Mathematik 1 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 02 Funktionen, Folgen, Grenzwerte Lernumgebung Teil 2

2 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte. Lernumgebung, Teil 2 ii Modul 02 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Winter 2003/04 Erstausgabe Winter 2004/05 Erweiterung Winter 2005/06 Geändertes Layout. Fehlerkorrekturen Winter 2006/07 Erweiterungen. MathType (selektiv). Unterteilung in 2 Teile Herbst 2007 Geändertes Layout Herbst 2008 Erweiterung Herbst 2009 Erweiterung Herbst 200 Erweiterung Herbst 20 Fehlerkorrektur Herbst 203 Erweiterung Herbst 204 Erweiterung last modified: 7. November 203 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel

3 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte. Lernumgebung, Teil 2 iii Inhalt Limes... 2 Folgen und Grenzwerte... 3 Rekursive Folge... 4 Rekursive Folge Grenzwert Die Fibonacci-Folge Rekursiv definierte Folge Rekursiv definierte Folge Rekursiv definierte Folge Blutdrucksenkendes Mittel... 6 Gekoppelte Rekursionsformel Eine rekursiv definierte Folge... 3 Eine rekursiv definierte Folge Rekursion Summenzeichen Summenzeichen Wäschetrockner (arithmetische Folge) Summe der ungeraden Zahlen Grenzwert Überleben mit Käse Geometrische Reihe Geometrische Reihe Algebra Made Difficult Reihe Grenzwerte einer Funktion Grenzwerte einer Funktion Grenzwerte einer Funktion Grenzwerte einer Funktion Stetigkeit Stetigkeit Stetigkeit Stetigkeit Stetige Funktionen... 28

4 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 Limes Es sei a n = 3n 2n 5 ( ) = lim. Berechnen Sie die ersten fünf Folgenglieder. Wie groß ist ( )? Von welcher Folgennummer an sind sämtliche Folgenglie- a = lim a 3n n 2n 5 der weniger als 0.00 vom Grenzwert entfernt? n a n a = lim ( a n ) = lim n n ( 2n 5) = Folgen und Grenzwerte a) a n = ( n+)3 n 3 + b) b n = 7 7n+7n2 7n 3 3n 3 +3n 2 +3n+3 ( ) = lim a n ( ) = lim b n c) c n = n 3 +2n 2 +3n+4 lim ( ( n+) c 2 n ) = ( n+) 2 d) d n = n 3 +3n 2 +3n+ ( ) = lim d n a) a n = ( n+)3 n 3 + b) b n = 7 7n+7n 2 7n 3 3n 3 +3n 2 +3n+3 lim a n ( ) = lim b n ( ) = 7 3 c) c n = n3 +2n 2 +3n+4 lim ( ( n+) c 2 n ) existiert nicht, Divergenz ( n+) 2 d) d n = n 3 +3n 2 +3n+ 3 Rekursive Folge lim d n ( ) = 0 Die Folge a n hat den Startwert a = und die Rekursionsformel a n = 3 a n 3. Bestimmen Sie die ersten vier Folgenglieder und den Grenzwert.

5 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 2 n a n lim a n = 9 4 n 4 Rekursive Folge a) Die Folge a n hat den Startwert a = 7 und die Rekursionsformel a n = 5 a n 2. Bestimmen Sie die ersten vier Folgenglieder und den Grenzwert. b) Die Folge a n hat den Startwert a = 7 und die Rekursionsformel a n = 2 a n 5. Bestimmen Sie die ersten vier Folgenglieder und den Grenzwert. a) n a n

6 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 3 lim ( a n ) = 5 3 b) n a n lim ( a n ) = Grenzwert lim 3 ( n n! ) = Bearbeitung Die Folge a n = 3n n! hat die Rekursion: Der Faktor 3 n a n = a n 3 n strebt gegen Null. Daher ist lim 3 ( n n! ) = 0.

