Ausarbeitung eines Themenkreises mit offenen Fragen und geschlossenen Kommentaren. ??????? zuerst die Fragen

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1 Hans Walser Symmetrie und mehr Ausarbeitung eines Themenkreises mit offenen Fragen und geschlossenen Kommentaren.??????? zuerst die Fragen Symmetrie? Eine Figur ist nicht symmetrisch. Welche? Gibt es jeweils weitere Beispiele zur gleichen Symmetrieart?

2 Hans Walser, Symmetrie und mehr 2 blablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablabla

3 Hans Walser, Symmetrie und mehr 3 C 1 A B 2 C 2 B B C 1 A 1 A 2

4 Hans Walser, Symmetrie und mehr 4 Raum und Ebene Welche symmetrische Lagen sind zwischen der linken und der rechten Hand möglich? Welche Symmetrie liegt bei der amerikanischen Klauenkupplung vor? Bleibt eine Rechtsschraube eine Rechtsschraube, wenn sie auf den Kopf gestellt wird?

5 Hans Walser, Symmetrie und mehr 5 Sind die vier Figuren translationssymmetrisch? Bandornamente Wie viele Bandornamente gibt es? Natürlich unendlich viele. Aber: Das erste und das dritte Beispiel haben dasselbe Symmetrieverhalten (Schubspiegelung). Sie gehören zur selben Symmetrieklasse. Neue Frage: Wie viele Symmetrieklassen gibt es bei Bandornamenten? Symmetrieklassen Welches ist das einfachste, das schönste, das komplizierteste Bandornament zu jeder Symmetrieklasse? Symmetrieklasse F 1 (nur Translationen):

6 Hans Walser, Symmetrie und mehr 6 Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen): Symmetrieklasse F 3 (Spiegelung an horizontaler Achse): Symmetrieklasse F 4 (Spiegelungen an vertikalen Achsen):

7 Hans Walser, Symmetrie und mehr 7 Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse): Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 7 (Schubspiegelung):

8 Hans Walser, Symmetrie und mehr 8 Sind das Bandornamente? Wie falten und schneiden? Zu welcher Symmetrieklasse der Bandornamente gehört der Scherenschnitt? Gibt es zu jeder Symmetrieklasse einen passenden Scherenschnitt? Welche Symmetrien hat ein aus drei Strängen geflochtener Zopf?

9 Hans Walser, Symmetrie und mehr 9!!!!!!!!!! dann der Kommentar Symmetrie Narziss sieht sein Spiegelbild im Wasser. Die Spiegelsymmetrie ist die bekannteste Symmetrieart. In unserer Alltagswelt ist der Spiegel eine Ebene (Ebenensymmetrie im Raum), in zweidimensionalen Bildern ist der Spiegel aber nur noch eine Gerade (Achsensymmetrie in der ebenen Geometrie). Symmetrie bedeutet allgemeiner das Vorhandensein einer gleichmäßigen Entsprechung. Dazu gehören die Opfersymmetrie in einer Budgetdebatte ebenso wie die mehrfache Wiederholung in einem Lied. Eine Beschränkung des Symmetriebegriffs im Unterricht auf Achsensymmetrie und Punktsymmetrie und dies nur in der ebenen Geometrie wird der Vielfalt und Bedeutung des Symmetriebegriffs in keiner Weise gerecht. Die Beispiele können als Beitrag zum Modul 1 (Weiterentwicklung der Aufgabenkultur im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht) des BLK-Programms verstanden werden. Das Bild des Kopfes hat eine Achsensymmetrie mit einer senkrechten Symmetrieachse. Ein Kopf im Raum hat eine Ebenensymmetrie. Diese wird oft auch als bilaterale Symmetrie bezeichnet. Allerdings hat kein wirklicher Menschenkopf eine völlig perfekte bilaterale Symmetrie. Bilaterale Symmetrie erscheint in der Architektur. Originale gotische Kirchen haben oft eine durch die lange Bauzeit und spätere Umbauten und Reparaturen bedingte leicht gestörte Symmetrie, was aber gerade deren Reiz ausmacht und den allzu perfekten neogotischen Bauten abgeht.

