36. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

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1 36. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Wir wollen in allgemeiner Weise Konstruktionen mit Zirkel und Lineal untersuchen. Erlaubte Konstruktionen sind das Schneiden von Geraden und/oder Kreisen, das Verbinden von Punkten durch eine Gerade, und das Zeichnen eines Kreises auf die folgende Art und Weise: Einstechen mit dem Zirkel in einem Punkt, Öffnen bis zu einem weiteren Punkt, und Ziehen des Kreises. Folgende Konstruktionen lassen sich auf die obigen zurückführen und sind daher mit Zirkel und Lineal durchführbar: Parallelverschieben einer Geraden durch einen Punkt; Das Fällen der Normalen aus einem Punkt auf eine Gerade; und das Übertragen von Streckenlängen von einer Geraden auf eine andere. Zum Beweis siehe die Figuren unten. Wir verwenden zur Beschreibung der Punkte der euklidischen Ebene ein kartesisches Koordinatensystem und schreiben sie in der Form P = (p 0, p 1 ). Gerade sind durch ihre linearen Gleichungen (1) g : ax + by + c = 0 bestimmt. Ist K ein Unterkörper von R (z.b. K = Q), so nennen wir Punkte mit Koordinaten aus K K- Punkte. Eine Gerade ist eine K-Gerade, wenn sie eine Gleichung mit Koeffizienten in K hat. Z.B. ist x + = 0 eine Q-Gerade, denn diese Gerade wird äquivalenterweise durch die Gleichung 1 x+1 = 0 beschrieben. Satz 1. Konstruktionen mit dem Lineal alleine erzeugen aus K-Punkten und K-Geraden wieder K- Punkte und K-Gerade. Beweis. Das Verbinden von zwei Punkten sowie das Schneiden von Geraden geschieht rechnerisch mit Hilfe der 4 Grundrechnungsarten. Ein K-Kreis ist bestimmt durch einen K-Punkt als Mittelpunkt und einen K-Punkt auf seinem Umfang. Damit ist sein Radiusquadrat aus K, und er besitzt die folgende Gleichung mit Koeffizienten aus K: () (3) (x m 1 ) + (y m ) = r r = (p 1 m 1 ) + (p m ). Für einen Körper K und ein p K, dessen Wurzel nicht in K liegt, betrachten wir die Menge (4) K( p) = {a + b p a, b K}. Ein Beispiel ist Q( ). K( p) ist ein Körper, denn Summe, Produkt, Differenz und Kehrwert von solchen Zahlen sind wieder in der Menge K( p) enthalten: (a + b p) ± (a + b p) = (a ± b ) + (a ± b ) p (a + b p)(a + b p) = (aa + bb p) + (ab + ba ) p 1 a + b p = a b p (a + b p)(a b p) = a b p a bp. Dabei wurde a b p 0 verwendet, was aus a/b p folgt. Satz. K( p) ein zweidimensionaler Vektorraum über dem Körper K mit Basis {1, p}. Beweis. Offenbar ist {1, p} ein Erzeugendensystem. {1, p} ist linear unabhängig, denn a+b p = 0 hieße bei b 0, daß p = a/b K. Also ist b = 0, und daher a = 0. Satz 3. Das Schneiden einer K-Geraden mit einem K-Kreis liefert K-Punkte oder L-Punkte mit L = K( p) für ein p K. Dasselbe gilt für das Schneiden von Kreisen. Beweis. Schneiden einer K-Geraden mit einem K- Kreis führt auf das Lösen eines Gleichungssystems der Form (5) (6) ax + by = c (x m 1 ) + (y m ) = r mit Koeffizienten aus K. Wir drücken eine der Variablen x und y durch die andere aus, setzen in (6) ein, und lösen die entstehende quadratische Gleichung. Die dabei vorkommende Wurzel ist entweder in K oder in einem Körper L = K( q). Das Schneiden von zwei Kreisen führt auf das Lösen von quadratischen Gleichungen in Variablen: (7) (8) (x m 1 ) + (y m ) = r (x m 1) + (y m ) = r Wir können die Gleichungen (7) und (8) durch (7) und (7) (8) ersetzen, wobei in der Differenzgleichung die quadratischen Glieder wegfallen. Damit ist der Fall von Kreisen äquivalent zum Fall einer Geraden und eines Kreises.