7 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 4 Excel: n a_n Die Fibonacci-Folge a) Die Folge a n hat die beiden Startwerte a = und a 2 = und die Rekursionsformel a n+ 2 = a n + + a n. Bestimmen Sie die ersten zwölf Folgenglieder und, sofern vorhanden, den Grenzwert. Bemerkung: Diese Folge heißt Fibonacci-Folge. b) Die Folge b n sei durch b n = a n+ a n definiert. Bestimmen Sie die ersten zwölf Folgenglieder. Vermutung? (Ein Beweis der Vermutung wird nicht verlangt.) a) n a n Kein Limes, die Fibonacci-Folge divergiert. b) n a n b n

8 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 5 lim b n ( ) = (Goldener Schnitt) 7 Rekursiv definierte Folge a) Die Folge a n hat zwei Startwerte a und a 2, welche Sie selber wählen, und die Rekursionsformel a n+ 2 = a n + + a n. Bestimmen Sie die ersten zwölf Folgenglieder und, sofern vorhanden, den Grenzwert. b) Die Folge b n sei durch b n = a n+ a n definiert. Bestimmen Sie die ersten zwölf Folgenglieder. Vermutung? (Ein Beweis der Vermutung wird nicht verlangt.) a) offene Aufgabe b) lim ( b n ) = lim ( ) = a n+ a n (Goldener Schnitt) 8 Rekursiv definierte Folge a) Die Folge a n hat die beiden Startwerte a = und a 2 = und die Rekursionsformel a n+ 2 = a n + a n. Bestimmen Sie die ersten zwölf Folgenglieder und, sofern vorhanden, den Grenzwert. b) Die Folge a n hat zwei Startwerte a und a 2, welche Sie selber wählen, und die Rekursionsformel a n+ 2 = a n + a n. Bestimmen Sie die ersten zwölf Folgenglieder und, sofern vorhanden, den Grenzwert. c) Ist es möglich, geeignete Startwerte zu finden, so dass die Folge einen Grenzwert hat? a),, 0, -, -, 0,,, 0, -, -, 0,... (Periodische Folge mit der Periodenlänge 6, kein Limes) b) a,a 2,( a 2 a ), a, a 2, ( a 2 a ),a,a 2,( a 2 a ), a, a 2, ( a 2 a ),... (Periodische Folge mit der Periodenlänge 6, im Allgemeinen kein Limes) c) a = a 2 = 0 ; Limes = 0.

9 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Rekursiv definierte Folge a) Die Folge a n hat die beiden Startwerte a = 49 und a 2 =33 und die Rekursionsformel a n+ 2 = a n+ a n. Bestimmen Sie die ersten zwanzig Folgenglieder und, sofern vorhanden, den Grenzwert. b) Die Folge a n hat zwei Startwerte a und a 2, welche Sie selber wählen, und die Rekursionsformel a n+ 2 = a n+ a n. Bestimmen Sie die ersten zwanzig Folgenglieder und, sofern vorhanden, den Grenzwert. c) Kommentar? a) n a n Kein Grenzwert. Periodisches Verhalten mit der Periodenlänge 3. Die Zahl 7 ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen 49 und 33. b) Kein Grenzwert. Periodisches Verhalten mit der Periodenlänge 3. Die Periode hat die Form ggt( a,a 2 ),ggt( a,a 2 ),0 c) Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, verwandt mit dem Euklidischen Algorithmus, aber weniger schnell als dieser. 0 Blutdrucksenkendes Mittel Jemand nimmt täglich eine Pille eines blutdrucksenkenden Mittels, das 6 mg Wirkstoff enthält. Von dem im Körper vorhandenen Wirkstoff baut der Körper täglich 75% ab. Wie verändert sich die Menge des im Körper vorhandenen Wirkstoffs? Zeigen Sie, dass diese Menge sich stabilisiert. Bearbeitung Wir bezeichnen mit w n den am n-ten Tag im Körper vorhandenen Wirkstoff. Es ist: w 0 = 0 w = 6 w 2 = = 7.5 w 3 = = w 4 = = Wir haben eine Folge mit dem Startwert w 0 = 0 und der Rekursionsformel:

10 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 7 w n = w n Begründung der Rekursionsformel: Zufuhr durch neue Pille plus 25% des Vortages. Mit Excel ergibt sich: Tag Zufuhr Wirkstoff Wirkstoff im Körper Die Menge des Wirkstoffes stabilisiert sich bei 8. Dann wird der tägliche Abbau durch die Neuzufuhr kompensiert. Die folgende Tabelle zeigt, was passiert, wenn am fünften Tag die Einnahme der Pille vergessen wird. Tag Zufuhr Wirkstoff Wirkstoff im Körper

