Übungsbeispiele für die dreistündige Schularbeit (prinzipiell auch für die schriftliche Matura* geeignet!)

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1 Übungsbeispiele für die dreistündige Schularbeit (prinzipiell auch für die schriftliche Matura* geeignet!) (8A, Gymnasium, 2012/13) Diese Beispiele sollen durch die sowohl für die dreistündige Schularbeit als auch die schriftliche Matura relevanten Stoffgebiete führen, wobei an dieser Stelle mit der Analytischen Geometrie des Raums [speziell: Parameterdarstellung von Geraden (und Ebenen), Normalvektorform von Ebenen, Schnitt von Gerade/Gerade, Gerade/Ebene, sowie Ebene/Ebene, Parallelität und Orthogonalität von Gerade/Gerade, Gerade/Ebene und Ebene/Ebene, Winkel zwischen Gerade/Gerade, Gerade/Ebene & Ebene/Ebene, Symmetrieebenen, Inzidenzen (, weil), Bestätigen bzw. Ermitteln von Treffnormalen windschiefer Geradenpaare,, Flächeninhalte von Dreiecken sowie daraus zusammengesetzten Figuren] ein Kapitel der 6. Klasse exemplarisch nochmals aufgerollt wird, und zwar anhand von Aufgaben, deren "Bausteine" geradezu charakteristisch für Maturabeispiele sind. ACHTUNG! Ein bloßes keine ausreichende Matura- resp. Schularbeitsvorbereitung, da du deine erworbenen Kenntnisse sowohl bei der dreistündigen Schularbeit als auch bei der schriftlichen Matura auf Problemstellungen anzuwenden hast, die zwar nicht gänzlich neuartig, aber zum Teil in der Form wie bei der dreistündigen Schularbeit resp. der schriftlichen Matura gestellt in dieser Aufgabensammlung nicht enthalten sind! Ein eigenständiges Lösen dieser Aufgaben (bis auf jene, die wir in diversen Schulübungen gemeinsam bearbeiten werden) ist eine absolute Notwendigkeit für ein angemessenes Übungsprogramm! Bevor es losgeht: Zur Erinnerung ein auf zwei Arten durch die beiden rechts abgebildeten Ladies verändertes Flächeninhaltsberechnungsbeispiel aus der 1. Schularbeit eurer damaligen 6A (Schulwartwohnung!) Zum Aufwärmen zunächst etwas ganz, ganz Elementares (bloß nicht dem Tagtraum verfallen, dass etwas Derartiges zur dreistündigen Schularbeit oder gar zur Klausur kommt!): 1) Der Würfel in der Abbildung weist eine Seitenlänge von 4 auf. Ø B entsteht durch Viertelung der Flächendiagonale PS. Ø C entsteht durch Viertelung der Flächendiagonale QS. Ø D entsteht durch Viertelung der Flächendiagonale RS. Zeige, dass die entstehende dreiseitige Pyramide ABCD regelmäßig ist. * : Zum Üben für die Klausur folgen noch einmal 31 separate Beispiele zur Raumgeometrie!

2 Aufgaben 2) bis 6): immer noch im Zuge der "warm-up-phase", j(et)z(t) aber schon mit Winkelberechnungen (jedoch "nur" zwischen Geraden!): 2) 3) 4)

3 5) 6) Noch immer ganz elementar, lediglich Teilverhältnisse und Orthogonalitätskriterium: 7) In nebenstehender Abbildung ist ein Würfel AB 1 C 1 D 1 E 1 F 1 G 1 H 1 der Kantenlänge 84 zusammen mit fünf Kantenmittelpunkten I, J, K, L und M zu sehen. Durch "Aneinanderspiegeln" der letzten vier Mittelpunkte entstehen die Punkte N und O. Aus Drittelung der Strecken AI, AN und AO gehen schließlich die Hilfspunkte P, Q und R sowie die in weiterer Folge wesentlichen Punkte B 2, D 2 und E 2 hervor. a) Begründe, dass AB 2, AD 2 und AE 2 drei Kanten eines Würfels AB 2 C 2 D 2 E 2 F 2 G 2 H 2 sind, der die gleiche Seitenlänge als der ursprüngliche Würfel aufweist. b) Berechne die Koordinaten aller Eckpunkte des zweiten Würfels und zeige insbesondere, dass C 2 mit H 1 und F 2 mit F 1 zusammenfällt.

