Übungsbeispiele für die schriftliche Matura (8A, Gymnasium, 2012/13)

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1 Übungsbeispiele für die schriftliche Matura (8A, Gymnasium, 2012/13) Diese Beispiele sollen durch die sowohl für die dreistündige Schularbeit als auch die schriftliche Matura relevanten Stoffgebiete führen, wobei an dieser Stelle mit der Analytischen Geometrie des Raums [speziell: Parameterdarstellung von Geraden (und Ebenen), Normalvektorform von Ebenen, Schnitt von Gerade/Gerade, Gerade/Ebene, sowie Ebene/Ebene, Parallelität und Orthogonalität von Gerade/Gerade, Gerade/Ebene und Ebene/Ebene, Winkel zwischen Gerade/Gerade, Gerade/Ebene & Ebene/Ebene, Symmetrieebenen, Inzidenzen (, weil), Bestätigen bzw. Ermitteln von Treffnormalen windschiefer Geradenpaare,, Flächeninhalte von Dreiecken sowie daraus zusammengesetzten Figuren] ein Kapitel der 6. Klasse exemplarisch nochmals aufgerollt wird, und zwar anhand von Aufgaben, deren "Bausteine" geradezu charakteristisch für Maturabeispiele sind. ACHTUNG! Ein bloßes keine ausreichende Matura- resp. Schularbeitsvorbereitung, da du deine erworbenen Kenntnisse sowohl bei der dreistündigen Schularbeit als auch bei der schriftlichen Matura auf Problemstellungen anzuwenden hast, die zwar nicht gänzlich neuartig, aber zum Teil in der Form wie bei der dreistündigen Schularbeit resp. der schriftlichen Matura gestellt in dieser Aufgabensammlung nicht enthalten sind! Ein eigenständiges Lösen dieser Aufgaben (bis auf jene, die wir in diversen Schulübungen gemeinsam bearbeiten werden) ist eine absolute Notwendigkeit für ein angemessenes Übungsprogramm! Zum Aufwärmen zunächst simple Flächeninhaltsberechnungen: 1)! 2) Der rechts unten abgebildete Würfel weist eine Kantenlänge von 4 auf. P, Q und R sind allesamt Kantenmittelpunkte. S ist der Spiegelpunkt von P an der Würfelecke C. T entsteht durch fortlaufende Spiegelung von R an Q (siehe Abbildung!). Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AST!

2 weiter mit dem Schnitt und der Orthogonalität von Gerade und Ebene 3) 4) Der Würfel in nebenstehender Abbildung weist eine Seitenlänge von 48 auf. P bzw. R ist der Mittelpunkt der Würfelkante AD bzw. der Flächendiagonale AF, Q ist der Spiegelpunkt von P an der Würfelecke D. T entsteht durch Sechzehntelung der Würfelkante FG und ist von F aus betrachtet der elfte Teilungspunkt. U entsteht durch fortlaufende Drittelung der Strecke BT. Schließlich geht V aus einer Zwölftelung der Flächendiagonale DG hervor und ist von D aus betrachtet der siebente Teilungspunkt. a) Stelle eine Gleichung der Ebene ε CQR auf! b) Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts {S} = g UV ε CQR! c) In welchem Verhältnis teilt V die Strecke SU (ikonische oder verbale Antwort!)? d) Begründe, warum g UV ε CQR gilt! e) Zeige, dass S auch der Schwerpunkt des Dreiecks CQR ist!

3 und nun kommen Schnittwinkelberechnungen hinzu, 5) In Abbildung 1 ist ABCDEFGH ein Würfel der Seitenlänge 12. J, M, Q und W sind Kantenmittelpunkte, I und L (und auch V) sind Flächenmittelpunkte. K ist der Spiegelpunkt von I an J, N der Spiegelpunkt von L an M, R der Spiegelpunkt von Q an C, U der Mittelpunkt der Strecke AN. Schließlich entsteht T durch fortlaufende Spiegelung von V an W. Ermittle das Maß des spitzen Schnittwinkels α= (g,ε) und außerdem die Lage von {S} = g ε relativ zu KU. Verifiziere ferner, dass S auch der Schwerpunkt des Dreiecks PRT ist! 6) In Abbildung 1 ist ein Würfel der Seitenlänge 70 illustriert. P und R sind Kantenmittelpunkte, Q ist der Spiegelpunkt von P an der Würfelecke A. T entsteht durch Fünftelung der Würfelkante FG. Ermittle das Maß des spitzen Schnittwinkels α zwischen g und ε und ermittle ferner, in welchem Verhältnis der Durchstoßpunkt {S} = g ε die Länge der Strecke QR teilt. jetzt auch zwischen Ebenen 7) In nebenstehender Figur ist ein Würfel der Seitenlänge 2 abgebildet. R und S sind Kantenmittelpunkte, B und T sind Flächenmittelpunkte. C bzw. P ist der Spiegelpunkt von R an Q bzw. von T an S. Zeige, dass die Ebenen ε ABC und ε BPQ aufeinander normal stehen.

