Vom Strahlensatz zum Strahlensatz Motive und Phänomene

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1 Hans Walser Vom Strahlensatz zum Strahlensatz Motive und Phänomene GDM Jahresversammlung 2015 Basel ebruar 2015 Zusammenfassung Ausgehend von einem didaktischen ehler ergibt sich eine Gedankenreise, welche beim Strahlensatz beginnt und über verschiedene Stationen wie Parabel, projektive Geometrie, Symmetrie, altgeometrie und rechte Winkel wieder zum Strahlensatz führt.

2 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 2 / 15 1 altgeometrie Auf der Rückseite eines Blattes (Querformat) tragen wir am unteren Rand zwei mal drei Marken ein (Abb. 1a). Dann wenden wir das Blatt und wählen einen Punkt (Abb. 1b). Abb. 1: Zwei mal drei Marken. Punkt wählen Nun falten wir die erste Markierung auf den Punkt ein und wieder zurück (Abb. 2). Abb. 2: Erster altschritt Nun falten wir die zweite Markierung auf den Punkt ein und wieder zurück (Abb. 3). Abb. 3: Zweiter altschritt Schließlich erhalten wir zwei Scharen von je drei altlinien (Abb. 4a). Die wechselseitigen Schnittpunkte teilen jeweils auf jeder Schar im gleichen Verhältnis (Abb. 4b). Das ist auch das Verhältnis der ursprünglich gewählten Marken (Abb. 1a).

3 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 3 / 15 Abb. 4: altlinien. Teilverhältnisse Diese Situation erinnert an den Strahlensatz. 2 Strahlensatz In der Strahlensatzfigur (Abb. 5) haben wir aber einerseits eine Schar von parallelen Geraden und andererseits eine Schar von Geraden durch einen Punkt. Das sind begrifflich asymmetrische Vorgaben. Die Satzaussage ist aber symmetrisch: in beiden Geradenscharen sind je entsprechende Teilverhältnisse gleich. Abb. 5: Strahlensatzfigur Die altfigur der Abbildung 4b ist begrifflich symmetrisch. Ebenso erhalten wir eine begrifflich symmetrische igur mit Winkeleisen (Abb. 6). Dazu verfahren wir wie folgt.

4 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 3 4 / 15 Winkeleisen Abb. 6: Winkeleisen: Anschlagwinkel und Spenglerwinkel Wir beginnen mit einem Punkte und einer nicht durch verlaufenden Geraden t. Nun passen wir gemäß Abbildung 7 zwei Sets von je drei rechten Winkeln (rote und blaue Winkeleisen ) ein so, dass die Scheitel der rechten Winkel auf t liegen und jeweils ein Schenkel durch verläuft. Die anderen Schenkel schneiden sich wechselseitig. t Abb. 7: Winkeleisen Diese Schnittpunkte unterteilen die roten Schenkel im gleichen Verhältnis. Im Beispiel der Abbildung 7 ist es das Verhältnis 2:1. Ebenso unterteilen sie die blauen Schenkel im gleichen Verhältnis. Im Beispiel der Abbildung 7 ist es das Verhältnis 5:2. Wir sind geneigt in unserem Anschauungsraum die igur räumlich zu interpretieren. Dann allerdings haben wir das Gefühl, dass die auf uns zukommende Ebene nach unten hängt. Das hängt damit zusammen, dass die igur keine perspektivische Darstellung ist. 4 Beweis Wir legen ein Koordinatensystem gemäß der Abbildung 8 zugrunde. Als x-achse wählen wir die Gerade t. Der Punkt habe die Koordinaten (0, 1). Wir wählen exemplarisch einen roten Winkel mit dem Scheitelpunkt (a, 0) und einen blauen Winkel mit dem Scheitelpunkt (b, 0).