2 37. Konstruktionen nicht mit Zirkel und Lineal I Die Dreiteilung des Winkels Eine Konstruktion zur Dreiteilung eines Winkels, welche für alle Winkel oder für solche in einem gewissen Intervall funktioniert, ist anders als die Halbierung von Winkeln mit Zirkel und Linear nicht möglich (Wantzel, M. L. Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. J. Math. pures appliq. 1, , 1836). Es gibt jedoch außer diesen beiden noch weitere Zeichengeräte, und wir wollen hier dieses berühmte, in der Antike ungelöste Problem zum Anlaß nehmen, eines davon, das Einschiebelineal, vorzustellen. Dessen Funktion wird aus der folgenden Konstruktionsbeschreibung deutlich: Gegeben sind zwei Gerade g, h mit Schnittpunkt M und zwei Punkten B g, C h im Abstand r vom Punkt M, sodaß der zu teilende Winkel α = BMC ist. Wir beschränken uns auf spitze Winkel α. Nun ziehe man den Kreis mit Mitte M durch B und C und schiebe ein Lineal, auf dem die Strecke r markiert ist, so durch C, daß die Endpunkte D, E der markierten Strecke auf dem Kreis und der Geraden g zu liegen kommen. Dann ist BEC = α/3. Diese Lösung mit Hilfe eines markierten anstelle eines unmarkierten Lineals stammt von Archimedes und zeigt, wie durch eine kleine Änderung der zulässigen Hilfsmittel ein vorher unlösbares Problem einen sehr einfachen Zugang gestattet. Beweis. Zum Beweis bemerken wir, daß die Dreiecke M ED und CM D gleichschenkelig sind. Bezeichnen wir den Winkel BEC mit β. Dann ist EM D = β und M DE = π β. Also ist MDC = β, MCD = β, und wegen der Winkelsumme im Dreieck ist DMC = π 4β. Nun ist α = π (π 4β) β = 3β.

3 38. Konstruktionen nicht mit Zirkel und Lineal II Als weitere Konstruktionsmöglichkeit nicht mit Zirkel und Lineal wollen wir den Schnitt von Geraden mit einer gezeichneten Kurve verwenden. dies soll wieder am Beispiel der Dreiteilung eines Winkels erfolgen. Tauschen bei der Ellipsenbewegung der feste und rollende Kreis ihre Rollen, so entsteht die umgekehrte Ellipsenbewegung (oder Oldhambewegung), bei der ein Kreis k um einen halb so großen Kreis k 0 rollt. Dabei wandert der Mittelpunkt des Gangkreises auf dem Rastkreis und jeder Durchmesser d des Gangkreises gleitet durch einen festen Punkt D 0 des Rastkreises. Zur Bestimmung der Bahn eines mit dem Gangkreis fest verbundenen Punktes A verbinden wir diesen durch den Durchmesser d mit der Mitte M des Gangkreises: Dann entsteht die Bahn von A auch als Konchoide des Rastkreises k 0 : Dabei gleitet die Gerade d durch den festen Punkt D 0 auf k 0, während ein auf d fester Punkt M auf dem Kreis k 0 wandert. Der auf d feste Punkt A hat dann immer denselben Abstand von M. Wir wählen jetzt den Punkt A so, dass sein Abstand von M gleich der Radius des Kreises k 0 ist. Aus der Figur erkennen wir folgende Konstruktion: (vgl. auch die Internetseite

4 39. Konstruktionen nicht mit Zirkel und Lineal III Spiralen Eine Spirale kann man etwa so definieren, dass bei einer Darstellung in Polarkoordinaten (r, φ) der r eine streng monotone Funktion von φ ist. Für zwei spezielle Wahlen ergeben sich bekannte Kurven: r = e pφ (logarithmische Spirale) Diese Spirale tritt bei Wachstumsprozessen (Schnecken) auf. Der Koordinatenursprung O heißt Spiralzentrum. Eine logarithmische Spirale geht durch unendlich viele Drehstreckungen als ganzes in sich über, nämlich durch jeder Drehstreckung um O die einen