4 8).. 9) Aus einer Wiederholungsprüfung: In der rechten unteren Abbildung siehst du einen Würfel der Seitenlänge 12, aus dem sich zwei Dreiecke PQR und PST ableiten: P entsteht durch Drittelung der Kante BC. Q geht durch Viertelung der Kante DH hervor. R ist der Mittelpunkt der Kante AE. S ergibt sich durch Spiegelung von C an G. Schließlich ist T das Resultat einer Drittelung der Kante CD. Zeige, dass die Trägerebenen der beiden Dreiecke aufeinander normal stehen! (Ein Vorschlag für ein Koordinatensystem ist bereits eingezeichnet. ) 10) Der Würfel aus der rechten unteren Abbildung weist eine Seitenlänge von 20 auf. P bzw. R entsteht durch Viertelung bzw. Fünftelung der Kante CG bzw. EF. Ermittle das Maß des spitzen Schnittwinkels zwischen den Ebenen ε 1 und ε 2! 11) Aus einer mündlichen Prüfung vom Jänner 2011: Im Würfel ABCDEFGH (Kantenlänge 2) sei P der Mittelpunkt der Kante AB sowie Q der Spiegelpunkt der Würfelecke A am Eckpunkt E. ε 1 bzw. ε 2 bezeichne die Ebene durch die Punkte P, H und Q bzw. durch die Punkte P, H und C (siehe Abbildung 4). Berechne das Maß des spitzen Schnittwinkels β= (ε 1, ε 2 )!

5 12). und weiter geht s mit Treffnormalen [13) und 14) nur Nachweis, 15) und 16) Ermittlung!]. 13) In der linken unteren Figur ist ein Würfel der Kantenlänge 66 abgebildet. P ist der Mittelpunkt der Flächendiagonale CF. Q entsteht durch Drittelung der Flächendiagonale EG. R geht aus einer Elftelung der Strecke CQ hervor, wobei R von C aus gesehen der sechste Teilungspunkt ist. a) Zeige, dass g AP, g CQ und g PR paarweise aufeinander normal stehen! b) S und T gehen durch fortlaufende Viertelung der Würfelkanten FB und AD über B und D hervor. Zeige, dass g PR parallel zur Gerade g ST verläuft. In welchem einfachsten Verhältnis stehen die Längen der Strecken PR und ST? 14)

6 Aus: 15) Der Würfel in Abbildung 1 weist eine Seitenlänge von 30 auf. P ist der Mittelpunkt der Kante CG. Q ist der Mittelpunkt der Kante FG. R ist der Mittelpunkt der Kante CD. U ist der Spiegelpunkt von R an der Würfelecke C. V ist der Spiegelpunkt der Würfelecke B an der Würfelecke E. a) Zeige, dass die Geraden g BP und g DQ aufeinander normal stehen! b) Ermittle die Treffnormale ST der Geraden g BP und g DQ! In welchem Verhältnis teilt S bzw. T die Länge der Strecke BP bzw. DQ (ikonische oder verbale Antwort!)? c) Zeige, dass U und V auch auf der Trägergerade der Treffnormale zu liegen kommen. In welchem Verhältnis teilt S bzw. T die Länge der Strecke UV (ikonische oder verbale Antwort!)? Abbildung 1