5 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 5 / 15 y (0, 1) (b, 0) S (a, 0) t x Abb. 8: Koordinaten Der zweite rote Schenkel hat die Gleichung y = ax a 2, der zweite blaue Schenkel die Gleichung y = bx b 2. ür den Schnittpunkt S der beiden Schenkel ergeben sich die Koordinaten S a + b, ab ( ). Summe und Produkt, die beiden einfachen Gottesgaben. Die drei roten Winkel und die drei blauen Winkel der Abbildung 1 nummerieren wir mit i { 1,2,3} beziehungsweise j { 1,2, 3}. Die Scheitel dieser Winkel seien bei ( a i,0) beziehungsweise ( b j,0). Der Punkt S ij als Schnittpunkt des i-ten roten Schenkels mit dem j-ten blauen Schenkel ( ). hat die Koordinaten S ij a i + b j, a i b j Nun berechnen wir das Teilverhältnis auf dem i-ten roten Schenkel: ür die Strecke S i1 S i2 erhalten wir: S i1 S i2 = a i + b 2 (( ) ( a i + b 1 )) 2 + ( a i b 2 a i b 1 ) 2 = ( b 2 b 1 ) a i ( b2 b 1 ) 2 = b 2 b 1 1+ a i 2 Analog ergibt sich für die Strecke S i2 S i3 : S i2 S i3 = b 3 b 2 1+ a i 2 Bei der Verhältnisbildung kürzt sich der Wurzelfaktor heraus: S i1 S i2 :S i2 S i3 = b 2 b 1 : b 3 b 2 Wir sehen, dass das Teilverhältnis unabhängig vom Index i ist, das heißt, es ist auf allen roten Schenkeln gleich. Es ist zudem gleich dem Teilverhältnis der Scheitel der drei blauen Winkel. Aus Symmetriegründen gilt das Analoge für die Teilverhältnisse auf den blauen Schenkeln. Im Abschnitt 14.1 eine Beweisvariante, die mit Sehnenvierecken arbeitet.

6 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 6 / 15 5 Link zum Strahlensatz Wir modifizieren die igur der Abbildung 7, indem wir mit dem Punkt gegen die Gerade t streben. Die beiden Winkelscharen behandeln wir aber ungleich, um die für den Strahlensatz nötige Asymmetrie zu erreichen. Bei den blauen Winkeln lassen wir die Scheitelpunkte auf t fest. Diese Winkel werden also gedreht. Bei den roten Winkeln lassen wir die Richtungen fest. Diese Winkel werden parallel verschoben. Da die Teilverhältnisse bei den Winkelscheiteln sich nicht verändern, bleiben auch die Teilverhältnisse auf den Schenkeln invariant. Die Abbildung 9 illustriert diesen Modifikationsprozess in mehreren Schritten. Im Grenzfall mit auf t stehen die blauen Schenkel senkrecht auf t, sind also untereinander parallel. Die roten Schenkel verlaufen durch. Wir haben den gewöhnlichen Strahlensatz. t t t t t 6 Motivation Abb. 9: Modifikation Auf einem Arbeitsblatt (8. Schuljahr) ist zu lesen: Eigenschaften der Trapeze Jedes Trapez hat ein Paar gegenüberliegender paralleler Seiten. Beide Mittellinien halbieren sich. Da wurde moniert, das sei zwar fachlich richtig, aber didaktisch falsch. Die erste Zeile sei definierend für die Trapeze, die zweite Zeile gelte aber für jedes Viereck (Abb. 10a). Vielleicht sollte hier speziell auf die Mittellinien hingewiesen werden, weil eine davon nachher für die lächenformel gebraucht wird.

7 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 7 / 15 Abb. 10: Mittellinien halbieren sich Die Halbierungseigenschaft kann über das diagonalenparallele Parallelogramm nachgewiesen werden, welches durch die Seitenmitten des allgemeinen Viereckes aufgespannt wird (Abb. 10b). Dieser didaktische ehler erwies sich als sehr anregend: was ist, wenn Mitte und halbieren durch Drittel und dritteln ersetzt wird? 7 Dritteln Dritteln sich Drittellinien gegenseitig? Der Sonderfall des Trapezes erweist sich als einfach, da wir den Strahlensatz anwenden können (Abb. 11a). Abb. 11: Sonderfall Trapez. Allgemeines Viereck Wir vermuten aufgrund der Zeichnung (Abb. 11b), dass sich auch im allgemeinen all die Drittellinien gegenseitig dritteln. Wie ist es mit anderen Teilverhältnissen? Im Abschnitt 14.2 ein elementarer Beweis für die Drittelung im allgemeinen Viereck. Die Abbildung 12 zeigt die Situation bei Viertelung und Achtelung. Wir können Parallelogramme einpassen.

