Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)

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1 Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier oder Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere V1 Geometrie in der Grundschule V2 Räumliches Vorstellungsvermögen V3 Entwicklung geometrischen Denkens V4 Ebene Figuren - Vierecke V5 Ebene Figuren - Dreiecke V6 Ebene Figuren Kreise und Vielecke V7 Körper - Überblick V8 Körper Flächen, Netze, Bauen V9 Symmetrie; Parkettieren V10 Zeichnen und Konstruieren V11 Zusammenfassung Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1) 1

2 V 9 Symmetrie; Parkettieren symmetria (gr.) das Ebenmaß 2

3 Programm 1 Symmetrieverständnis von Schulanfängern 2 Lehrpläne, Bildungsstandards 3 Fachliche Voraussetzungen 4 Heranführen im Geometrieunterricht 5 Parkettieren 3

4 Symmetrie fundamentale Idee des Geometrieunterrichts von großer Bedeutung für unser Auffassungs- und Gliederungsvermögen (Symmetrische Figuren werden vom Gehirn schneller analysiert und gespeichert als asymmetrische.) symmetrisches Empfinden schon bei Schulanfängern ausgeprägt 4

5 1 Symmetrieverständnis von Schulanfängern Gräser/Mede (1997) Architektur einer Doppelgarage besprechen und skizzieren linksseitig vorgegebene Figur vervollständigen Erkenntnis: symmetrische Eigenschaften können erfasst und dargestellt werden 5

6 Doppelgarage zeichnen Figuren vervollständigen 6

7 Höglinger/Senftleben 1997 Malermeister Klecks soll 4 Bilder zeichnen... Herz, Dreieck, Leiter, Stern Kannst du mir die Bilder fertig zeichnen? 7

8 Ergebnisse: Herz, Dreieck: 70% erfolgreich Leiter, Stern: 25% erfolgreich 8

9 Kurina/Ticha/Hospesova 1997 Zeichne das folgende Bild fertig. Ergebnisse: 88% zeichneten symmetrisch oder fast symmetrisch. 9

10 Zusammenfassung viele Vorerfahrungen, wenn die Symmetrieachse vertikal ist (Alltagserfahrung) Liegt die Achse horizontal oder schräg zur Blattkante, haben auch ältere Schüler noch Probleme. 10

11 2 Lehrpläne und Bildungsstandards

12 Rahmenplan Rheinland-Pfalz 2014

13 Kernlehrplan Saarland 2009 Kl. 1/2 Einfache geometrische Abbildungen untersuchen einfache symmetrische Muster erkennen und fortsetzen achsensymmetrische Figuren herstellen, untersuchen 13

14 Kl. 3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen Kl. 4 Symmetrische Muster (spiegeln, legen, ergänzen) Figuren und Achsensymmetrie Rechtecke und Quadrate diagonal teilen, Flächen anders zusammensetzen Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen Ebene Figuren identisch abbilden, vergrößern und verkleinern Symmetrische Muster erkennen, fortsetzen, selbst entwickeln 14

15 Bildungsstandards Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen beschreiben und nutzen Symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln 15

16 3 Fachliche Voraussetzungen Eine Figur heißt symmetrisch genau dann, wenn sie bei einer von der identischen Abbildung verschiedenen Bewegung auf sich selbst abgebildet werden kann. 16

17 Folgende Kriterien und zugehörige Sprechweisen sind zu unterscheiden: Symmetrie als Eigenschaft einer Figur Symmetrie als Beziehung zwischen Figuren 17

18 Symmetrie als Eigenschaft von Figuren Der Schmetterling ist achsensymmetrisch. Der Propeller ist drehsymmetrisch. 18

19 Symmetrie als Beziehung zwischen Figuren Zwei Figuren sind zueinander symmetrisch. 19

20 punktsymmetrische Figuren Die Buchstaben N, S und Z sind punktsymmetrische Figuren. eine richtige und eine falsche Spielkarte 20

21 drehsymmetrische Figuren Schon Grundschulkindern kann bewusst werden, dass es verschiedene Grade von Drehungen gibt (durch die die Figuren mit sich selbst zur Deckung kommen). 21

22 Symmetrien in geometrischen Figuren Parallelogramm: punktsymmetrisch. Rechteck: punktsymmetrisch, achsensymmetrisch gleichseitiges Dreieck: achsensymmetrisch, drehsymmetrisch regelmäßiges Fünfeck: achsensymmetrisch, drehsymmetrisch allgemeines Trapez: nicht symmetrisch 22