11 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Es gibt einen Rückschlag der Menge des im Körper vorhandenen Wirkstoffes, aber diese Menge stabilisiert sich wieder. Die folgende Tabelle zeigt, was passiert, wenn am fünften Tag aus Versehen zwei Pillen eingenommen werden. Tag Zufuhr Wirkstoff Wirkstoff im Körper

12 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Es gibt eine Überdosis der Menge des im Körper vorhandenen Wirkstoffes, die aber auf das Stabilisationsniveau abgebaut wird. Solche Überdosen können gefährlich sein. Schließlich noch der Fall, dass am fünften Tag zwei Pillen eingenommen werden, dafür am nächsten Tag keine. Tag Zufuhr Wirkstoff Wirkstoff im Körper Gekoppelte Rekursionsformel Frage: Welche beiden Folgen c n und s n ergeben sich aus den Startwerten c 0 = und s 0 = 0 sowie der gekoppelten Rekursionsformel: c n = 99 0 c n 20 0 s n s n = 20 0 c n s n

13 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 0 Bearbeitung ( ) in blau und die Punkte ( n, s n ) in rot eingetra- In der Abbildung sind die Punkte n,c n gen. Visualisierung der beiden Folgen Wir vermuten, dass die Kosinus- und die Sinusfunktionen hinter den beiden Folgen stecken. Das kann wie folgt eingesehen werden. Wir definieren: Es ist also cos( Δt) = 99 Δt = arccos 99 0 Mit dieser Bezeichnung gilt: 0. Wegen 99 ( ) ( ) 2 + ( 20 ) 2 = ist dann sin Δt 0 c n = cos nδt 0 ( ) und s n = sin( nδt) Beweis induktiv: Zunächst ist c 0 = = cos( 0) und s 0 = 0 = sin( 0). Es sei nun: c n = cos ( n )Δt Aus der Rekursion folgt: ( ) und s n = sin( ( n )Δt ) ( ) sin Δt (( )Δt) + cos Δt c n = 99 0 c n 20 0 s n = cos( Δt)cos ( n )Δt s n = 20 0 c n s n = sin Δt Mit den Additionstheoremen ergibt sich: ( )cos n ( ) = cos nδt ( ) = sin( nδt) c n = cos Δt + ( n )Δt s n = sin Δt + ( n )Δt ( ) ( ) = ( ) (( )Δt) ( )sin ( n )Δt ( )sin n Verallgemeinerung: Mit f ( 0,) und g = f 2, den Startwerten c 0 = und s 0 = 0 sowie der gekoppelten Rekursionsformel: c n = fc n gs n s n = gc n + fs n

14 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 ergibt sich für Δt = arccos( f ) analog: c n = cos( nδt) und s n = sin( nδt) Wir können die beiden Folgen entflechten. Aus der Rekursionsformel folgt zunächst: c n = fc n 2 gs n 2 s n = gc n 2 + fs n 2 Die erste Zeile liefert: s n 2 = g ( c n fc n 2 ). Damit erhalten wir: c n = fc n gs n = fc n g( gc n 2 + fs n 2 ) = fc n g gc n 2 + f ( g ( c n fc n 2 )) ( ) = 2 fc n g2 + f 2 ( ) c n 2 = 2 fc n c n 2 Das ist eine Rekursionsformel vom verallgemeinerten Fibonacci-Typ. Wir benötigen zwei Startwerte. Mit den beiden Startwerten c 0 = und c = f = cos( Δt) erhalten wir dieselbe Folge wie oben. In der Abbildung sind zusätzlich die Punkte nach dieser neuen Berechnungsart hellblau eingezeichnet. = 2 Eine rekursiv definierte Folge Eine Folge x n soll die Bedingung Kontrollzeichnung erfüllen. x n+2 t dt = t dt x n+ x n+ x n a) Gesucht ist eine Rekursionsformel zur Berechnung von x n+2 aus x n+ und x n. b) Welche Folge ergibt sich mit den Startwerten x 0 = und x = 2? c) Welche Folge ergibt sich mit den Startwerten x 0 = und x = a? d) Welche Folge ergibt sich mit den Startwerten x 0 = 0 und x =? e) Welche Folge ergibt sich mit den Startwerten x 0 = 0 und x = b?