8 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 8 / 15 Abb. 12: Viertel-Linien und Achtel-Linien Die Parallelogramme liegen allerdings nicht schön in einer lucht. 8 Zwischenspiel: Perspektive Die Abbildung 13 zeigt das projektive Bild eines Schachbrettes, ein so genanntes Moebiusnetz. Abb. 13: Schachbrett und Weg des Läufers Im Unterschied zur Abbildung 12 sind die blauen Vierecke keine Parallelogramme. Dafür sind sie stimmig. 9 Beweis für den allgemeinen all Wir teilen zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks im Verhältnis λ, die beiden anderen Seiten im Verhältnis μ. Wir verbinden dann die Teilpunkte gegenüberliegender Seiten. Zu zeigen ist: diese Verbindungslinien teilen sich gegenseitig in den Verhältnissen λ und μ. Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 14. C C D H D H µ µ I B I G µ G µ µ µ E E A A a) b) Abb. 14: Beweisidee Zunächst teilen wir die Seiten AB und DC im gleichen Verhältnis λ. Es ist also:!!! " AE = λ AB und D = λ DC In der Abbildung 14 ist λ = 0.2. Dann teilen wir die Strecken AD, BC und E im gleichen Verhältnis μ: AG = µad,! BH = µbc, EI = µe B

9 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 9 / 15 In der Abbildung 14 ist μ = Zu zeigen ist: Die Punkte G, I und H sind kollinear, also GI = ηgh Das ist eine Vektorerei. Es ist:!!! " AG = µ ( AB + BC + CD )!!! " EI = µ ( 1 λ)ab + BC + ( 1 λ)cd Weiter ist: Und weiter: Somit ist: ( )!!! "!!! "!!! "!!! " AI = λ AB + EI = λ AB + µab λµab + µbc + µcd λµcd!!! " AH = AB + µbc Somit sind die Punkte G, I und H kollinear. 10 Viereckraster!!! "!!! " GI = AI AG = λ AB λµab λµcd GH =! AH! AG!!! "!!! " = AB µab µcd GI = λgh ür ganze Zahlen λ und μ erhalten wir ein Viereckraster wie folgt. Wir verlängern die Viereckseiten und tragen Vielfache der Seitenlängen ab (Abb. 15a). Abb. 15: Erster Schritt. Ergänzung zum Viereckraster

10 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 10 / 15 Anschließend ergänzen wir zum Viereckraster (Abb. 15b). Jede Rasterlinie der einen Schar wird von den Rasterlinien der anderen Schar in gleichmäßigen Abständen geschnitten. Wir sehen, dass sich beim Überschneiden der Linien was Spannendes anbahnt. 11 Parabel Wenn wir das Viereckraster fortsetzen, überschneiden sich die Rasterlinien. Als Enveloppe entsteht eine Kurve (Abb. 16). Die Kurve sieht aus wie eine Parabel, es könnte aber auch eine Ellipse sein. Was nun? 12 Sichtumkehr: Beginn mit Parabel Abb. 16: Parabel Wir zeichnen zweimal drei Tangenten an eine Parabel und bestimmen exemplarisch die Teilverhältnisse zwischen den wechselseitigen Schnittpunkten (Abb. 17).