23 Symmetrien im Haus der Vierecke 23

24 Symmetrien regelmäßiger Vielecke Jedes regelmäßige Vieleck enthält so viele Drehungen wie das Vieleck Ecken hat und ebenso viele Spiegelungen. 24

25 4 Heranführen im Geometrieunterricht Einstiegsidee 1: Bild Schmetterling. Wie sieht die andere Hälfte des Schmetterlings aus? Woher weißt du das so genau? 25

26 Begriffe und Zusammenhänge sprachlich benennen! 26

27 Was habt ihr heute in Mathe gemacht? Wir haben mit dem Spiegel gearbeitet? Und was hast du gelernt?? Figuren mit gleichen Hälften sind symmetrisch. Kennst du andere Figuren (Gegenstände), die symmetrisch sind? Die Faltlinie heißt Symmetrieachse. Wenn man zwei Hälften einer Figur über eine Faltlinie genau aufeinanderlegen kann, sind sie symmetrisch. Die beiden Hälften sind deckungsgleich (kongruent). Ob eine Figur symmetrisch ist, kann man auch mit dem Spiegel zeigen: Man stellt einen Spiegel auf die Faltlinie und sieht das deckungsgleiche Stück im Spiegel. Die Faltlinie kann man deshalb auch Spiegelachse nennen. 27

28 Einstiegsidee 2 Mit beiden Händen gemalt 28 Quelle: Matheprofis 2

29 Einstiegsidee 3 Suche die Fehler, die der Zeichner beim Spiegelbild des Sees gemacht hat. 29

30 Einstiegsidee 4 Entdecken von Symmetrien in der Umwelt 30

31 Aktivitäten: (1) Symmetrische Figuren erzeugen (2) Symmetrien in Figuren erkennen; Symmetrieachsen einzeichnen Falten Symmetrieachse durch Falten erzeugen, mit dem Spiegel überprüfen Faltschnittfiguren werden aus einem einmal gefalteten Papier vom Kniff her geschnitten (einfache Figuren, Masken, Tischdecken ) Klecksbilder Falten und Pressen von Farbklecksen 31

32 Symmetrische Figuren schneiden 32

33 gestaltet aus einem Klecksbild 33

34 Kl. 3 Examensarbeit Till Grohe Tinte auftragen 1 Falten des leeren Blattes 3 Fertiges Klecksbild Clownsgesicht 34

35 Martins Trinkende Hähne Christians Kopfloses Monster Paddys Gesichter über dem Abgrund Viktorias Mensch mit Maske 35

36 Spiel: Stelle sieben Klecksbilder her. Schneide jedes Klecksbild an der Symmetrieachse auseinander. Mische die Teile und lasse sie von einem anderen Kind wieder zusammensetzen. Reißbilder entstehen, wenn man aus einem gerade berandeten Blatt Papier ein Stück ausreißt, umwendet und passend neben dem Ausriss aufklebt. 36

37 Reißbilder 37

38 Symmetrische Figuren legen 38

39 Bauen mit Legosteinen Examensarbeit Till Grohe 2006 Viktoria und Michelle vergleichen ihre Figuren Nach dem Bauen waren die Symmetrieachsen zu finden. Spiegel als Hilfe 39

40 Symmetrische Figuren zeichnen 40

41 Bandornamente einen möglichst langen Papierstreifen durch fortgesetztes Halbieren zur Ziehharmonika falten; Muster einschneiden Aktivitäten mit dem Spiegel * Taschenspiegel * Miraspiegel s. Radatz/Rickmeyer, S. 90 ff. und neuere grüne Handbücher 41

42 Bandornamente 42

43 Spiegelspiel: Die Schüler verteilen sich im Klassenzimmer und stellen sich ihrem Partner gegenüber. Ein Kind ist das Original und das andere das Spiegelbild. Examensarbeit Till Grohe 2006 Das Original fängt an, langsame Bewegungen zu machen, die das Spiegelbild so exakt wie möglich nachmacht. 43

44 Miraspiegel auf die Symmetrieachse stellen, Figur achsensymmetrisch ergänzen bzw. symmetrische Figur zeichnen 44

45 Buchstabensymmetrie Finde symmetrische Buchstaben des Alphabets. Symmetrie am Geobrett Symmetrieachse spannen u. zueinander symmetrische Figuren erzeugen weitere Literatur: H. Spiegel: Spiegeln mit dem Spiegelbuch. Carniel, Knapstein, Spiegel: Räumliches Denken fördern. Auer-Verlag. 45