4 und nun schalten wir in den nächsten Gang (Schnitt von Geraden, Normalvektorform einer Ebene, Schnittpunkte von Geraden und Ebenen): 8) 9) Berechne den Normalabstand von L zu ε (unter Verwendung des Lotfußpunkts S von L bezüglich ε. 10) Im nebenstehend abgebildeten Würfel (Kantenlänge 6) ist P der Mittelpunkt des Begrenzungsquadrats ADHE. Bei M, Q und R handelt es sich um entsprechende Kantenmittelpunkte. a) Zeige, dass PQR gleichschenklig ist und gib inkl. Begründung Basis oder Spitze an! b) Stelle eine Gleichung der Ebene ε auf! c) Ermittle die Koordinaten des Durchstoß- Punkts {S} = g ε. In welchem Verhältnis teilt S die Länge der Strecke MG? d) Begründe, warum g auf ε normal steht! e) Verifiziere, dass S (auch) der Schwerpunkt von PQR ist!

5 a 11) jetzt kommt auch noch die Schnittwinkelberechnung Gerade/Ebene [über Orthogonalität siehe Aufgaben 10) und 11)! hinaus!] dazu. 12) Der Würfel in Abbildung 3 weist eine Seitenlänge von 2 auf. P, Q, T und U sind Kantenmittelpunkte. R bzw. V ist der Spiegelpunkt von Q an E bzw. von T an U. a) Ermittle das Maß des spitzen Schnittwinkels α= (g,ε)! b) Verifiziere, dass der Schnittpunkt {S} = g ε sowohl der Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms RPWV als auch der Mittelpunkt der Flächendiagonale AH ist! c) Zeige, dass W in π 1 liegt! 13)

6 als nächster Punkt nun Schnittwinkelberechnung zwischen Ebene und Ebene 14)Der Würfel in Abbildung 2 weist eine Seitenlänge von 2 auf. P, S und U sind Kantenmittelpunkte, bei M und R handelt es sich um Flächenmittelpunkte. Q ist der Spiegelpunkt von P an E, T der Spiegelpunkt von M an S und schließlich V der Spiegelpunkt von U an D. Ermittle das Maß des spitzen Schnittwinkels β= (ε 1,ε 2 )! 15). und weiter geht s mit Treffnormalen [16) und 17) nur Nachweis, 18) und 19) Ermittlung!]. 16)

7 17) Die Punkte P, M und W in nebenstehender Abbildung sind Kantenmittelpunkte eines Würfels der Seitenlänge 84, R ist der Mittelpunkt der Flächendiagonale AC. Q bzw. T entsteht durch Drittelung der Strecke BP bzw. ER. R schließlich geht aus einer Siebtelung der Strecke AQ hervor und ist von A aus betrachtet der dritte Teilungspunkt. a) Zeige, dass g ST die Treffnormale von g AQ und g ER ist und dass auch g AQ auf g ER normal steht! b) V ist der Mittelpunkt der Strecke AM und U der Spiegelpunkt von C an B. Zeige, dass U, V und W auf der Treffnormale aus a) liegen! 18) In der rechten unteren Abbildung sind P, Q und R Kantenmittelpunkte eines Würfels der Seitenlänge 18. a) Zeige, dass die Geraden g AP und g BQ aufeinander normal stehen (*)! b) Ermittle die Treffnormale von g AP und g BQ! Inwiefern erleichtert (*) diese Berechnung? In welchem Verhältnis teilt S bzw. T die Länge der Strecke AP bzw. BQ (ikonische oder verbale Antwort!)? c) Zeige, dass g ST und g DR zueinander parallel verlaufen. In welchem einfachsten Verhältnis stehen die Streckenlängen ST und DR zueinander? d) Begründe, warum g DR und g BQ einander schneiden! In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt U die Streckenlängen BQ und DR j e w e i l s (!)? 19) Der Würfel in Abbildung 2 weist eine Kantenlänge von 42 auf. P ist ein Kantenmittelpunkt, Q entsteht durch Drittelung der Strecke BP. Schließlich geht T bzw. U durch Fünftelung bzw. Viertelung der Flächendiagonale AC bzw. AF hervor. a) Ermittle die Treffnormale RS von g AQ und g BH! In welchem Verhältnis teilt R bzw. S die jeweilige Strecke (ikonische oder verbale Antwort!)? b) Zeige, dass sowohl T als auch U auf g RS liegt und beschreibe die Lage von R und S bezüglich der Strecke TU in verbaler oder ikonischer Form! (Falls es für dich wünschenswert ist, kannst du zwecks Vermeidung von Brüchen auch mit einer Würfelkantenlänge von 420 anstelle von 42 rechnen. Notwendig ist es jedoch sicher nicht!)