Punkt der Spirale in einen anderen Punkt der Spirale überführt. r = aφ (archimedische Spirale) Diese wollen wir für eine Konstruktion nicht mit Zirkel und Lineal verwenden. Die Quadratur des Kreises Mit Zirkel und Lineal genauso unmöglich ist die Aufgabe, für einen gegebenen Kreis mit Zirkel und Lineal ein Quadrat von gleichem Flächeninhalt oder eine Strecke zu konstruieren, deren Länge mit dem Kreisumfang übereinstimmt (F. Lindemann: Über die Zahl π. Mathematische Annalen 0 (188), 13 5). Wenn wir die Maßeinheit in der Zeichenebene gleich dem Kreisradius wählen, so ist die Kreisfläche gleich π und die Seitenlänge des gesuchten Quadrates gleich π. Ein Zeichengerät, mit dessen Hilfe die Quadratur des Kreises möglich wird, ist ein auf dem gegebenen Kreis abrollendes Lineal. Während des Rollvorganges beschreibt der Endpunkt eine Kreisevolvente oder archimedische Spirale. Der Radialabstand zwischen zwei Spiralzügen ist gleich dem Kreisumfang, also gleich π. Nachdem das Dividieren durch und das Ziehen der Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal durchführbar ist, ist mit diesem zusätzlichen Zeichengerät die Quadratur des Kreises möglich.

5 40. Näherungskonstruktion mit Papierfalten Eine weitere Möglichkeit zur Konstruktion nicht mit Zirkel und Lineal ist das Papierfalten. Wir wollen hier exemplarisch die Konstruktion regelmäßiger n- Ecke behandeln. Regelmäßiges Fünfeck: Das regelmäßige 5-Eck ist zwar mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Es kann aber auch aus einem Papierstreifen mit parallelen Kanten gefaltet werden, indem man einen Knoten gemäß untenstehender Figur macht. Begründung für diese Konstruktion ist die Tatsache, dass jede Diagonale parallel zur gegenüberliegenden Seite ist und der Abstand dieser Parallelen für alle möglichen Paare gleich ist. Gleichseitiges Dreieck: Wir legen einen Papierstreifen mit parallelen Kanten vor uns hin, und falten ihn längs der Kante O 1 U 1 nach unten und legen ihn dann wieder ausgebreitet hin. Im nächsten Schritt falten wir den Streifen nach oben, sodass die untere Kante mit der Falte O 1 U 1 zur Deckung kommt. Dadurch entsteht die Falte O U 1. Danach breiten wir den Streifen wieder aus. Im nächsten Schritt falten wir den Streifen nach unten, sodass die obere Kante mit der Falte O U 1 zur Deckung kommt. Dadurch entsteht die Falte O U. Danach breiten wir den Streifen wieder aus. Nun setzen wir diese Schritte in analoger Weise fort und falten den Streifen immer einmal nach oben und einmal nach unten. Nach einigen Schritten wird die Falte O k U k mit den Rändern des Papierstreifens einen Winkel einschließen, der sich von 60 o nur sehr wenig unterscheidet, und O k U k O k+1 nähert daher ein gleichseitiges Dreieck sehr gut an. Begründung: Die erste Falte schließt mit dem Rand des Papierstreifens (den beliebig gewählten) Winkel (π/3) + ε ein. Die zweite Falte entspricht der Konstruktion der Winkelsymmetralen des Winkels bestimmt durch den unteren Rand und die Falte O 1 U 1. Aus der Figur erkenne wir, dasß O U mit der unteren Kante einen Winkel von (π/3) + (ε/) und die Falte O k U k einen Winkel von (π/3) + (ε/ k ) einschließt. Damit konvergiert der Winkel von O n U n mit dem unteren Rand für n gegen π/3. Regelmäßiges 7-Eck: In analoger Weise können wir näherungsweise eine Falte O k U k bestimmen, die mit dem Rand einen Winkel