10 Hans Walser, Symmetrie und mehr 10 Was können wir an der Position eines Kreissägeblattes verändern, ohne dass eine Beobachterin, welche den Raum kurzzeitig verlassen hat, eine Veränderung feststellen kann? Wir können das Sägeblatt um einen oder mehrere Zähne drehen; das Sägeblatt in unserem Beispiel hat eine sechzehnteilige Drehsymmetrie. In einem Scherenschnitt finden wir zusätzlich zur Drehsymmetrie auch Achsensymmetrien, welche durch das Falten des Blattes vor dem Schneiden entstanden sind. Unser Beispiel hat nur eine vierteilige Drehsymmetrie. Die Symmetrien in diesem Beispiel sind dieselben wie beim Quadrat. Sehr oft finden wir aber achtteilige oder gar sechzehnteilige Drehsymmetrien. Sehr schöne Beispiele mit Drehsymmetrie und oft auch Achsensymmetrien sind die Rosettenfenster in gotischen Kathedralen (vgl. [Cowen 1992]). Frage: Wie kann ein Scherenschnitt mit sechsteiliger Drehsymmetrie geschnitten werden? Die Drehsymmetrie ergibt sich durch das Falten des Blattes zu einem Spickel, bei welchem sämtliche Faltlinien durch den Blattmittelpunkt verlaufen. Wird das Blatt aber mehrfach gefaltet mit Faltlinien, die sich nicht alle in demselben Punkt treffen, entsteht eine allgemeinere Kaleidoskopsymmetrie.

11 Hans Walser, Symmetrie und mehr 11 blablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablablabla Eine ewige Wiederholung heißt Translationssymmetrie. Dabei muss das...blabla... allerdings unendlich lang, das heißt ohne Anfang und ohne Ende, gedacht werden. Haben Sie auch schon solche Vorträge gehört? Translationssymmetrie findet sich bei Massenerscheinungen im menschlichen Alltag. Wo noch?

12 Hans Walser, Symmetrie und mehr 12 Zusätzlich zur fünfteiligen Drehsymmetrie und der Achsensymmetrie habe wir im Pentagramm-o-gramm eine Drehstrecksymmetrie: Wird das Innere der Figur geeignet vergrößert (Vergrößerung auf 262% oder exakt ( ) 2 (Quadrat des goldenen Schnittes)) und zusätzlich um 180 gedreht, kommt es zur Deckung mit der Gesamtfigur. Eine regelmäßige Fußspur im Sand ist translationssymmetrisch, nach jedem Doppelschritt ergibt sich dasselbe Bild. Wenn wir die Fußspur aber nur um einen einfachen Schritt verschieben, kommen wir auch mit einer Spiegelung an der Längsachse auf das ursprüngliche Bild zurück; wir haben eine Schubspiegelsymmetrie. Dies ist die am wenigsten bekannte Symmetrieart. Sobald wir aber das Auge dafür schärfen, sehen wir sie an unerwarteten Orten. Als einfaches Beispiel finden Schülerinnen und Schüler Schubspiegelsymmetrie in einem unendlich groß gedachten Karomuster. Eine Schubspiegelachse läuft schräg über die Kantenmitten der einzelnen Quadrate. Viel schwieriger ist die Frage, ob die Spur eines Hinkenden ebenfalls Schubspiegelsymmetrie aufweist sie tut es nicht.

13 Hans Walser, Symmetrie und mehr 13 Wir können nach einer Verschiebung entweder die linken Fußspuren auf die rechten spiegeln oder die rechten Fußspuren auf die linken, aber nicht beide gleichzeitig. Dies kann am besten mit einer Kopie der Fußspur auf einer Transparentfolie gezeigt werden: nach dem Abheben und Umdrehen der Transparentfolie können wir die Kopie nicht mehr mit dem Original zur Deckung bringen. Diese eckige Spirale enthält keine Symmetrie; es gibt außer der Identität keine Abbildung, welche die Figur mit sich zur Deckung bringt. Das gleiche gilt für die archimedische Spirale, welche etwa als Querschnitt einer Teppichrolle erscheint. Trotzdem hat unsere eckige Spirale einige reizvolle Zahleneigenschaften. Wenn wir die Strecke im Zentrum als Einheit nehmen und damit die Spiralenlängen vom Zentrum aus gemessen abtragen, erhalten wir folgendes Zahlenschema:

