Mathematik für die Sekundarstufe 1

Transkript

1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 204 Bandornamente und Flächenornamente Lernumgebung Teil 1 Bandornamente

2 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 ii Inhalt 1 Bandornamente Skizzieren Sie je ein schönes Ornament Tastatur Autostereogramme Zu welchem Typ von Bandornamenten gehören folgende Graphen Bandornament Sinuskurven Sinuskurven Sinuskurven Sinuskurven Scherenschnitte Bandornamente? Piano Anhang 1: Autostereogramme Modul 204 der Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2007 Probeausgabe Frühjahr 2009 Erweiterung. Unterteilung in 2 Teile Frühjahr 2011 Keine Änderung last modified: 3. Januar 2014 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung Bandornamente Zu welchem Typ von Bandornamenten gehören: a)... b b b b b b b b... b)... b p b p b p b p... c)... b d b d b d b d... d)... b q b q b q b q... e)... b d p q b d p q... f)... b d q p b d q p... Ergebnis a)... b b b b b b b b... F 1 b)... b p b p b p b p... F 7 c)... b d b d b d b d... F 4 d)... b q b q b q b q... F 2 e)... b d p q b d p q... F 6 f)... b d q p b d q p... F 4

4 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung Skizzieren Sie je ein schönes Ornament Nur Translationen, F 1 Punktspiegelungen (Drehungen um 180 ) und Translationen, F 2 Achsenspiegelung horizontal und Translationen, F 3 Achsenspiegelungen vertikal und Translationen, F 4 Punktspiegelungen, Achsenspiegelung horizontal und Translationen, F 5 Punktspiegelungen, Achsenspiegelungen vertikal und Translationen, F 6 Gleitspiegelung und Translationen, F 7

5 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 3 Ergebnis, exemplarisch (Patrick Widmer) Nur Translationen, F 1, Krähe Punktspiegelungen (Drehungen um 180 ) und Translationen, F 2, Schlange Achsenspiegelung horizontal und Translationen, F 3, Herz 1 Achsenspiegelungen vertikal und Translationen, F 4, Engel 1 Punktspiegelungen, Achsenspiegelung horizontal und Translationen, F 5, Herz 2 Punktspiegelungen, Achsenspiegelungen vertikal und Translationen, F 6, Engel 2 Gleitspiegelung und Translationen, F 7, Taube 3 Tastatur Die Tastatur eines Computers hat, von der Beschriftung abgesehen, im Prinzip eine Translationssymmetrie in der horizontalen Richtung. Wenn Sie von oben auf Ihre Tastatur gucken und die Augen etwas fahren lassen (geht besonders gut, wenn Sie müde sind), sehen Sie die Tasten doppelt beschriftet. Warum?

6 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 4 Bearbeitung Die Augen schauen durch die Tastatur hindurch. Sie justieren ihre Blickrichtung aber so, dass der Umriss der Tasten für das linke und das rechte Auge übereinstimmen. Allerdings sieht das linke Auge eine andere Taste als das rechte, daher die doppelte Beschriftung. 4 Autostereogramme Im folgenden Bild haben wir eine Translationssymmetrie in horizontaler Richtung. Versuchen Sie, Ihre Augen so zu bewegen, dass Sie unten drei statt zwei schwarze Punkte sehen. Falls es nicht klappt, verwenden Sie das vergrößerte Bild im Anhang 1 (Querformat nehmen). Autostereogramm Was ist im folgenden Bild anders?

7 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 5 Autostereogramm Wie lässt sich der optische Effekt erklären? Bearbeitung Der Grund für den stereographischen Effekt ist die leichte Störung der Translationssymmetrie bei den beiden roten Kreisen in der Bildmitte. Von oben sieht die Situation zunächst so aus: Was das Hirn zu sehen glaubt Vorlageraster blau: Punkte korrekt im Raster Bild wird ebenfalls korrekt gesehen linkes Auge rechtes Auge Der Raster stimmt Bei zwei Punkten, welche nicht in den Raster passen, ergibt sich:

8 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 6 Was das Hirn zu sehen glaubt Vorlageraster magenta: Punkte gestört im Raster Bild wird vorne gesehen linkes Auge rechtes Auge Bildpunkt scheinbar vorne Wenn die beiden falschen Rasterpunkte enger als die Rasterweite beieinander liegen, erscheint der Punkt vor dem Bild. Wenn sie einen größeren Abstand als die Rasterweite haben, erscheint der Punkt in die Tiefe versetzt. 5 Zu welchem Typ von Bandornamenten gehören folgende Graphen a) y = f x ( ) = sin(2x) b) y = f ( x) = sin(3x)

9 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 7 c) Überlagerung von y = f ( x) = sin(2x) und y = f ( x) = sin(3x) d) y = f ( x) = sin(2x) + sin(3x) Ergebnis a) y = f x ( ) = sin(2x) b) y = f ( x) = sin(3x) F 6 F 6

10 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 8 c) Überlagerung von y = f ( x) = sin(2x) und y = f ( x) = sin(3x) d) y = f ( x) = sin(2x) + sin(3x) F 2 F 2

11 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung Bandornament Zu welcher Klasse der Bandornamente gehört folgendes Beispiel, a) wenn die Farbe berücksichtigt wird b) wenn die Farbe nicht berücksichtigt wird. Ergebnis a) F 7 b) F 6 Ornament 7 Sinuskurven Das folgende Ornament entsteht durch die Sinuskurven: y = ( 1 2 ) a sin( 2 a t) a = 0,1,... Bandornament Zu welcher Klasse der Bandornamente gehört es? Ergebnis Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen)