8 .. und nun vier umfangreichere Aufgabenstellungen von "wahrem Maturacharakter".. 20) s s

9 21) Ausgehend von einem Würfel der Kantenlänge 12 werden in der linken Abbildung ferner die Kantenmittelpunkte P und V, der Deckflächenmittelpunkt S sowie jener abgebildete Punkt U betrachtet, welcher sich durch Drittelung der Kante BQ ergibt. Abbildung zu Aufgabe 22 a) Zeige, dass es sich bei PQRS um eine sogenannte "rechtwinklige" dreiseitige Pyramide handelt, d.h. dass die (in diesem Fall!) von S ausgehenden Kanten paarweise aufeinander normal stehen und begründe, warum dann auch die Ebenen ε PQS, ε QRS und ε PRS (Trägerebenen der "Kathetenflächen" der rechtwinkligen Pyramide PQRS, entsprechend wird ε PQR dann als Trägerebene der "Hypotenusenfläche" bezeichnet) paarweise aufeinander normal stehen. b) Für jede rechtwinklige Pyramide mit den Kathetenflächeninhalten K 1, K 2 und K 3 sowie dem Hypotenusenflächeninhalt H gilt [in Verallgemeinerung des bekannten Lehrsatzes von PYTHAGORAS (in 2D)] der PYTHAGOREIsche Lehrsatz in 3D: K K K 3 2 = H 2 Überprüfe dies am konkreten Beispiel! c) Berechne das Maß des spitzen Schnittwinkels zwischen der Trägerebene der Hypotenusenfläche der Pyramide PQRS und der Ebene ε TUV! d) Ermittle eine Parameterdarstellung der Schnittgerade g der Ebenen aus c) und zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke TV auf g liegt! e) Wie kann man die in d) zu überprüfende Inzidenz ohne Verwendung der Parameterdarstellung von g nachweisen? Führe diesen alternativen Nachweis durch! 22)Der links oben abgebildete Würfel weist eine Seitenlänge von 16 auf. M ist der Mittelpunkt der Flächendiagonale BG, N ist der Mittelpunkt der Strecke BM. a) Zeige, dass die Symmetrieebene σ AN den Würfel längs einer Raute IJKL schneidet. b) Weise nach, dass die Maßzahl des Flächeninhalts der Raute mit der (Hälfte der) Summe der Diagonallängen aller Würfelbegrenzungsflächen übereinstimmt. c) Zeige, dass der Durchstoßpunkt S von g AN mit σ AN auf der Rautendiagonale JL liegt. In welchem Verhältnis teilt S die Diagonale? 23) Der rechts abgebildete Würfel hat eine Kantenlänge von 32. P ist der Mittelpunkt der Kante CG, Q der Mittelpunkt der Strecke BP, σ AQ die Symmetrieebene letzterer. W entsteht durch Fünftelung der Kante CG und ist von C aus betrachtet der zweite Teilungspunkt. N geht durch Sechzehntelung von DW hervor und ist von W aus betrachtet der erste Teilungspunkt. a) Stelle eine Gleichung von σ AQ auf! b) Zeige, dass σ AQ nur die Kanten AB, CD, DH und EH schneidet und berechne die Koordinaten der eingezeichneten Schnittpunkte R, S, T und U! c) Zeige, dass die Gerade durch den Schwerpunkt V des Dreiecks RST und N auf σ AQ normal steht! d) Berechne den Flächeninhalt des Schnittvierecks RSTU von σ AQ mit dem Würfel!