14 Hans Walser, Symmetrie und mehr Wir erkennen zum Beispiel in den Diagonalen die Quadratzahlen und die Zahlen von der Form n( n +1). Interessant ist es auch, die Positionen der Primzahlen in diesem Schema zu untersuchen (Vgl. [Hoffman 1999], S. 106). Wenn wir diese eckige Spirale auf 90% verkleinern und um 90 im Gegenuhrzeigersinn drehen, kommt sie (bis auf die erste Strecke) mit sich selber zur Deckung. Wir haben eine Drehstrecksymmetrie. Dieselbe Symmetrieart liegt bei einer logarithmischen Spirale vor. Logarithmische Spiralen erscheinen in der Natur bei Schneckenhäusern (vgl. [Cook 1979], [Hartmann/Mislin 1985], [Meinhardt 1997]).

15 Hans Walser, Symmetrie und mehr 15 Auf Karopapier kann leicht eine eckige logarithmische Spirale mit einem Streckfaktor 2 und einem dazugehörigen Drehwinkel 45 eingezeichnet werden. y x -5 C 1 A B 2 C 2 B B C 1 A 1 A 2

16 Hans Walser, Symmetrie und mehr 16 In den einzelnen Quadratfeldern der Pythagoras-Figur haben wir je Translationssymmetrien mit Verschiebungsmöglichkeiten in verschiedenen Richtungen. In den Kathetenquadraten treten zudem Achsensymmetrien auf. Die einzelnen Parkettsteine in den beiden Kathetenquadraten kommen insgesamt genau so oft im Hypotenusenquadrat vor. Die Kathetenquadrate sind daher zusammen flächengleich dem Hypotenusenquadrat. Frage: Gibt es einfachere Parkettbeweise für den Satz des Pythagoras? Raum und Ebene Das Wort spiegelbildlich wird oft gleichbedeutend mit orientierungsumkehrend gebraucht. Es gibt aber sehr viele Symmetrietypen, welche keine Orientierungsumkehrung bedeuten. Bei der Translationssymmetrie bleibt die Orientierung in jedem Fall erhalten. Anders ist es bei der Achsensymmetrie: In der Ebene wird die Orientierung umgekehrt, im Raum bleibt sie aber erhalten. Umgekehrt ist die Punktsymmetrie im Raum orientierungsumkehrend, während punktsymmetrische Figuren in der Ebene gleich orientiert sind. Fehler, welche Schülerinnen und Schüler durch die Verwischung der Dimension begehen, können an handfesten Beispielen (zum Beispiel an den Händen) illustriert werden. Dies als Beispiel für den Modul 3 (Aus Fehlern lernen) des BLK-Programms. Welche symmetrische Lagen sind zwischen der linken und der rechten Hand möglich? Wir denken uns einen Ball zwischen den Händen oder nehmen wirklich einen Ball in beide Hände. Wenn beide Hände gleichgerichtet sind, können wir uns eine Spiegelebene durch die Ballmitte denken. Die Hände sind ebenensymmetrisch. Das bedeutet, dass sie ungleich orientiert sind, links und rechts sind ja Schlüsselbegriffe für ungleiche Orientierung. lichtung manche meinen lechts und rinks kann man nicht velwechsern.

17 Hans Walser, Symmetrie und mehr 17 werch ein illtum! Ernst Jandl Wir können einen linken Handschuh nicht an die rechte Hand anziehen, außer wir würden ihn stürzen (Innen und Außen vertauschen). Jetzt drehen wir eine der beiden Hände auf der Balloberfläche um 180 so, dass immer noch die Handinnenfläche den Ball berührt. Nun geht die Verbindungslinie der beiden Daumen durch die Ballmitte; das gilt aber auch für die Verbindungslinien der beiden Ringfinger oder irgend zweier entsprechender Punkte der beiden Hände. Die beiden Hände sind punktsymmetrisch. Welche Symmetrie liegt bei der amerikanischen Klauenkupplung vor? Die beiden Kupplungsteile sind achsensymmetrisch, die Symmetrieachse geht senkrecht zwischen den beiden Klauen durch. Die beiden Kupplungsteile haben daher dieselbe räumliche Orientierung. Das bedeutet konkret, dass an den beiden Enden der Bahnwagen die gleiche Kupplungsklaue montiert werden kann und nie zwei linke Kupplungsteile aufeinandertreffen. Frage: Warum gibt es bei anderen Kupplungen, zum Beispiel bei Stromkabeln mit Stekkern und Muffen, verschiedene Kupplungsteile? Bleibt eine Rechtsschraube eine Rechtsschraube, wenn sie auf den Kopf gestellt wird?