π/7 einschließt und damit näherungsweise ein regelmäßiges 7-Eck falten. Dazu muss man jeweils einmal nach oben und zweimal nach unten falten. Ein regelmäßiges 7-Eck ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Ohne Beweis sei erwähnt, das nur jene regelmäßigen p-ecke mit Primzahl p mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, für die p = F k = k + 1 und n = F k ist eine Primzahl F k heißt Fermatzahl und die einzigen bekannten F k, die Primzahlen sind, sind für k=0,1,,3,4 die Zahlen p=3, 5, 17, 57, Weitere Literatur, durch welche Faltungen regelmäßige n-ecke konstruiert werden können und den mathematischen Hintergrund dazu, findet man etwa in: Hilton,P. und Pedersen, J.: Build your own polyhedra. Addison Welsey, Menio Park, California, Hilton,P. und Pedersen, J.: Aprocimating Any Regular Polygon by Folding Paper: An Interplay of Geometry, Analysis and Number Theory.Mathematics Magazine 56 (1983),

6 41. Komplexe Zahlen Wir fassen die kartesischen Koordinaten x, y eines Punktes zu einer komplexen Zahl z = x + iy zusammen, wobei für die komplexe Einheit i gilt i = 1. Die zugehörigen Polarkoordinaten seien r, φ. Dann gelten folgende Zusammenhänge: z = x + iy = r(cos φ + isinφ) = re iφ Die komplexe Zahl r = z, φ = argz z = x iy heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl. Jede komplexe Zahl beschreibt einen Punkt einen Vektor eine Abbildung Aus dem Zusammenhang ist jeweils klar, wie die komplexe Zahl zu interpretieren ist. Die Abbildung z z mit z = z + a beschreibt eine Schiebung mit Schiebvektor a. Die Abbildung z mit z = z a beschreibt eine Drehstreckung mit Zentrum O, 1 a, Faktor a und Winkel arga. Speziell beschreibt z = z eine Punktspiegelung an O z = z eine Geradenspiegelung an der rellen Achse z = iz eine positive Viertelschwenkung. Eine Drehstreckung mit Zentrum m wird beschrieben durch z m = (z m)a Wir wollen dies nun anwenden um folgenden Satz zu beweisen. Satz 1. Gegeben sie ein Streckenzug ACB. Verschwenkt man die Strecke AC um 90 o gegen Uhrzeigersinn, sodass C auf D abgebildet wird, und die Strecke BC um 90 o im Uhrzeigersinn, sodass C auf E abgebildet wird, so ist MA = MB und MA MB. Beweis: MA = a a + b a b i b a MB = b a + b b a i a b i b a i b a Es gilt daher MA i = MB also MA = MB und MA MB = =

7 4. Arbelos - Schustermesser Arbelos: Geben sei eine Strecke AB, ein Punkt C im inneren der Strecke sowie die drei Halbkreise k bzw. k 1 bzw. k über den Durchmessern AB bzw. AC bzw. CB in einer Halbebene von AB Dann nennen wir den von den drei Kreisbögen berandeten Bereich Arbelos bzw. Schustermesser. Die Normale in C auf AB schneide den Halbkreis k in H. Satz 1. Nach den obigen Bezeichnungen gilt für den Kreis l über dem Durchmesser CH: l schneidet k 1 und k orthogonal Der Arbelos und der Kreis l besitzen den gleichen Flächeninhalt. Beweis. r bzw. r 1 bzw. r bezeichne den Radius von k bzw. k 1 bzw. k. M bzw. M 1 bzw. M bezeichne den Mittelpunkt von k bzw. k 1 bzw. k. Weiters seien F bzw. G die Berührpunkte der gemeinsamen Tangente von k 1 und k. Dann gilt r = r 1 + r. Nach dem Höhensatz im Dreieck AHB folgt: HC = 4r 1 r Aus dem Hilfsdreieck M 1 M E erkennen wir F G = (r 1 + r ) (r 1 r ) = 4r 1 r Also gilt: HC = F G Sei D = [CH] [F G]. Da D auf der Potenzgeraden und der gemeinsamen Tangente von k 1 und k liegt gilt: DF = DG = DC ( und wegen HC = F