15 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 2 Bearbeitung a) Wir erhalten: x n+2 t dt = t dt x n+ x n+ x n 2 x 2 n+2 2 x 2 n+ = 2 x 2 n+ 2 x n 2 2 x n+2 = 2x n+ x n 2 b) Mit den Startwerten x 0 = und x = 2 ergibt sich x n = 3n +. c) Mit den Startwerten x 0 = und x = a ergibt sich x n = na 2 n +. d) Mit den Startwerten x 0 = 0 und x = ergibt sich x n = n. e) Mit den Startwerten x 0 = 0 und x = a ergibt sich x n = a n. 3 Eine rekursiv definierte Folge Eine Folge x n soll die Bedingung erfüllen. x n+2 t dt = t dt x n+ x n+ x n f) Gesucht ist eine Rekursionsformel zur Berechnung von x n+2 aus x n+ und x n. g) Welche Folge ergibt sich mit den Startwerten x 0 = und x = 2? h) Welche Folge ergibt sich mit den Startwerten x 0 = und x = a? Bearbeitung a) Wir erhalten: x n+2 t dt = t dt x n+ x n+ ln( x n+2 ) ln( x n+ ) = ln( x n+ ) ln( x n ) x n ln( x n+2 ) = 2ln( x n+ ) ln( x n ) = ln x n+ x n+2 = x 2 n+ x n b) Mit den Startwerten x 0 = und x = 2 ergibt sich x n = 2 n. 2 x n

16 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 3 c) Mit den Startwerten x 0 = und x = a ergibt sich x n = a n. 4 Rekursion Wählen Sie einen beliebigen Startwert x 0 und bilden Sie damit die rekursiv definierte Folge: Was ist lim lim ( ) = 0 x n Beispiel x 0 = ( ) =? x n x n+ = sin( x n ) n x[n]

17 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 4 Die Konvergenz ist sehr langsam Summenzeichen Wie kann das ohne Summenzeichen geschrieben werden? 5 a) ( k + 2) x 3k = k=0 4 b) ( 2α ) x α y 4 α = α = 3 ( ) x 3 j c) + j 2 = j=0 8 d) ( i 2) x i y 2i = i=5 4 e) ( ) r r x y r = r= 5 a) ( k + 2) x 3k = 2 + 3x 3 + 4x 6 + 5x 9 + 6x 2 + 7x 5 k=0 4 b) ( 2α ) x α y 4 α = xy 3 + 3x 2 y 2 + 5x 3 y + 7x 4 α = 3 ( ) x 3 j c) + j 2 = + 2x 3 + 5x 6 + 0x 9 j=0 8 d) ( i 2) x i y 2i = 3x 5 y 0 + 4x 6 y 2 + 5x 7 y 4 + 6x 8 y 6 i=5 4 e) ( ) r r x y r = y + 2 x y 2 3 x y x y 4 r= 6 Summenzeichen Wie kann das mit dem Summenzeichen geschrieben werden? a) =

18 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 5 b) = c) = d) = e) + 3x + 5x x 8 = f) y 8 + 3xy 7 + 5x 2 y x 8 = g) y 2 + xy 0 + x 2 y x 6 = 37 a) = k k= 37 b) = k= ( ) k k c) = j = ( j + 6) = 7 + j 37 j=7 3 j= d) = ( 2i ) = 2s + 9 i= s=0 e) + 3x + 5x x 8 = 2m + 8 m= j=0 ( ) ( ) x m ( ) f) y 8 + 3xy 7 + 5x 2 y x 8 = 2m + 8 m=0 g) y 2 + xy 0 + x 2 y x 6 = y 2 2q x q 6 q=0 ( ) x m y 8 m

19 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Wäschetrockner (arithmetische Folge) Stewi Eine Wäschetrocknungsspinne soll neu bespannt werden. Die Spinne besteht aus vier Sektoren mit je neun Wäscheleinen. Die mittlere Leine in einem Sektor ist.70 m lang. Reichen 50 m Leine für die Neubespannung aus? Nein. Die Nettogesamtlänge der Leine ist 6.2 m. Zusätzlich braucht es etwas Leine für die Knoten und den Übergang von einem Rundgang zum nächsten. 8 Summe der ungeraden Zahlen Wie groß ist die Summe der n ersten ungeraden Zahlen? Die Summe ist n 2. Bearbeitung 9 Grenzwert Die Folge: Proof without words