18 Hans Walser, Symmetrie und mehr 18 Durch Drehen um eine waagrechte Achse um 180 bleiben die räumliche Orientierung und damit auch der Schraubsinn (Windung) erhalten. Sind die vier Figuren translationssymmetrisch? Fassen wir die einzelnen Zeichnungen als ebene Strichzeichnungen auf (unter Vernachlässigung der oben / unten -Unterbrechungen), so sind sie tatsächlich translationssymmetrisch. Bei der räumlichen Interpretation werden aber bei den beiden äußeren Würfeln vorne und hinten vertauscht. Die beiden mittleren Zeichnungen stellen unmögliche Würfel dar. Bandornamente Ein Bandornament auch Fries genannt ist ein (unendlich lang gedachtes) Bandmuster mit mindestens Translationssymmetrie. Wie viele Bandornamente gibt es? Die Frage wirkt befremdlich; natürlich gibt es unendlich viele Bandornamente. Dabei ist es allerdings so, dass zwei Bandornamente mit völlig verschiedenen Bildinhalten dasselbe Symmetrieverhalten zeigen können. Sie gehören zur selben Symmetrieklasse, während andererseits Bandornamente mit denselben Bildbestandteilen zu verschiedenen Symmetrieklassen gehören können. Die Frage nach der Anzahl der Symmetrieklassen abstrahiert von den konkreten Bildinhalten und setzt die abstrakte Symmetriestruktur in den Vordergrund. Verschiedene Bildinhalte, aber gleiche Symmetrieklasse (Schubspiegelsymmetrie): Gleiche Bildinhalte, aber verschiedene Symmetrieklassen (Translationssymmetrie, unten zusätzlich Schubspiegelsymmetrie): Diese theoretische Frage nach der Anzahl der Symmetrieklassen wird von Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe 1 auf zwei verschiedenen Wegen angegangen: 1. Sie zeichnen Bandornamente (ein dankbares Thema für den Einsatz von Graphiksoftware, bei welcher sich die Translationssymmetrie durch Kopieren bewerkstelligen lässt) und versuchen hinterher, die Beispiele zu ordnen und zu klassifizieren.

19 Hans Walser, Symmetrie und mehr Andererseits werden auf theoretischem Weg die möglichen Symmetrien bei einem Bandornament festgehalten: Spiegelung an der Mittellinie, Spiegelung an einer senkrechten Linie, Punktsymmetrie, Schubspiegelsymmetrie sowie und das ist das Entscheidende Kombinationen davon. Eine Spiegelung an einer schrägen Symmetrieachse ist nicht möglich, weil dabei das Band seine horizontale Lage verlieren würde. Ebenso ist eine Vergrößerung ausgeschlossen, weil sonst das Band breiter würde. Mit diesem Vorgehen bewegen sich Schülerinnen und Schüler auf dem Boden der mathematischen Gruppentheorie. Mit gruppentheoretischen Überlegungen kann gezeigt werden, dass es nur sieben Symmetrieklassen gibt. Die Erfahrung im Unterricht zeigt allerdings, dass Schülerinnen und Schüler oft vermeintlich mehr als sieben Klassen finden; es ist offenbar nicht ganz einfach, in verschiedenen Bandornamenten dieselben Symmetrieklassen zu erkennen. Das Beispiel passt zum Modul 3 (Aus Fehlern lernen) des BLK-Programms. Beispiele zu den sieben Symmetrieklassen Die einfachste Symmetrieklasse F 1 enthält nur Translationssymmetrie; die anderen Symmetrieklassen enthalten zusätzlich weitere Symmetriearten. Die Symmetrieklassen können durch Angabe der vorkommenden Symmetriearten beschrieben werden. Eindrücklicher ist allerdings die Illustration durch ein einfaches möglichst schematisches Beispiel. Dies kann durch stilisierte Buchstaben geschehen, wobei der Symmetrie zuliebe noch einige neue Buchstabenformen gebildet werden müssen, oder in Parkettform, indem ein Streifen mit Parkettsteinen gleicher Form und Größe belegt wird. Symmetrieklasse F 1 (nur Translationen): Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen): Symmetrieklasse F 3 (Spiegelung an horizontaler Achse): Symmetrieklasse F 4 (Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse):

