i ( 2) 7 7π π 67
68 Komplexe Zahlen n z n = ( 1 + i) n z n arg( z n ) Potenzen z n = ( 1 + i) n i 2 π 4 2 2i 2 π i ( 2) 3 3π π 5 4 4i ( 2) 5 5π 4 6 8i 8 3π i ( 2) 7 7π π 68
69 Komplexe Zahlen n z n = ( 1 + i) n z n arg( z n ) Potenzen z n = ( 1 + i) n i 2 π 4 2 2i 2 π i ( 2) 3 3π π 5 4 4i ( 2) 5 5π 4 6 8i 8 3π i ( 2) 7 7π π 69
70 Komplexe Zahlen n z n = ( 1 + i) n z n arg( z n ) Potenzen z n = ( 1 + i) n i 2 π 4 2 2i 2 π i ( 2) 3 3π π 5 4 4i ( 2) 5 5π 4 6 8i 8 3π i ( 2) 7 7π π 70
71 Gaußsche Zahlenebene y x
72 Gaußsche Zahlenebene y x
73 Gaußsche Zahlenebene y x
74 Gaußsche Zahlenebene y x
75 Gaußsche Zahlenebene y x
76 Gaußsche Zahlenebene y x
77 Gaußsche Zahlenebene y x
78 Gaußsche Zahlenebene y x
79 Gaußsche Zahlenebene y x
80 Gaußsche Zahlenebene y x
81 Gaußsche Zahlenebene y x
82 Jacob Bernoulli, Grabplatte 82
83 Jacob Bernoulli, Archimedische Spirale 83
84 Kirche Bad Säckingen, Bodenplatte 84
85 Archimedische Spirale: r( φ) = aφ + b y 3 r x r, φ als kartesische Koordinaten r, φ als Polar- Koordinaten 85
86 Logarithmische Spirale: r( φ) = e aφ+b y 5 4 r x r, φ als kartesische Koordinaten r, φ als Polar- Koordinaten 86
87 Hyperbolische Spirale: r( φ) = 1 aφ+b y r x r, φ als kartesische Koordinaten r, φ als Polar- Koordinaten 87
88 Baslerstab (Bischofsstab): r( φ) = 1 aφ+b y 2 r x r, φ als kartesische Koordinaten r, φ als Polar- Koordinaten 88
89 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π
90 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π
91 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π
92 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π
93 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π
94 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π
95 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π Wie geht es weiter? 95
96 Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation der Kreiszahl π 96
97 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s Δs = s tan( Δφ) = 1 wenn s groß, dann Δφ klein tan Δφ Δs s Δφ dφ ds Δφ Δs 1 s ( ) Δφ 97
98 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s Δs = s tan( Δφ) = 1 wenn s groß, dann Δφ klein tan Δφ Δs s Δφ dφ ds Δφ Δs 1 s ( ) Δφ 98
99 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s Δs = s tan( Δφ) = 1 wenn s groß, dann Δφ klein tan Δφ Δs s Δφ dφ ds Δφ Δs 1 s ( ) Δφ 99
100 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s Δs = s tan( Δφ) = 1 wenn s groß, dann Δφ klein tan Δφ Δs s Δφ dφ ds Δφ Δs 1 s ( ) Δφ 100
101 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s Δs = s tan( Δφ) = 1 wenn s groß, dann Δφ klein tan Δφ Δs s Δφ dφ ds Δφ Δs 1 s ( ) Δφ 101
102 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s Δs = s tan( Δφ) = 1 wenn s groß, dann Δφ klein tan Δφ Δs s Δφ dφ ds Δφ Δs 1 s ( ) Δφ 102
103 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 103
104 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 104
105 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 105
106 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 106
107 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 107
108 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 108
109 Janz weit draußen s + 1 Δs = 1 Δφ s dφ ds 1 s Integration: φ s ( ) = dφ ds ds 1s ds = 2 s + C 1 s = 1 2 φ + C 2 Wegen r s ( ) = s r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) 109
110 Janz weit draußen r( φ) = 1 2 φ + C 2 (archimedische Spirale) Nach einem Umlauf wächst r um p 110
111 Früh krümmt sich, was ein Häkchen werden will. 111
112 Früh krümmt sich, was ein Häkchen werden will. Gleichmäßige Krümmung 112
113 Die Klothoide Wachsende Krümmung: Klothoide 113
114 Die Klothoide Wachsende Krümmung: Klothoide 114
115 Die Klothoide Wachsende Krümmung: Klothoide Kurvenlineal 115
116 Spiralen im Raum: Schraubenlinien x t ( ) = r cos(t) r sin(t) pt 116
117 Sonderfall x t ( ) = cos(t) sin(t) t 117
118 Demo eingerollte Folie Schraubenlinie auf Zylinder und Abwicklung 118
119 x t ( ) = r cos(t) r sin(t) pt r = 1, p = 1 12, t [ 0,12π ] 119
120 120
121 121
122 122
123 123
124 Spiralnudel 124
125 x u,v ( ) = ( ) ( ) u cos v usin v v u [ 5,10], v [ 0,2π] Wendelfläche 125
126 Doppelgängige Wendelfläche 126
127 Hyperbolische Spirale: r *( φ) = 1 aφ+b r fest h variabel h = p φ h* fest r* variabel 127
128 Hyperbolische Spirale: r *( φ) = 1 aφ+b r fest r* h* = r h h variabel h = p φ r* = rh* h = rh* pφ = 1 p rh* φ h* fest r* variabel 128
129 Hyperbolische Spirale: r *( φ) = 1 aφ+b r fest r* h* = r h h variabel h = p φ r* = rh* h = rh* pφ = 1 p rh* φ h* fest r* variabel 129
130 Hyperbolische Spirale: r *( φ) = 1 aφ+b r fest r* h* = r h h variabel h = p φ r* = rh* h = rh* pφ = 1 p rh* φ h* fest r* variabel 130
131 Hyperbolische Spirale: r *( φ) = 1 aφ+b r fest r* h* = r h h variabel h = p φ r* = rh* h = rh* pφ = 1 p rh* φ h* fest r* variabel 131
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