7 16) Nebenstehend ist ein Würfel mit der Seitenlänge 60 abgebildet. P, Q und R sind Kantenmittelpunkte, W entsteht durch Fünftelung der Kante BF (wobei W n i c h t auf CD liegt!), M durch fortlaufende Viertelung der Strecke AW. V ist der Mittelpunkt der Strecke AU. Schließlich ist U der Spiegelpunkt von R an C. a) Ermittle die Treffnormale g ST der Geraden g BG und g PQ, zeige, dass auch g BG und g PQ aufeinander normal stehen (Inwiefern erleichtert dies die Bestimmung von g ST? Erläutere!) und beschreibe die Lage von S bzw. T auf g PQ bzw. g BG (ikonisch oder verbal)! b) Verifiziere, dass g ST zur eingezeichneten Raumdiagonale parallel verläuft, ferner durch V und M verläuft und beschreibe die Lage von S und T bezüglich der Strecke VM verbal oder ikonisch. In welchem Verhältnis stehen die Längen der Strecken ST, VM und DF? jetzt mehr zu Symmetrieebenen [vgl. Umkreismittelpunkt sowie Übungsaufgaben 22) und 23) der Übungsaufgaben zur Raumgeometrie für die dreistündige Schularbeit!] 17) Betrachte die rechte Figur, in der ein Würfel ABCDEFGH der Seitenlänge 4 zusammen mit Kantenmittelpunkten sowie Spiegelpunkten von Würfelecken an anderen Würfeleckpunkten abgebildet ist: a) Stelle eine Gleichung der Symmetrieebene σ VW auf, ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte P und T von σ VW mit den Würfelkanten CD und EF und zeige, dass sowohl die Würfeleckpunkte B und H in σ VW zu liegen kommen als auch P und T Kantenmittelpunkte sind. b) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte Q, R, S und U von σ VW mit den Trägergeraden der verbleibenden Würfelkanten und zeige, dass es sich jeweils um Spiegelpunkte von Würfelecken an anderen Würfeleckpunkten handelt. c) Zeige, dass g VW und σ VW einander in einem Punkt von g PT schneiden. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt M die Länge der Strecke PT? d) Zeige, dass es sich bei dem Viereck TBPH um eine Raute handelt und berechne ihren Flächeninhalt auf zwei Arten! e) Begründe ausführlich, warum der Flächeninhalt der gesamten Schnittsechsecks dreimal so groß ist als der in Aufgabenteil d) berechnete Flächeninhalt!

8 18) Betrachte die rechte Figur, in der ein Würfel ABCDEFGH der Seitenlänge 8 zusammen mit dem Kantenmittelpunkt U sowie dem Flächenmittelpunkt V abgebildet ist: a) Stelle eine Gleichung der Symmetrieebene σ UV auf, ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte I, J, K, L, M und N von σ UV mit den Würfelkanten EF, BF, BC, CD, DH und EH und EF und zeige, dass alle sechs Punkte durch Kantenviertelung entstehen. b) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte O, P, Q, R, S und T von σ UV mit den Trägergeraden der verbleibenden Würfelkanten und zeige, dass es sich jeweils um Punkte handelt, die aus fortlaufender Kantenviertelung hervorgehen. c) Zeige, dass der Schnittpunkt {W}=g UV σ UV auch auf g JM und g KN liegt! In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt W die Länge beider Strekken JK und NM? Begründe elementargeometrisch, warum zweimal das gleiche Verhältnis vorliegt! d) Zeige, dass der Flächeninhalt des innerhalb des Würfels liegenden Schnittsechsecks 44 e) Bezüglich der in nebenstehender Abbildung getroffenen Partition der gesamten Schnittfläche ist zu zeigen (wobei µ 3 =A 3 und µ 5 =A 2 ): µ 1 =A 6 =A 8 =A 10 µ 2 =A 1 =A 4 µ 4 =A 5 =A 7 =A 9 µ 1 : µ 2 : µ 3 : µ 4 : µ 5 = 1 : 3 : 4 : 9 : 12

9 19) Betrachte die untere Figur, in der ein Würfel ABCDEFGH der Seitenlänge 12 zusammen mit den Kantenmittelpunkten T und U sowie dem Spiegelpunkt V von U am Würfeleckpunkt G abgebildet ist: a) Stelle eine Gleichung der Symmetrieebene σ TV auf und ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte I, J und K von σ TV mit den Würfelkanten CG, DH und EH. Zeige, dass I und J durch Kantendrittelung entstehen, K ein Kantenmittelpunkt ist und dass auch F in σ TV liegt. b) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte L, M, N, O, P und Q von σ UV mit den Trägergeraden der verbleibenden Würfelkanten! Zeige, dass L, O und P durch fortlaufende Spiegelungen von Würfelecken an anderen Würfeleckpunkten sowie M und N bzw. Q durch fortlaufende Kantenhalbierung bzw. Kantendrittelung entstehen. c) Zeige, dass der Schnittpunkt {S}=g TV σ TV auch auf g FQ liegt! In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt S die Länge der Strecke FQ? d) Zeige, dass der Flächeninhalt des innerhalb des Würfels liegenden Schnittvierecks beträgt und es sich dabei um ein Trapez handelt! e) Bezüglich der in der unteren Abbildung getroffenen Partition der gesamten Schnittfläche ist zu zeigen (wobei µ 3 =A 3 ): µ 1 =A 2 =A 4 =A 6 µ 2 =A 1 =A 5 µ 1 : µ 2 : µ 3 = 1 : 3 : 8