20 Hans Walser, Symmetrie und mehr 20 Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 7 (Schubspiegelung): Die sieben Symmetrieklassen können auch mit ausschließlich echten Buchstaben illustriert werden: F 1 : F 2 : F 3 : F 4 : F 5 : F 6 : F 7 : bbbbbbbb bqbqbqbq ccccccccc bdbdbdbd oooooooo bdpqbdpq bpbpbpbp Die folgenden beiden Figuren enthalten keine Translationssymmetrie, sind daher nach unserer Definition keine Bandornamente. Beide enthalten in der Mitte eine vertikale Symmetrieachse, das erste Beispiel zudem eine horizontale Symmetrieachse. Bei beiden Beispielen ist klar erkennbar, wie es weiter geht : Im ersten Beispiel wird die lange Achse der Ellipse nach außen jedesmal verdoppelt, im zweiten Beispiel ist es die Wellenlänge, die verdoppelt wird. Welche Symmetrien hat ein aus drei Strängen geflochtener Zopf?

21 Hans Walser, Symmetrie und mehr 21 Diese Symmetrien lassen sich nach meiner Erfahrung nicht durch bloßes Überlegen ermitteln. Um Erfahrungen mit Zöpfen zu sammeln, tut ein aus drei Kabelstücken geflochtenes Modell gute Dienste. Dieses Beispiel eignet sich zum Experimentieren, Beobachten, Vergleichen und Systematisieren, wie das auch im naturwissenschaftlichen Unterricht eine herausragende Rolle spielt (Modul 2 des BLK-Programms) Ein mit drei Strängen geflochtener Zopf hat, als zweidimensionales Bild gesehen, eine Schubspiegelsymmetrie (Symmetrieklasse F 7 ). Wenn wir den realen Zopf aber um seine Längsachse um 180 drehen, erhalten wir eine Situation, welche sich nicht mehr durch eine Translation mit der ursprünglichen Lage zur Deckung bringen lässt. Hingegen lässt sich der Zopf durch Drehen um 180 um eine in der Zopfebene liegende, zur Zopfrichtung senkrechte Achse mit dem ursprünglichen Zopf zur Deckung bringen. Wird der Zopf um eine zur Zopfebene senkrecht stehende Achse um 180 gedreht, ergibt sich dieselbe Situation wie bei einer Drehung um die Längsachse. Wird der Zopf schließlich durch drei phasenverschobene Sinuskurven modelliert, erhalten wir ein Bandornament der Symmetrieklasse F 6, da wir hier im Unterschied zu einem echten Zopf in den Schnittpunkten der Stränge nicht mehr zwischen unten und oben unterscheiden können. Es gibt auch bandförmige Geflechte aus nur einem Strang (nach [Farris/Rossing 1999]). Das folgende zweidimensionale Bild eines Geflechtes gehört zur Symmetrieklasse F 7 : Dieses Geflecht lässt sich ebenfalls mit Kreisfunktionen darstellen. Mit der Parameterdarstellung