G) = DH Daher liegen F, C, G, H auf einem Kreis l mit Mittelpunkt D und Radius r 1 r. Die Fläche des Arbelos berechnet sich zu (R r 1 r ) π = ((r 1 + r ) r 1 r ) π = r 1r π und stimmt daher mit der Fläche des Kreise l überein. Archimedische Zwillingskreise: Satz. Die Kreise l 1 bzw. l die dem Arbelos so eingeschrieben sind, dass sie k die Sehne CH und k 1 bzw. k berühren haben denselben Radius r 1 r /(r 1 + r ). Beweis. Wir wählen die Bezeichnungen gemäß der Figur und berechnen die Strecke N 1 L 1 auf zwei verschiedene Arten mit dem Pythagoreischen Lehrsatz aus den rechtwinkeligen Dreiecken N 1 L 1 M 1 bzw. N 1 L 1 M (r 1 +s 1 ) (r 1 s 1 ) = (r 1 +r s 1 ) (r 1 r s 1 ) r 1 s 1 + r 1 s 1 = 4r 1 r 4r s 1 und daraus s 1 = r 1 r /(r 1 + r ) Durch analoge Rechnung für N L erhalten wir auch für l den Radius r 1 r /(r 1 + r ). Für weitere Sätze zum Arbelos vgl. Dodge, C. W.; Schoch, T.; Woo, P. Y.; and Yiu, P. Those Ubiquitous Archimedean Circles.Mathematics Magazine 7, 0-13, und

8 43. Elementare Graphentheorie Ein endlicher (ungerichteter) Graph ist ein Paar (V, E), bestehend aus einer endlichen Menge V = (v 1, v,... ) von Ecken und einer Folge E von Kanten jede Kante ist ein ungeordnetes Paar von Ecken. Man visualisiert Graphen gerne so, daß man die Ecken als Punkte in der Ebene und die Kanten als deren Verbindungsstrecken oder allgemeiner als Verbindungskurven realisiert. Es gibt eine Reihe geometrisch-kombinatorischer Probleme, die sich in der Sprache der Graphentheorie einfach formulieren lassen. Ein historischer Ausgangspunkt der Graphentheorie war die Frage Leonhard Eulers ( ), ob es möglich wäre, einen Rundgang über die 7 damaligen Brücken über die Pregel in Königsberg zu machen, sodaß dabei jede Brücke genau einmal betreten wird (siehe Figur unten). Die genaue Form der beiden Inseln und Flußarme ist dabei irrelevant die 4 Landteile sind die Ecken v 1,..., v 4 und die die 7 Brücken (v 1, v ), (v 1, v ), (v, v 3 ), (v, v 3 ), (v 1, v 4 ), (v, v 4 ), (v 3, v 4 ) sind die Kanten eines Graphen. Ein solcher Euler-Weg, also ein geschlossener Kantenzug im Graphen, der alle Kanten genau einmal erreicht, existiert hier nicht, wie Euler 1736 gezeigt hat. Man bezeichnet die Anzahl der Kanten, an denen eine Ecke beteiligt, als Ordnung der Ecke. Eine Kante der Form (v i, v i ), die von einer Ecke wieder zu ihr zurückführt (eine Schlinge), ist dabei doppelt zu zählen. Man nennt einen Graphen zusammenhängen, wenn es zu je Knoten v und w eine Folge von Kanten der Form (v = v 1, v ), (v, v 3 ),... (v k 1, v k = w) gibt. Mit Hilfe dieser Begriffe formulieren wir den Satz 1. Ein Euler-Weg existiert in einem zusammenhängenden Graphen genau dann, wenn alle Ecken gerade Ordnung haben. Beweis. Durchläuft man einen Euler-Weg, so kommt man entlang einer Kante zu einer Ecke, und verläßt sie entlang einer anderen daß die Anzahl der Kanten pro Ecke zu diesem Zwecke gerade sein muß, ist klar. Um auch die Umkehrung (also die Existenz eines Eulerweges bei gerader Ordnung) zu zeigen, überlegen wir uns zuerst, daß für alle Graphen mit 1 Knoten die Aussage richtig ist. Das ist klar, weil solche Graphen nur aus Schlingen bestehen können (siehe Figur). Der Rest folgt mit Induktion nach der Anzahl der Knoten: Wir haben einen Graphen mit k Knoten und nehmen an, daß die Aussagen für alle Graphen mit weniger als k Knoten