Ein einfaches Fliesenmuster
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- Victor Hofmann
- vor 6 Jahren
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1 Ein einfaches Fliesenmuster Auf einer quadratischen Fliese sind zwei einander gegenüberliegende Viertelkreis-Bögen als Muster eingezeichnet. Wenn man die Fliese um 90 dreht, ergibt sich zwar kein anderes Muster, aber bei größeren Flächen, die mit der Fliese ausgelegt werden sollen, spielt es schon eine Rolle, welche der beiden möglichen Lagen gewählt wird. Lage A Lage B Legt man eine quadratische Fläche mit vier von diesen Fliesen aus, dann hat man 2 4 = 16 Möglichkeiten der Kombination 1 Möglichkeit mit 4 Fliesen in Lage A 4 Möglichkeiten mit 3 Fliesen in Lage A und 1 Fliese in Lage B 6 Möglichkeiten mit 2 Fliesen in Lage A und 2 Fliesen in Lage B 4 Möglichkeiten mit 1 Fliese in Lage A und 3 Fliesen in Lage B 1 Möglichkeit mit 4 Fliesen in Lage B Es entstehen verschiedene 4er-Muster, aber einige stimmen bis auf eine Drehung der 4er-Quadratfläche überein. Seite 1 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
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4 Wie viele tatsächlich verschiedene 4er-Muster treten auf? Welche tatsächlich unterschiedlichen 9er-Muster sind möglich? Es gibt insgesamt 1 Möglichkeit mit 9 Fliesen in Lage A 9 Möglichkeiten mit 8 Fliesen in Lage A und 1 Fliese in Lage B 36 Möglichkeiten mit 7 Fliesen in Lage A und 2 Fliesen in Lage B 84 Möglichkeiten mit 6 Fliesen in Lage A und 3 Fliesen in Lage B 126 Möglichkeiten mit 5 Fliesen in Lage A und 4 Fliesen in Lage B 126 Möglichkeiten mit 4 Fliesen in Lage A und 5 Fliesen in Lage B 84 Möglichkeiten mit 3 Fliesen in Lage A und 6 Fliesen in Lage B 36 Möglichkeiten mit 2 Fliesen in Lage A und 7 Fliesen in Lage B 9 Möglichkeiten mit 1 Fliese in Lage A und 8 Fliesen in Lage B 1 Möglichkeit mit 9 Fliesen in Lage B Hier einige Beispiele Seite 4 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
5 A A A B A B Seite 5 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
6 B A B A B A Seite 6 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
7 Fliesenmuster aus gleichseitigen Dreiecken Auch in einem gleichseitigen Dreieck kann man ein ähnliches Muster erzeugen: Die abgebildete Fliese kann auch gedreht werden Mithilfe dieser Fliese kann man ein regelmäßiges Sechseck auslegen, z. B. Seite 7 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
8 Symmetrische Figuren aus gleichseitigen Dreiecken und Quadraten Die Dreieck- und Viereckfliesen können auch verwendet werden, um ein regelmäßiges 12-Eck auszulegen. Seite 8 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
9 Es gibt auch noch andere Möglichkeiten, gleichseitige Dreiecke und Quadrate zu achsen- und/oder punktsymmetrischen Formen zu kombinieren. Welche schönen Muster ergeben sich, wenn man die abgebildeten Formen mit den o. a. Fliesen auslegt? Seite 9 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
10 Parkettierung einer Ebene mit den o. a. Fliesen Dass man die Ebene vollständig mit gleichseitigen Dreiecken und Quadraten auslegen kann, wird in Kap. 3 von Mathematik ist wunderschön dargestellt. Dies kann z. B. mithilfe von abwechselnd senkrecht und waagerecht liegenden Diamanten aus zwei aneinander liegenden gleichseitigen Dreiecken geschehen, zwischen denen Quadrate liegen. Wie aus den beiden folgenden Abbildungen ablesbar, kann man hier sechs nebeneinanderliegende Flächenstücke zu einem Puzzlestück zusammenfassen, sodass die gesamte Ebene aus lauter gleichartigen Puzzlestücken bedeckt werden kann. Hinweis: Das abgebildete Dreieck-Quadrat-Raster kann als Druckvorlage von der zum Buch Mathematik ist wunderschön gehörenden Internetseite des Springer-Verlags heruntergeladen werden. Seite 10 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
11 Welches Parkettierungsmuster der Ebene entsteht, wenn man ausschließlich das folgende Puzzlestück verwendet? Gibt es noch weitere geeignete Puzzlestücke, mit denen sich ein durchgängiges Muster für die Ebene erzeugen lässt? Eine weitere Möglichkeit der Parkettierung einer Ebene durch regelmäßige Sechsecke (= sechs gleichseitige Dreiecke), Quadrate und gleichseitige Dreiecke kann aus der oben abgebildeten 12-Eck-Parkettierung entwickelt werden; dabei haben je zwei benachbarte 12-Ecke zwei Dreiecke und ein Quadrat gemeinsam. Man kann aber auch regelmäßige Zwölfecke so aneinander legen, wie in folgenden Grafik zu sehen ist. Die Lücken zwischen den 12-Ecken lassen sich durch gleichseitige Dreiecke füllen. Eine weitere Möglichkeit der Parkettierung der Ebene ergibt sich, wenn man abwechselnd Quadrate und regelmäßige Sechsecke an die Seiten eines regelmäßigen Zwölfecks anlegt. Seite 11 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
12 (Abbildungen aus Mathematik ist wunderschön, Kap.3) Füllt man die Lücken zwischen den 12-Ecken mit gleichseitigen Dreiecken ohne Muster, dann ergeben sich schöne Muster zur Parkettierung der Ebene: Parkettierung der Ebene mithilfe der 12-Eck-Parkettierung vom Typ 1 bzw. vom Typ 2 Parkettierung der Ebene mithilfe der Kombination von zwei 12-Eck-Parkettierungen (Typ 1 und Typ 2 bzw. Typ 1 und Typ 8) Seite 12 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
13 Parkettierung der Ebene mithilfe der Kombination von zwei 12-Eck-Parkettierungen (Typ 4 und Typ 9) bzw. der Kombination von drei 12-Eck-Parkettierungen (Typ 1, Typ 4 und Typ 9) Nachtrag Die betrachteten Fliesen erinnern an ein Legespiel mit sechseckigen Puzzlestücken, das unter dem Namen Tantrix angeboten wird (Abb. Wikipedia). Man muss nicht alle Elemente von Tantrix verwenden, wenn man ein Muster für ein Straßenpflaster sucht: Eine der Formen kann durchaus genügen wie man auf einem Gehweg in Puerto de la Cruz / Teneriffa sehen kann. Seite 13 / 13 Heinz Klaus Strick 09/2017
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