Die Servietten-Vermutung. Clara L

Transkript

1 Die Servietten-Vermutung Clara L oh Universit at Regensburg

2 Die Servietten-Vermutung Einfaches Origami Zwischenüberlegung Theoretisches Origami Praktisches Origami Clara Löh 2 / 22

3 Die Servietten-Vermutung Servietten-Vermutung Es ist nicht möglich, ein quadratisches Blatt Papier (Serviette!) so zu falten, dass eine ebene Figur entsteht, deren Umfang größer ist als das ursprüngliche Quadrat. Clara Löh Die Servietten-Vermutung 3 / 22

4 Geschichte der Servietten-Vermutung Formulierung des Problems durch Margulis: 1996 (?) Clara Löh Die Servietten-Vermutung 4 / 22

5 Geschichte der Servietten-Vermutung Formulierung des Problems durch Margulis: 1996 (?) Formulierung des Problems durch Arnol d: 1956 Clara Löh Die Servietten-Vermutung 4 / 22

6 Geschichte der Servietten-Vermutung Formulierung des Problems durch Margulis: 1996 (?) Formulierung des Problems durch Arnol d: 1956 Lösung des Problems durch Lang: < 1990 (!) (basierend auf Techniken, die lange davor bekannt waren) Clara Löh Die Servietten-Vermutung 4 / 22

7 Geschichte der Servietten-Vermutung Formulierung des Problems durch Margulis: 1996 (?) Formulierung des Problems durch Arnol d: 1956 Lösung des Problems durch Lang: < 1990 (!) (basierend auf Techniken, die lange davor bekannt waren) einfache Lösung des Problems durch Tarasov: 2004 Clara Löh Die Servietten-Vermutung 4 / 22

8 Einfaches Origami Definition (einfaches Origami) Einfaches Origami besteht aus einer Aneinanderreihung von einfachen Origamischritten, ausgehend von einer ebenen Figur. Clara Löh Einfaches Origami 5 / 22

9 Einfaches Origami Definition (einfaches Origami) Einfaches Origami besteht aus einer Aneinanderreihung von einfachen Origamischritten, ausgehend von einer ebenen Figur. Ein einfacher Origamischritt faltet eine ebene Figur entlang einer Geraden (so dass wieder eine ebene Figur entsteht). Clara Löh Einfaches Origami 5 / 22

10 Einfaches Origami Definition (einfaches Origami) Einfaches Origami besteht aus einer Aneinanderreihung von einfachen Origamischritten, ausgehend von einer ebenen Figur. Ein einfacher Origamischritt faltet eine ebene Figur entlang einer Geraden (so dass wieder eine ebene Figur entsteht). Es muss immer die gesamte Figur entlang der Geraden gefaltet werden; das Falten einzelner Schichten ist nicht erlaubt! Clara Löh Einfaches Origami 5 / 22

11 Einfaches Origami und Serviettenumfang Satz (einfaches Origami vergrößert den Serviettenumfang nicht) Wendet man einfaches Origami auf ein Quadrat an, so ist der Umfang der entstehenden Figuren nie größer als der Umfang des Ausgangsquadrats. Clara Löh Einfaches Origami 6 / 22

12 Einfaches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Yaschenko). Orthogonale Projektion und die Dreiecksungleichung zeigen: Der neue Umfang ist nicht größer als der alte. Clara Löh Einfaches Origami 7 / 22

13 Einfaches Origami?! Aber... Im Normalfall sind bei Origami viel allgemeinere Faltschritte erlaubt als in der obigen Version von einfachem Origami. Clara Löh Einfaches Origami 8 / 22

14 Einfaches Origami?! Aber... Im Normalfall sind bei Origami viel allgemeinere Faltschritte erlaubt als in der obigen Version von einfachem Origami. Frage Ist es mit allgemeinerem Origami möglich, den Servietten-Umfang zu vergrößern? Clara Löh Einfaches Origami 8 / 22

15 Einfaches Origami?! Aber... Im Normalfall sind bei Origami viel allgemeinere Faltschritte erlaubt als in der obigen Version von einfachem Origami. Frage Ist es mit allgemeinerem Origami möglich, den Servietten-Umfang zu vergrößern? Kann man den Servietten-Umfang dann sogar beliebig vergrößern? Clara Löh Einfaches Origami 8 / 22

16 Zwischenüberlegung: Durchmesser Beobachtung Bei jeder vernünftigen Formalisierung von Origami können Punkte durch das Falten nicht weiter voneinander entfernt werden. Clara Löh Zwischenüberlegung 9 / 22

17 Zwischenüberlegung: Durchmesser Beobachtung Bei jeder vernünftigen Formalisierung von Origami können Punkte durch das Falten nicht weiter voneinander entfernt werden. Also: Der Durchmesser einer durch Origami resultierenden Figur kann höchstens so groß sein wie der Durchmesser der Ausgangsfigur (im Servietten-Problem: des Ausgangsquadrats). Clara Löh Zwischenüberlegung 9 / 22