bereits gezeigt ist. Wählen wir eine Ecke v i mit zwei oder mehr Kanten aus, können wir aus dem gegebenen Graphen einen neuen Graphen mit weniger Knoten machen (siehe Figur). Möglicherweise zerfällt bei dieser Operation der Graph in zwei oder mehrere Teile. Gibt es in jedem der Teile einen Eulerweg, so kann man daraus einen Eulerweg im ursprünglichen Graphen machen, und umgekehrt liefert ein Eulerweg im Ausgangsgraphen Eulerwege in jedem der Teile. Die Prozedur in dem Beweis kann auch dazu benutzt werden, um rekursiv einen Eulerweg zu konstruieren. Eine andere elementare Frage ist z.b. die nach der Planarität eines Graphen, d.h. ob man ihn überkreuzungsfrei in der Ebene zeichnen kann. Die Graphen K 5 und K 3,3 (s.u.) sind nicht planar, und allgemein gilt, daß ein Graph genau dann planar ist, wenn er keinen der beiden enthält.

9 44. Das Jones-Polynom eines Knotens Hier sollen Eigenschaften und Berechnung einer bekannten Invariante der Knotentheorie vorgezeigt werden auf Beweise wird verzichtet. Unter einem Knoten versteht man eine glatte und injektive Abbildung einer bzw. mehrerer Kreislinien in den R 3 ; eine Verkettung ist ein Knoten, der mit einem Durchlaufsinn versehen ist. Man nennt zwei Verkettungen äquivalent, wenn sie sich durch steige Deformation des R 3 ineinander überführen lassen. Die Knotentheorie versucht, das Problem der Äquivalenz bzw. Nichtäquivalenz von Verkettungen zu lösen. Für Beispiele (Unknoten, linkshändiges und rechtshändiges Kleeblatt, Borromäische Ringe) siehe Bild 1 (v.l.n.r). Man stellt Verkettungen mit Hilfe von geschlossenen Kurve in der Ebene dar, wobei man bei Kreuzungspunkten anzeigt, welcher Zweig der Kurve oben und welcher unten zu liegen kommt. Durch ein solches Knotendiagramm ist eine Verkettung natürlich nicht eindeutig bestimmt alle möglichen Verkettungen im Raum, die zu dem Bild passen, sind aber zueinander äquivalent. Bei Deformation eines Knotens bzw. einer Verkettung in eine andere, so werden im Diagramm Kreuzungspunkte entstehen, andere sich verschieben, wieder andere sich auflösen. Man kann sich überlegen, daß zwei Verkettungen genau dann äquivalent sind, wenn man die entsprechenden Diagramme mit Hilfe der drei Reidemeister-Bewegungen (Bild ) ineinander überführen kann (Bild 3). Es ist schwierig, Nichtäquivalenz von Verkettungen zu zeigen daß man zwei Diagramme nicht ineinander überführen kann, kann neben Nichtäquivalenz der Knoten auch Ungeschicktheit als Ursache haben. Im folgenden zeigen wir die Konstruktion des Jones- Polynoms einer Verkettung (V.F.R. Jones: A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras, Bull. Am. Math. Soc. 1 (1985), ). Ist das Jones-Polynom zweier Verkettungen verschieden, so sind diese nicht äquivalent. Es gibt aber nichtäquivalente Knoten mit demselben Jones- Polynom. Das Jones-Polynom J(a, z) ist ein Polynom in den Variablen a, a 1, z, z 1 und ist rekursiv definiert über die Formeln a 1 J( ) aj( ) = zj( ), J(0) = 1. Dabei bedeuten die Symbole in den Klammern drei verschiedene Verkettungen, die dadurch entstehen, daß sie außerhalb der durch Pfeile angedeuten Stelle übereinstimmen; sowie die Definition daß der Unknoten das Jones-Polynom 1 besitzt. Unten (Bilder 4ff) sind Beispiele für die Berechnung des Jones- Polynoms angegeben, u.a. wird die Nichtäquivalenz des linken und rechten Kleeblatts demonstriert.