10 Jetzt schalten wir wieder einen Gang zurück und konzentrieren uns in den nächsten beiden Aufgaben ausschließlich auf die Berechnung von Flächeninhalten,. 24) Der Würfel in nebenstehender Abbildung weist eine Seitenlänge von 4 auf. P ist der Spiegelpunkt der Würfelecke F an der Würfelecke E, Q der Spiegelpunkt von E an P. M ist der Mittelpunkt der Kante AD, S der Spiegelpunkt von M an der Würfelecke D. R entsteht durch Viertelung der Kante BF. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks QRS! 25) Das Dreieck AQS in nebenstehender Abbildung leitet sich wie folgt aus einem Würfel der Kantenlänge 20 ab: P entsteht durch Viertelung der Kante FG, Q ist der Spiegelpunkt von E an P. R geht aus einer Fünftelung der Kante GH hervor, S durch fortlaufende Viertelung der Strecke ER. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AQS!.. um in den letzten fünf Aufgaben schließlich nebst dem alternierenden Berechnen von Flächeninhalten auch noch (einmal) die Lagebeziehung resp. den Winkel zweier Ebenen zu untersiuchen, Fortsetzung folgt nach der dreistündigen Schularbeit in Form von 31 weiteren Aufgaben, um a u c h für die Klausur trainiert zu sein!

11 26) In nebenstehender Figur ist ein Würfel der Seitenlänge 2 zusammen mit seinen Eckpunkten A, C, S, T und U abgebildet. D, E und P sind Kantenmittelpunkte, M 1 und M 2 sind Flächenmittelpunkte. B bzw. R bzw. V bzw. W ist der Spiegelpunkt von M 1 an D bzw. von M 2 an E bzw. von T an U bzw. von S an A. Schließlich ist Q der Spiegelpunkt von M VW an W. a) Zeige, dass die Ebenen ε ABC und ε PQR zueinander parallel liegen. b) Setze die Flä cheninhalte der Dreiecke ABC und PQR in ein möglichst einfaches ganzzahliges Verhältnis. 27) In nebenstehender Figur ist ein Würfel der Seitenlänge 2 abgebildet. A, C, Q und S sind Kantenmittelpunkte, R ist ein Flächenmittelpunkt, P ist der Spiegelpunkt von R an S. Zeige jeweils ohne Taschenrechner, dass die Ebenen ε ABC und ε BPQ einander orthogonal schneiden und dass der Quotient der Flächeninhalte der Dreiecke ABC und BPQ nur geringfügig größer als der (Co-)Sinus des halben Schnittwinkels der beiden Ebenen ist!

12 28) In nebenstehender Figur ist ein- Würfel der Seitenlänge 2 abgebildet. B, P und T sind Kantenmittelpunkte, C ist ein Flächenmittelpunkt. A bzw. Q ist der Spiegelpunkt von T an S bzw. von R an U. Zeige jeweils ohne Taschenrechner, dass der Schnittwinkel ϕ der Ebenen ε ABC und ε BPQ exakt 90 beträgt und dass der Quotient der Flächeninhalte der Dreiecke ABC und BPQ nur geringfügig kleiner als der Tangens von ist. 2ϕ 3 29) In nebenstehender Figur ist ein Würfel der Seitenlänge 8 abgebildet. A, J und R sind Kantenmittelpunkte. B bzw. P bzw. Q entsteht durch Spiegelung von D an E bzw. von H an G bzw. von J an G. C entsteht durch Achtelung der Kante FG und ist von G aus betrachtet der dritte Teilungspunkt. Zeige, dass die Ebenen ε ABC und ε PQR zueinander parallel verlaufen und setze die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und PQR in ein möglichst einfaches ganzzahliges Verhältnis.

13 30) c) Zeige, dass der Winkel j aus a) auch der Schnittwinkel zweier Seitenflächen eines regelmäßigen Tetraeders ist! Gutes Gelingen beim Lösen dieser schönen Aufgaben! Wien, im Dezember Dr. Robert Resel, e. h. P.S.: und wie schon bemerkt: Nach der dreistündigen Schularbeit folgen dann noch 31 abschließende Übungsbeispiele zur analytischen Geometrie des Raums!