18 Zwischenüberlegung: langer Umfang Folgerung Möchte man den Servietten-Umfang mit Origami beliebig vergrößern, muss man also zunächst Figuren von beschränktem Durchmesser und beliebig großem Umfang finden. Clara Löh Zwischenüberlegung 10 / 22

19 Zwischenüberlegung: langer Umfang Folgerung Möchte man den Servietten-Umfang mit Origami beliebig vergrößern, muss man also zunächst Figuren von beschränktem Durchmesser und beliebig großem Umfang finden.... Clara Löh Zwischenüberlegung 10 / 22

20 Langer Umfang, sparsamer Es geht auch sparsamer:... Clara Löh Zwischenüberlegung 11 / 22

21 Langer Umfang, sparsamer Es geht auch sparsamer:... Nämlich: Jeweils n 2 Zacken der Länge 1 2 n Clara Löh Zwischenüberlegung 11 / 22

22 Langer Umfang, sparsamer Es geht auch sparsamer:... Nämlich: Jeweils n 2 Zacken der Länge Dies ergibt eine Gesamtlänge von n n = n. 1 2 n Clara Löh Zwischenüberlegung 11 / 22

23 Langer Umfang, sparsamer Es geht auch sparsamer:... Nämlich: Jeweils n 2 Zacken der Länge Dies ergibt eine Gesamtlänge von n n = n. 1 2 n Genau dieses Verfahren werden wir im folgenden verwenden! Clara Löh Zwischenüberlegung 11 / 22

24 Theoretisches Origami Definition (theoretisches Origami) Theoretisches Origami sind Abbildungen f von einem Quadrat Q nach R 2 mit folgender Eigenschaft: Clara Löh Theoretisches Origami 12 / 22

25 Theoretisches Origami Definition (theoretisches Origami) Theoretisches Origami sind Abbildungen f von einem Quadrat Q nach R 2 mit folgender Eigenschaft: Es gibt eine Triangulierung von Q, so dass f auf jedem Dreieck dieser Triangulierung eine Isometrie ist. Clara Löh Theoretisches Origami 12 / 22

26 Theoretisches Origami Definition (theoretisches Origami) Theoretisches Origami sind Abbildungen f von einem Quadrat Q nach R 2 mit folgender Eigenschaft: Es gibt eine Triangulierung von Q, so dass f auf jedem Dreieck dieser Triangulierung eine Isometrie ist. Dabei wird keine konkrete Faltanleitung gegeben; es wird noch nicht einmal spezifiziert in welcher Reihenfolge die Schichten übereinanderliegen! Clara Löh Theoretisches Origami 12 / 22

27 Theoretisches Origami und Serviettenumfang Satz (theoretisches Origami vergrößert den Serviettenumfang) Sei L > 0. Man kann mit theoretischem Origami aus einem Quadrat ebene Figuren erhalten, deren Umfang größer als L ist. Clara Löh Theoretisches Origami 13 / 22

28 Theoretisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Pak). Seien n, k N >0. Clara Löh Theoretisches Origami 14 / 22

29 Theoretisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Pak). Seien n, k N >0. Basismodul/Büchlein mit k Segmenten: Clara Löh Theoretisches Origami 14 / 22

30 Theoretisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Pak). Seien n, k N >0. Basismodul/Büchlein mit k Segmenten: Unterteilung des Quadrats in n 2 Quadrate: Clara Löh Theoretisches Origami 14 / 22

31 Theoretisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Pak). Seien n, k N >0. Basismodul/Büchlein mit k Segmenten: Unterteilung des Quadrats in n 2 Quadrate: Zusammenlegen der n 2 Büchlein: Clara Löh Theoretisches Origami 14 / 22

32 Theoretisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Pak). Seien n, k N >0. Basismodul/Büchlein mit k Segmenten: Unterteilung des Quadrats in n 2 Quadrate: Zusammenlegen der n 2 Büchlein: Auseinanderfächern der Seiten der Büchlein: Clara Löh Theoretisches Origami 14 / 22

33 Theoretisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Pak). Seien n, k N >0. Basismodul/Büchlein mit k Segmenten: Unterteilung des Quadrats in n 2 Quadrate: Zusammenlegen der n 2 Büchlein: Auseinanderfächern der Seiten der Büchlein: Umfang: Für n, k wird der Umfang beliebig groß. Clara Löh Theoretisches Origami 14 / 22

34 Theoretisches Origami?! Aber... Es ist nicht klar, dass alle Schritte des theoretischen Origamis praktisch umsetzbar sind, da theoretisches Origami die Anordnung der Blattschichten nicht berücksichtigt. Clara Löh Theoretisches Origami 15 / 22

35 Praktisches Origami Definition (praktisches Origami) Erlaubt sind alle Schritte, die im klassischen Origami erlaubt sind, inklusive Einsinken etc. Clara L oh Praktisches Origami 16 / 22

36 Praktisches Origami und Serviettenumfang Satz (praktisches Origami vergrößert den Serviettenumfang) Sei L > 0. Man kann mit praktischem Origami aus einem Quadrat ebene Figuren erhalten, deren Umfang größer als L ist. Clara Löh Praktisches Origami 17 / 22