10 20) und noch etwas zum Schnitt(winkel) zweier Ebenen 21) In nebenstehender Figur ist ein Würfel der Seitenlänge 2 abgebildet. C, P, Q, V und W sind Kantenmittelpunkte, M 1 und M 2 sind Flächenmittelpunkte. A ist der Spiegelpunkt der Würfelecke T an der Würfelecke U, B bzw. S entsteht durch Spiegelung von M 1 an V bzw. von M 2 an W. a) Ermittle ohne Taschenrechner das Maß eines Schnittwinkels zwischen den Ebenen ε ABC und ε PQR! b) Zeige, dass S auf der Schnittgerade der Ebenen ε ABC und ε PQR liegt!

11 sowie zu Flächeninhaltsberechnungen, 22) Parallelität von Geraden, 23) Die Kantenlänge des Würfels in Abbildung 1 beträgt 6. Die Punkte P, Q und S entstehen wie aus der Abbildung ersichtlich durch Kantendrittelungen, T ist der Spiegelpunkt der Würfelecke B an der Würfelecke F. Schließlich entsteht R durch Drittelung der Strecke AT. a) Wähle ein geeignetes Koordinatensystem, zeichne es in Abbildung 1 sauber an und koordinatisiere zunächst die oben genannten Punkte! b) Ermittle ohne Taschenrechner das Maß des von den Ebenen ε 1 und ε 2 eingeschlossenen spitzen Schnittwinkels ϕ! c) Zeige ebenfalls ohne Taschenrechner, dass der Quotient der Flächeninhalte der Dreiecke RPS und APQ gleich dem Tangens von ϕ ist! d) Begründe, warum die Schnittgerade von ε 1 und ε 2 zur Gerade g RS parallel verläuft! Vermischtes

12 24) In nebenstehender Figur ist ein Würfel der Seitenlänge 2 abgebildet. B, C und R sind Kantenmittelpunkte, P ist ein Flächenmittelpunkt. A ist der Spiegelpunkt von R an der Würfelecke S. a) Ermittle ohne Taschenrechner das Maß eines Schnittwinkels zwischen den Ebenen εabc und εbpq. b) V ist der Spiegelpunkt der Würfelecke U an der Würfelecke T, W ist der Mittelpunkt der Strecke QV. Zeige, dass die Schnittgerade der Ebenen εabc und εbpq (nebst B auch) durch W geht. c) Nimm ausführlich zur Behauptung Stellung, dass die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und BPQ sich wie 185:117 verhalten! sowie Vertiefendes über Geraden und Ebenen 25) Der rechts abgebildete Würfel weist eine Seitenlänge von 36 auf, P ist ein Kantenmittelpunkt, Q und R entstehen durch Kantendrittelung. M ist der Mittelpunkt der Strecke AQ, N jener von AM. T ist der Spiegelpunkt von N an A, V jener von H an G. Schließlich ist U der vierte Eckpunkt des Parallelogramms AVUN. a) Stelle eine Gleichung der Ebene ε durch die Punkte B, P und Q auf! b) Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts {S}=g ε und zeige, dass es sich bei S um den Schwerpunkt des Dreiecks BPQ handelt! c) Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und beschreibe die Lage des Schnittpunkts {W}=g d) Projiziere U (oder V) normal in die Ebene ε ABC(D), du erhältst K. Dann teile die Strecke AK in vierzehn Teile. L bezeichne von A aus gesehen den ersten Teilungspunkt. Zeige, dass L auf h liegt!