20 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 7 a = 2 a 2 = a 3 = a 4 = Wie geht es weiter? Formulierung in Worten? Formulierung mit einer Formel? Was ist der Grenzwert? Bearbeitung a = 2 = 0.5 a 2 = = 3 7 = a 3 = = 6 5 = 2 5 = 0.4 a 4 = = 0 26 = 5 3 = a 5 = = 5 40 = 3 8 = a 6 = = 2 57 = Zur Berechnung von a n dividieren wir die Summe der ersten n natürlichen Zahlen durch die Summe der zweiten n natürlichen Zahlen. a n = n k= 2n k k=n+ Zähler und Nenner sind je eine Partialsumme einer arithmetischen Folge (der einfachsten, die es gibt). Eine Partialsumme einer arithmetischen Folge berechnen wir, indem wir das arithmetische Mittel des ersten und des letzten Summanden mit der Anzahl der Summanden multiplizieren. In unserem Fall heißt das; k a n = n k= 2n k k=n+ Somit erhalten wir für den Grenzwert: k = ( 2 +n)n ( )n = +n 2 n++2n +3n lim a n = lim +n +3n = 3 Visualisierung Wir stellen Zähler und Nenner grafisch je durch ein Staffelbild dar:

21 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 8 Staffelbilder Die Zähler haben fast drei Mal Platz in den Nennern; wir müssen jeweils unten noch eine Konsole hinzufügen. Der Zähler hat fast drei Mal Platz im Nenner Da die angefügte Konsole relativ zum Gesamtnenner immer kleiner wird, ergibt sich der Grenzwert Überleben mit Käse Zu Beginn einer Hungersnot ist noch ein ganzer Käse vorhanden. Es sei a n die Tagesportion, die am Tag n von diesem Käse gegessen werden darf. Überlebensstrategie : Wir essen jeden Tag einen Drittel dessen, was wir am Vortag gegessen haben. Was ist a n, lim ( a n ), a k? k=

22 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 9 Überlebensstrategie 2: Wir essen jeden Tag einen Drittel des noch vorhandenen Käses. Was ist nun a n, lim ( a n ), a k? Überlebensstrategie a n = ( 3 ) n, lim a n Überlebensstrategie 2 a n = 2 ( 2 3) n, lim k= = 2 ( ) = 0, a k a n k= = ( ) = 0, a k 2 Geometrische Reihe k= a) Der periodische Dezimalbruch x = 0.3 = kann wie folgt umgeformt werden: x = 0.3 = = = 3 k= 0.0 k Stellen Sie nun x als Bruchzahl mit ganzzahligem Zähler und Nenner dar. Bearbeiten Sie entsprechend: b) y = c) z = a) x = 0.3 = 3 99 b) y = = c) z = = Erster Lösungsweg x = 0.3 = = = k = Zweiter Lösungsweg k= 0.0 Die Periode hat die Länge 2. Wir multiplizieren daher mit 0 2 = 00 : = = 3 99

23 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Geometrische Reihe x = x = x x = 3 99x = 3 x = 3 99 Für eine geometrische Folge a n gilt: a = 9 und a) Gesucht sind a 2, a 3 und a 4. a k k= b) Gesucht ist p so, dass a n < 0.00 für alle n > p. = 27. a) Es ist q = 2 3 und weiter: a 2 = 6, a 3 = 4, a 4 = 8 3 b) p = Algebra Made Difficult Problem: Solve x = ax + b for x. Bearbeitung Fallunterscheidung: (i): a < (ii): a > x = ax + b = a( ax + b) + b = a 2 x + ab + b ( ) = a 3 x + a 2 b + ab + b ( ) + b = a 4 x + a 3 b + a 2 b + ab + b = a a 2 x + ab + b = a a 3 x + a 2 b + ab + b = lim an x + b a i = 0 + b i=0 a Wir formen die Gleichung um zu x = a x b a. Es ist a <.