37 Praktisches Origami, erste Schritte Satz (praktisches Origami vergr oßert den Serviettenumfang ein bisschen) Man kann mit praktischem Origami aus einem Einheitsquadrat ebene Figuren erhalten, deren Umfang gr oßer als 4 ist. Clara L oh Praktisches Origami 18 / 22

38 Praktisches Origami, erste Schritte Satz (praktisches Origami vergr oßert den Serviettenumfang ein bisschen) Man kann mit praktischem Origami aus einem Einheitsquadrat ebene Figuren erhalten, deren Umfang gr oßer als 4 ist. Beweisskizze (Lang). Quadrat Clara L oh Vogelbasis Doppelt einsinken Praktisches Origami Um-/ Ausklappen 18 / 22

39 Praktisches Origami, erste Schritte Satz (praktisches Origami vergr oßert den Serviettenumfang ein bisschen) Man kann mit praktischem Origami aus einem Einheitsquadrat ebene Figuren erhalten, deren Umfang gr oßer als 4 ist. Beweisskizze (Lang). Quadrat Vogelbasis Doppelt einsinken Um-/ Ausklappen Umfang: ungef ahr > 4. Clara L oh Praktisches Origami 18 / 22

40 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Lang). Sei n N >0. Clara Löh Praktisches Origami 19 / 22

41 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Lang). Sei n N >0. Kombiniere (n 1) 2 Vogelbasen: Dies liefert eine Basis mit n 2 lange Spitzen. Clara Löh Praktisches Origami 19 / 22

42 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Lang). Sei n N >0. Kombiniere (n 1) 2 Vogelbasen: Dies liefert eine Basis mit n 2 lange Spitzen. Ausdünnen der Spitzen durch häufiges Einsinken. Clara Löh Praktisches Origami 19 / 22

43 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Lang). Sei n N >0. Kombiniere (n 1) 2 Vogelbasen: Dies liefert eine Basis mit n 2 lange Spitzen. Ausdünnen der Spitzen durch häufiges Einsinken. Umfang: ungefähr n 2 n 1. Clara Löh Praktisches Origami 19 / 22

44 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Tarasov). Seien n, k N>0. Clara L oh Praktisches Origami 20 / 22

45 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Tarasov). Seien n, k N>0. I Clara L oh Basismodul mit k Segmenten: Praktisches Origami 20 / 22

46 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Tarasov). Seien n, k N>0. I Basismodul mit k Segmenten: I Unterteilung des Quadrats in n2 Quadrate, F arbung im Schachbrettmuster Clara L oh Praktisches Origami 20 / 22

47 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Tarasov). Seien n, k N>0. I Basismodul mit k Segmenten: I Unterteilung des Quadrats in n2 Quadrate, F arbung im Schachbrettmuster I Zusammenfalten: zun achst als Girlande, dann als Dreieck Clara L oh Praktisches Origami 20 / 22

48 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Tarasov). Seien n, k N>0. I Basismodul mit k Segmenten: I Unterteilung des Quadrats in n2 Quadrate, F arbung im Schachbrettmuster I Zusammenfalten: zun achst als Girlande, dann als Dreieck I Basismodule ausklappen, zu einem Kamm. Clara L oh Praktisches Origami 20 / 22

49 Praktisches Origami und Serviettenumfang, Beweis Beweisskizze (Tarasov). Seien n, k N>0. I Basismodul mit k Segmenten: I Unterteilung des Quadrats in n2 Quadrate, F arbung im Schachbrettmuster I Zusammenfalten: zun achst als Girlande, dann als Dreieck I Basismodule ausklappen, zu einem Kamm. I Umfang: F ur n, k wird der Umfang beliebig groß. Clara L oh Praktisches Origami 20 / 22

50 Praktisches Origami?! Aber... Kann man nicht vielleicht doch auch mit einfacheren Faltschritten den Serviettenumfang beliebig vergrößern? Clara Löh Praktisches Origami 21 / 22

51 Praktisches Origami?! Aber... Kann man nicht vielleicht doch auch mit einfacheren Faltschritten den Serviettenumfang beliebig vergrößern? Clara Löh Praktisches Origami 21 / 22

52 Praktisches Origami?! Aber... Kann man nicht vielleicht doch auch mit einfacheren Faltschritten den Serviettenumfang beliebig vergrößern? Dies ist ein offenes Problem! Clara Löh Praktisches Origami 21 / 22

53 Literatur J. Montroll, R.J. Lang. Origami Sea Life, Dover Publications, R.J. Lang. Origami Design Secrets, A K Peters, I. Pak. Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry, pak/book.htm A.S. Tarasov. Solution of Arnold s folded ruble problem, Chebyshevski Sb. 5, 1(9), I. Yaschenko. Make your Dollar bigger now!!!, Math Intelligencer, 20(2), The folded rouble, Clara Löh Praktisches Origami 22 / 22