22 Hans Walser, Symmetrie und mehr 22 ( ) ( ) x t y t = sin( 2t) π 24 t = 2sin t ( ) t [ 15.6π,15.6π ] ergibt sich eine Modellierung des Geflechts. Dieses Ornament gehört wegen der fehlenden oben-unten-relation nun nicht mehr zur Symmetrieklasse F 7, sondern zu F 6 : Wird eine Papierstreifen mehrfach mit senkrechten Faltlinien gefaltet, in gefaltetem Zustand beschnitten und dann wieder aufgefaltet, entsteht ein Bandornament der Symmetrieklasse F 4 : Lässt sich jede Symmetrieklasse der Bandornamente durch einen Scherenschnitt darstellen? Dies ist tatsächlich möglich; das Schwierige dabei ist der Faltvorgang. Soll der Scherenschnitt zum Beispiel nur Translationssymmetrie (Symmetrieklasse F 1 ) enthalten, darf der Streifen weder waagrecht noch senkrecht gefaltet werden, da ansonsten Achsensymmetrien entstehen. Ein waagrecht liegender Streifen kann aber rechtwinklig nach oben abgebogen werden, wodurch eine Faltlinie entsteht, welche in einem Winkel von 45 über den Streifen laufen. Anschließend wird der gefaltete Streifen im Uhrzeigersinn um 90 gedreht und das rechte Ende wieder nach oben abgebogen. Und so weiter. Der Faltvorgang ist periodisch, indem der Anfangsteil nach vier Schritten wieder in die ursprüngliche Richtung zeigt. Wir erhalten schließlich (nach Einbiegen der Anfangsund Endteile) ein auf der Spitze stehendes Quadrat. Wenn wir dieses Quadrat an den Seiten zuschneiden, ergibt sich nach dem Auffalten ein Bandornament, das nur Translationssymmetrie enthält. Man wird einwenden, dass dieser Scherenschnitt doch offensichtlich auch achsensymmetrische Figuren enthält. Dies ist richtig, aber diese Symmetrien sind immer nur lokale Symmetrien, welche sich nicht auf das ganze Bandornament ausdehnen lassen.

23 Hans Walser, Symmetrie und mehr 23 Bei einem Scherenschnitt, welcher lediglich Translationssymmetrie und Schubspiegelsymmetrie (Symmetrieklasse F 7 ) enthalten soll, ist ein Falten unter Winkeln von 60 erforderlich. Bei dieser Symmetrieklasse ist es uns kein glattrandiger Scherenschnitt gelungen. Die konkreten Bildinhalte werden durch das Schneiden bewerkstelligt; für die Symmetrieklasse sind sie aber belanglos. Die Symmetrieklasse wird durch den Faltvorgang festgelegt. Die folgende Abbildung zeigt für jede Symmetrieklasse einen Scherenschnitt. Weitere Möglichkeiten, Bandornamente als Scherenschnitte herzustellen, werden in [Servatius 1997] vorgestellt. Symmetrieklasse F 1 (nur Translationen): Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen): Symmetrieklasse F 3 (Spiegelung an horizontaler Achse):

24 Hans Walser, Symmetrie und mehr 24 Symmetrieklasse F 4 (Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse): Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 7 (Schubspiegelung):

25 Hans Walser, Symmetrie und mehr 25 Literatur [Cook 1979] [Cowen 1992] Cook, Theodore Andrea: The Curves of Life. New York: Dover ISBN X Cowen, Painton: Rose Windows. London: Thames and Hudson ISBN [Farris/Rossing 1999] Farris, Frank A. / Nils Kristian Rossing: Woven Rope Friezes. Mathematics Magazine, 1/72, 1999, p [Hartmann/Mislin 1985] Hartmann, Hans / Hans Mislin: Die Spirale im menschlichen Leben und in der Natur. Basel: Museum für Gestaltung ISBN [Hoffman 1999] [Meinhardt 1997] [Servatius 1997] [Walser 1998] Hoffman, Paul: The man who loved only numbers. The story of Paul Erdös and the search for mathematical truth. London: Fourth Estate Limited ISBN Meinhardt, Hans: Wie Schnecken sich in Schale werfen. Muster tropischer Meeresschnecken als dynamische Systeme. Berlin: Springer ISBN Servatius, Brigitte: The geometry of folding paper dolls. The Mathematical Gazette. Vol. 81, 1997, p Walser, Hans: Symmetrie. Stuttgart: Teubner Verlag ISBN Anschrift des Autors: Dr. Hans Walser, Gerlikonerstrasse 29, CH-8500 Frauenfeld hwalser@bluewin.ch