24 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 2 x = a x b a ( ) b a = ( a ) 2 x ( a ) 2 b a b ( a ) 2 x ( a ) 2 b b a b a = ( a ) 3 x ( a ) 3 b ( a ) 2 b a b = a a x b a = a = a = lim (iii) a = ( a ) 3 x a ( ) 3 b ( a ) 2 b a b ( a ) n x b a i= ( ) i b a = a = 0 b a = b a = b a a ( ) 4 x ( a ) 4 b ( a ) 3 b ( a ) 2 b a b (iiia) a =. Falls b = 0, kann jede reelle Zahl für x eingesetzt werden. Falls b 0, gibt es keine Lösung. (iiib) a =. x = b 2. Literatur Propp, James (203). Algebra Made Difficult. MATHEMATICS MAGAZINE, VOL. 86, NO. 3, June Reihe Bearbeitung Abschätzung Die Reihe konvergiert also. k 2 +k k= k 2 +k k= < = k= k 2 Euler π Excel k /(k^2+k) Summe

25 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 22 Wir vermuten: = k 2 +k k= Beweis n k 2 +k k= n = = k( k+) k = k+ 2 k= n k= ( ) = n n+ = =0 Für n erhalten wir: =0 k 2 +k k= 25 Grenzwerte einer Funktion Es sei f ( x) = x. Wie groß sind a) lim x x ( f ( x) ) b) lim ( ( )) e) lim f x x x f x ( ) + ( 2 3) + ( 3 4 ) + + ( n n+) = lim ( ( )) c) lim n+ n+ ( ) = ( ( )) d) lim x 0 f x x ( f ( x) )

26 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 23 y x -2 f ( x) = x x a) - b) - c) 0 d) e) + 26 Grenzwerte einer Funktion f x ( ) = sin( x) ( ( )) = a) lim f x x ( ( )) = b) lim f x x 0 c) lim x ( f ( x) ) = y a) lim f x x ( ( )) existiert nicht ( ( )) = 0 b) lim f x x 0 c) lim f x x ( ( )) existiert nicht f ( x) = sin( x) x

27 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Grenzwerte einer Funktion f ( x) = sin( x) x ( ( )) = a) lim f x x ( ( )) = b) lim f x x 0 ( ( )) = c) lim f x x y x -4 ( ( )) = 0 a) lim f x x ( ( )) = b) lim f x x 0 c) lim x ( f ( x) ) = 0 ( ) = sin x f x ( ) x 28 Grenzwerte einer Funktion f x ( ) ( ) = sin x x 2 ( ( )) = a) lim f x x ( ( )) = b) lim f x x 0 ( ( )) = c) lim f x x

28 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 25 y x -2 ( ( )) = 0 a) lim f x x b) lim x 0 c) lim ( f ( x) ) = + ; lim x ( f ( x) ) = 0 x 0 29 Stetigkeit Ist folgende Funktion stetig: nein ( ) = sin x f x ( ) ( f ( x) ) = ; Grenzwert existiert nicht f ( s) = Fahrpreis der Basler Verkehrsbetriebe für eine Strecke von s Metern x 2 30 Stetigkeit [ ] seien die Funktionen f n ( x) = x n ; n definiert. Sind diese Funkti- Im Intervall 0, onen stetig? [ ] sei nun die Funktion g( x) wie folgt definiert: Im gleichen Intervall 0, g( x) = lim ( f n ( x )). Skizzieren Sie dies Funktion g( x). Ist sie stetig? nein 3 Stetigkeit a) Skizzieren Sie die Funktion:

29 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 26 y = f ( x) = + falls frac x ( ) < 2 falls frac( x) y = f ( x) = b) Wo ist diese Funktion unstetig? + falls frac x ( ) < 2 falls frac( x) 2

30 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil 2 27 a) b) Bei x = k 2, k y = f ( x) = + falls frac x ( ) < 2 falls frac( x) 2 32 Stetigkeit Warum ist < 2 < 2? Begründung Sei f x ( ) = x 2 2. Dann ist f ( ) = und f ( 2) = 2. Wegen der Stetigkeit von f gibt es eine Nullstelle zwischen und 2 (nämlich 2 ). y = x 2-2 y x - -2 Existenz einer Nullstelle

31 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte, Lernumgebung, Teil Stetige Funktionen Sei f ( x) = a n x n + + a 0 ein Polynom ungeraden Grades. Dann hat f x eine Nullstelle. Warum? ( ) mindestens Beweis Wir können annehmen, dass der höchste Koeffizient a n > 0 ist (sonst betrachte man das Polynom f ( x)). Dann gilt lim ( f ( x )) = und lim ( f ( x )) =. Also gibt es Zahlen a und b mit f ( a) < 0 und f ( b) > 0, und aus der Stetigkeit der Funktion folgt die x x Behauptung.