11 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 11 / 15 2:1 2:1 2:1 5:2 5:2 Abb. 17: Tangenten an Parabel Wenn wir dasselbe Spielchen mit einem Kreis machen (Abb. 18a), haben wir zwar wieder Winkeleisen wie in der Abbildung 7, aber keine konstanten Teilverhältnisse. Mit einer Ellipse kann es daher auch nicht funktionieren, das sich eine Ellipse mit einer affinen Abbildung unter Erhaltung der Teilverhältnisse auf einen Kreis abbilden lässt. 5:2 1.80:1 1.91:1 2.05:1 1.76:1 1.66:1 1.78:1 2.17:1 3.06:1 2.58:1 2.31:1 2.21:1 1.52:1 Abb. 18: Mit dem Kreis und Hperbel funktioniert es nicht Auch mit der Hyperbel (Abb. 18b) ist nichts zu wollen. Die Parabel, der Exot unter den Kegelschnitten, ist also der interessante all. 13 Zirkel und Lineal Die Kegelschnitte können punktweise mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. ür die Parabel benötigen wir eine Gerade (Leitlinie) und einen Punkt (Brennpunkt). Die Abbildung 19 illustriert exemplarisch die Konstruktionen von zwei Punkten. Die jeweils gleichfarbigen Abstände sind gleich groß.

12 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 12 / 15 Brennpunkt Leitlinie Abb. 19: Konstruktion von Parabelpunkten Die Tangenten ergeben sich als Mittelsenkrechte (Abb. 20). Brennpunkt Leitlinie Abb. 20: Tangenten als Mittelsenkrechte In unserem Beispiel aus der altgeometrie (Abb. 4) spielen der Punkt die Rolle des Brennpunktes und die untere Papierkante die Rolle der Leitlinie. Die rechten Winkel in der Abbildung 20 liegen auf der Scheiteltangente der Parabel (Abb. 21). Dabei erkennen wir auch wieder die Winkeleisen der Abbildung 7.

13 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 13 / 15 Brennpunkt Scheiteltangente Leitlinie Damit schließt sich der Gedankenkreis. 14 Ergänzungen und Variationen Abb. 21: Scheiteltangente und Winkeleisen Im olgenden einige Ergänzungen, die mir von Kolleginnen und Kollegen zugekommen sind Sehnenvierecke Der im Abschnitt 4 vorgestellte Beweis lässt sich auch mit Sehnenvierecken durchführen. Die Idee dazu verdanke ich Emese Vargyas, Mainz. Die Abbildung 22 entspricht der Abbildung 8; das Koordinatensystem ist weggelassen. Wegen der rechten Winkel bei A und B ist das Viereck SAB ein Sehnenviereck (Abb. 22a). In der Abbildung 22b ist zusätzlich das Sehnenviereck CAB eingezeichnet. In diesem Viereck gilt ab = fs. Dabei ist s auch der Abstand von S von der Geraden AB. f b a B A t B s s A S C S C Abb. 22: Sehnenviereck In der Abbildung 23 sind nun drei blaue rechte Winkel eingetragen.

14 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 14 / 15 f B 1 B 2 B 3 A s1 S 1 S 2 s 2 b 3 s 3 S 3 a Dabei gilt: Abb. 23: Drei blaue rechte Winkel ab i = fs i s i = a f b i s 1 : s 2 : s 3 = b 1 :b 2 :b 3 Somit ist auch: AS 1 : AS 2 : AS 3 = s 1 : s 2 : s 3 = b 1 :b 2 :b 3 S 1 S 2 : S 2 S 3 = B 1 B 2 : B 2 B 3 Das Teilverhältnis auf dem roten Schenkel ist also unabhängig von der Position des Punktes A. ür diese Überlegungen benötigen wir die gewöhnlichen Strahlensätze Dritteln Der Nachweis, dass sich Drittellinien gegenseitig dritteln (Abb. 11b) lässt sich mit folgender Überlegung von Hans Humenberger, Wien, führen. R S T P Q Abb. 24: Drittellinien

15 Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz. Motive und Phänomene 15 / 15 Die schwarzen Linien in der Abbildung 24 sind parallel zu den Viereckdiagonalen. Auf Grund der gewöhnlichen Strahlensätze ist die Strecke PQ doppelt so lang wie die Strecke RS. Daher drittelt der Schnittpunkt T die Strecken PS und QR ( X-igur ). Analog für die übrigen Schnittpunkte der roten und blauen Strecken. Last modified: 20. ebruar 2015