12 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung Sinuskurven Das folgende Ornament entsteht durch die Sinuskurven: y = ( 1 3) a sin( 3 a t) a = 0,1,... Bandornament Zu welcher Klasse der Bandornamente gehört es? Ergebnis Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, ebenfalls Schubspiegelung) 9 Sinuskurven Das folgende Ornament entsteht durch die Sinuskurven: y = ( 1 2 ) a sin( 2 a t) a = 0,1,... sowie y = ( 1 2 ) a sin( 2 a t) a = 0,1,... Bandornament Zu welcher Klasse der Bandornamente gehört es? Ergebnis Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse, ebenfalls Schubspiegelung)

13 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung Sinuskurven Das folgende Ornament entsteht durch die Sinuskurven: y = ( 1 3) a sin( 3 a t) a = 0,1,... sowie y = ( 1 3) a sin( 3 a t) a = 0,1,... Bandornament Zu welcher Klasse der Bandornamente gehört es? Ergebnis Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse, ebenfalls Schubspiegelung) 11 Scherenschnitte Lässt sich jedes Bandornament als Scherenschnitt herstellen? Bearbeitung Wird eine Papierstreifen mehrfach mit senkrechten Faltlinien gefaltet, in gefaltetem Zustand beschnitten und dann wieder aufgefaltet, entsteht ein Bandornament der Symmetrieklasse F 4 : Der einfachste Scherenschnitt Lässt sich jede Symmetrieklasse der Bandornamente durch einen Scherenschnitt darstellen? Dies ist tatsächlich möglich; das Schwierige dabei ist der Faltvorgang. Soll der Scherenschnitt zum Beispiel nur Translationssymmetrie (Symmetrieklasse F 1 ) enthalten, darf der Streifen weder waagrecht noch senkrecht gefaltet werden, da ansonsten Achsensymmetrien entstehen. Ein waagrecht liegender Streifen kann aber rechtwinklig nach oben abgebogen werden, wodurch eine Faltlinie entsteht, welche in einem Winkel von 45 über den Streifen laufen. Anschließend wird der gefaltete Streifen im Uhrzeigersinn um 90 gedreht und das rechte Ende wieder nach oben abgebogen. Und so weiter. Der Faltvorgang ist periodisch, indem der Anfangsteil nach vier Schritten wieder in die ursprüngliche Richtung zeigt. Wir erhalten schließlich (nach Einbiegen der An-

14 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 12 fangs- und Endteile) ein auf der Spitze stehendes Quadrat. Wenn wir dieses Quadrat an den Seiten zuschneiden, ergibt sich nach dem Auffalten ein Bandornament, das nur Translationssymmetrie enthält. Man wird einwenden, dass dieser Scherenschnitt doch offensichtlich auch achsensymmetrische Figuren enthält. Dies ist richtig, aber diese Symmetrien sind immer nur lokale Symmetrien, welche sich nicht auf das ganze Bandornament ausdehnen lassen. Faltvorgang Bei einem Scherenschnitt, welcher lediglich Translationssymmetrie und Schubspiegelsymmetrie (Symmetrieklasse F 7 ) enthalten soll, ist ein Falten unter Winkeln von 60 erforderlich. Bei dieser Symmetrieklasse ist es uns kein glattrandiger Scherenschnitt gelungen. Die konkreten Bildinhalte werden durch das Schneiden bewerkstelligt; für die Symmetrieklasse sind sie aber belanglos. Die Symmetrieklasse wird durch den Faltvorgang festgelegt. Beispiele zu den sieben Symmetrieklassen Die folgende Abbildung zeigt für jede Symmetrieklasse einen Scherenschnitt. Weitere Möglichkeiten, Bandornamente als Scherenschnitte herzustellen, werden in [Servatius 1997] vorgestellt. Symmetrieklasse F 1 (nur Translationen):

15 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 13 Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen): Symmetrieklasse F 3 (Spiegelung an horizontaler Achse): Symmetrieklasse F 4 (Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse): Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen):

16 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 14 Symmetrieklasse F 7 (Schubspiegelung): Beispiele zu den sieben Symmetrieklassen 12 Bandornamente? Wie entstehen die folgenden Beispiele? Wie geht es weiter? Bearbeitung Erstes Beispiel: y = 2 3 Ornamente ( ) a sin 3 ( ) a t 2, a = 0 Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, ebenfalls Schubspiegelung). Periodenlänge 2π Symmetrieklasse F 6

17 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 15 Zweites Beispiel: y = 2 3 ( ) a sin 3 ( ) a t 2, a = 0,1 Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen). Periodenlänge 4π Drittes Beispiel: Symmetrieklasse F 2 y = 2 3 ( ) a sin 3 ( ) a t 2, a = 0,1,2 Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen). Periodenlänge 8π Offenbar gilt: Für y = 2 3 ( ) a sin 3 ( ) a t 2, Symmetrieklasse F 2 a = 0,..., n ergibt sich ein Bandornament mit der Periodenlänge 2 n 2π. Für n 1 haben wir die Symmetrieklasse F 2. Folgerung: Für n ergibt sich eine aperiodische Figur (kein Ornament).

18 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung Piano Zu welchem Typ von Bandornamenten gehört die Tastatur eines Pianos? Bearbeitung Typ F 4. Translationssymmetrie und senkrechte Symmetrieachsen. Piano

19 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 17 Anhang 1: Autostereogramme Tipp: Querformat

20 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente. Lernumgebung 1 18 Tipp: Querformat