10 45. Konfokale Kegelschnitte Der Satz von Ivory Wir gehen aus von den wohlbekannten Relationen (1) cos t + sin t = 1, cosh t sinh t = 1. Die Kurven mit Parameterdarstellung () x(t) = a cos t, y(t) = b sin t x(t) = a cosh t, y(t) = b sinh t erfüllen daher die Gleichungen (3) x a + y b = 1, x a y b = 1. Es handelt sich dabei um Ellipsen und halbe Hyperbeln (wegen cosh t > 0) mit den Halbachsen a und b. Nun betrachten wir die Kurven die Kurvenscharen u = const und v = const zu (4) x(u, v) = c cos u cosh v, y(u, v) = c sin u sinh v. Bei v = const 0 ist das eine Ellipse mit Halbachsen a = c cosh v, b = c sinh v. Bei u = const 0 ist das eine halbe Hyperbel mit Halbachsen a = c cos u und b = c sin u. Wir fassen die Koordinaten (x, y) zu einem Vektor x zusammen. Nun betrachten wir gekrümmte Viereck, dessen Seiten aus Bögen der obigen Ellipsen und Hyperbeln bestehen, und dessen Ecken die Punkte (5) x(u 0, v 0 ), x(u 0, v 1 ), x(u 1, v 1 ), x(u 1, v 0 ) sind. Die geradlinigen Diagonalen in diesem Viereck sind gleich lang (nachrechnen!). Dies ist der sogenannte Satz von Ivory 1. (6) x(u 0, v 0 )x(u 1, v 1 ) = x(u 0, v 1 )x(u 1, v 0 ) Wir bestimmen die Brennpunkte einer Ellipse v =const.: Sind a, b die Halbachsenlängen, so ist die Exzentrizität e (Entfernung der Brennpunkte vom Mittelpunkt) gegeben durch e = a b. Es ergibt sich (7) e = c cosh v c sinh v = c. Man erkennt, daß alle beteiligten Ellipsen dieselben Brennpunkte F 1 = ( c, 0), F = (c, 0) besitzen. Eine ähnliche Überlegung zeigt, daß die Punkte F 1, F auch Brennpunkte aller beteiligten Hyperbeln sind: Hier ist e = a + b : e = c cos u + c sin u = c. Aus diesem Grund nennt man die Ellipsen und Hyperbeln, die als Kurven v =const. und als Kurven u =const. in Gl. (4) enstehen, eine Schar von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln. N.B.: Zum Zeichnen von Ellipsen und Hyperbeln ist es vorteilhaft, über die Scheitelkrümmungskreise Bescheid zu wissen (siehe Figur). 1 pp. 353, 355 aus: James Ivory: On the Attractions of Homogeneous Ellipsoids, Philos. Trans. of the Royal Society of London 1809,