13 26) Der rechts abgebildete Würfel weist eine Seitenlänge von 24 auf, Q, K und U sind Kantenmittelpunkte, P und R entstehen durch Kantenviertelung, wobei P bzw. R von E bzw. H aus betrachtet jeweils der erste Teilungspunkt ist. I ist der Spiegelpunkt von F an E, J geht aus einer Sechstelung von AI hervor, wobei J von A aus betrachtet der erste Teilungspunkt ist. L entsteht durch Drittelung von BK und ist von K aus betrachtet der erste Teilungspunkt. M geht aus einer Viertelung von AL hervor und ist von L aus betrachtet der erste Teilungspunkt, N ist der Spiegelpunkt von M an A. T ist der Mittelpunkt der Diagonale DG, V sein Spiegelpunkt an U. a) Stelle eine Gleichung der Ebene ε durch die Punkte P, Q und R auf! b) g sei die Gerade durch G und J. Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts {S}=g ε und zeige, dass es sich bei S um den Schwerpunkt des Dreiecks PQR handelt! In welchem Verhältnis teilt er die Strecke GJ? c) Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und berechne die Koordinaten des Schnittpunkts {W}=g d) Zeige, dass auch N auf g liegt! e) Liegt R auf h (wie man anhand der gewählten Perspektive vermuten könnte)? 27) Der rechts abgebildete Würfel weist eine Seitenlänge von 12 auf, K und V sind Kantenmittelpunkte, S bzw. W ist ein Flächen(diagonalen)mittelpunkt. R und U entstehen durch Viertelung entsprechender Flächendiagonalen, T bzw. Q geht aus Spiegelung von U an A bzw. von W an V hervor. L bzw. P schließlich ist das Resultat einer Streckendrittelung (von AK bzw. von BV). a) Stelle eine Gleichung der Ebene ε durch die Punkte R, S und T auf! b) g sei die Gerade durch A und Q. Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts {S}=g ε und zeige, dass es sich bei S um den Schwerpunkt des Dreiecks RST handelt! In welchem Verhältnis teilt er die Strecke AQ? c) Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und berechne die Koordinaten des Schnittpunkts {M}=g In welchem Verhältnis teilt er die Strecke AQ? d) Zeige, dass auch P auf g liegt! und letztendlich abschließend Ergänzungen zu merkwürdigen Punkten des Dreiecks im Raum

14 28) Überprüfe für das konkrete Dreieck ABC[A(42 0 0), B(0 84 0), C( )] den folgenden Satz. 1 1 U a a Für den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks ABC mit den Eckpunkten A(2a 0 0), B(0 2b 0) und C(0 0 2c) gilt die gerahmte Darstellung.. 29) Überprüfe für das konkrete Dreieck ABC[A(14 0 0), B(0 21 0), C(0 0 42)] den folgenden Satz. Für den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks H a b c ( ) ( ) ( ) b c a b c a b c a b c 1 1 ( ) ( ) ( ) b c a b c a b c a b c 2 ABC mit den Eckpunkten A(a 0 0), B(0 b 0) und C(0 0 c) gilt die gerahmte Darstellung ) Der Würfel in der rechten Abbildung weist eine Seitenlänge von 392 auf. Dabei ist A der Mittelpunkt der Würfelkante EF, D jener der Kante EG und schließlich C der Spiegelpunkt von D an G. a) Zeige, dass die Drehachse d des Umkreises die rechte Würfelfläche in einem Punkt K der Würfelkante IJ schneidet und gib die Lage von K auf IJ durch ein vollständig gekürztes Teilverhältnis an! b) Zeige, dass die Parallele zu d durch H durch E geht! A b s c h l u s s: 31) Beweise allgemein folgenden Satz oder verifiziere ihn an einem Beispiel, indem du selbst drei ganze Zahlen für a, b und c in der Formel für U wählst [Hinweis: Bescheiden sein und beim Auftauchen von Brüchen in den Koordinaten von U das ursprüngliche Tripel (a b c) mit dem kgv der Nenner multiplizieren, was auf ein neues (zum ursprünglichen Tripel "ähnliches") Tripel und zu einem Umkreismittelpunkt mit ganzzahligen Koordinaten ("Gitterpunkt") führt]: Satz. Der Punkt P(a b c) liegt stets auf der Drehachse des Umkreises des Dreiecks ABC mit den Eckpunkten A(2a 0 0), B(0 2b 0) und C(0 0 2c). Gutes Gelingen beim Lösen dieser schönen Aufgaben! Wien, im Dezember Dr. Robert Resel, e. h.