46 Symmetrie am Geobrett Spanne mit zwei Gummis symmetrische Figuren. Zeichne die Beispiele ab und trage die Symmetrieachsen ein. 46

47 Fehler Male selbst ein Spiegelbild. Examensarbeit Till Grohe

48 Übungen zur Drehsymmetrie aus Matheprofis (Oldenbourg) Klasse 4 48

49 Zweierlei Symmetrien? Matheprofi Kl. 4 Schaut euch die Buchstaben in den Bildern an. Wie stehen sie zueinander? Für eine Anordnung kennt ihr bereits einen Namen, die andere müsst ihr mit eigenen Worten beschreiben. Wähle in jedem Bild zwei Buchstaben aus und überlege, wie du einen bewegen musst, damit er auf dem anderen zu liegen kommt. 49

50 Schau genau hin, vermute und überprüfe mit einem Spiegel. Welches Muster ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch, achsen- und drehsymmetrisch, nicht symmetrisch? 50

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52 5 Parkettieren

53 Begriff Parkett Auslegen der Ebene mit kongruenten Ausgangsfiguren, ohne dass Lücken oder Überlappungen entstehen. oder Ein Parkett ist eine vollständige, überlappungsfreie Überdeckung der Ebene durch Vielecke. 53

54 Welche Figuren kann man immer wieder aneinanderlegen, ohne dass Lücken entstehen? kongruente Dreiecke, kongruente Vierecke, regelmäßige Sechsecke Alle anderen einfachen Parkette mit einer n-eckigen Figur (Polygon) beruhen auf Zusammensetzungen oder Zerlegungen aus diesen geometrischen Figuren (Es gibt allerdings Ausnahmen). 54

55 Quelle: Lorenz/Grundschulunterricht 55

56 Warum lassen sich bestimmte Figuren parkettieren, andere nicht? Entscheidend ist die Größe der Innenwinkel. Dort, wo sich die Winkel im Parkett (lückenlos) begegnen, müssen 360 Winkelsumme entstehen. Bei regelmäßigen Figuren, deren Innenwinkelgröße Teiler von 360 ist, ist das lückenlose Auslegen der Ebene immer möglich. Beispiel: regelmäßiges Sechseck (jeder Innenwinkel 120 ); Mit dem regelmäßigen Fünfeck (jeder Innenwinkel 108 ) lässt sich die Ebene nicht lückenlos auslegen. 56

57 Innenwinkel regelmäßiger Vielecke Innenwinkel Achteck

58 Quelle: Lorenz/Grundschulunterricht 58

59 Aus gleichseitigen Dreiecken entstehen wiederum Figuren zum Parkettieren. 59

60 Aus diesen speziellen Rauten aus gleichseitigen Dreiecken (Innenwinkel 60 und 120 ) entstehen Parkette mit räumlichen Dimensionen. 60

61 Parkette in der Umwelt Fliesen Pflasterungen Schachbrett Bienenwabenmuster Mauern Parkette in der Kunst z.b. Parkette des Islam, Escher-Parkette 61

62 Die Kunst des Maurits Cornelis Escher ( ) Um aus einfachen Parketten neue, interessantere zu machen, gibt es grundsätzlich zwei Wege: 1. Die Bausteine der Parkette werden verziert. 2. Die Form der Bausteine wird verändert. Der holländische Künstler M. C. Escher hat es wie kein anderer verstanden, diese beiden Wege zu verbinden. 62

63 Regelmäßige Flächenaufteilung mit menschlichen Figuren

64 Regelmäßige Flächenaufteilung für Engel und Teufel

65 Parkett mit einem Chinesen (Escher Figur) Kl. 4 65

66 Techniken für kunstvolle Parkette Knabbertechnik Verschiebung eignet sich für Figuren, deren gegenüberliegende Seiten gleichlang und parallel sind (Rechteck, Quadrat, Raute, Parallelogramm) Ein Flächenstück wird ausgeschnitten und zur gegenüberliegenden Seite verschoben. 66

67 Knabbertechnik mittels Drehung eignet sich für Figuren, die gleichlange benachbarte Seiten haben (Quadrat, Raute, Drachen, regelmäßiges Sechseck, gleichseitiges, gleichschenkliges Dreieck, ) Ein Flächenstück wird abgeschnitten, um einen Eckpunkt gedreht und wieder angeklebt. 67

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69 Fazit