58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen

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1 eolympiadeklass6 58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen c 2018 Aufgabenausschuss für die Mathematik-Olympiade in Deutschland Alle Rechte vorbehalten Lösung 10 Punkte Teil a) Der Weg des Roboters sieht (bis auf mögliche Drehungen der Zeichnung um 90, 180 oder 270 ) folgendermaßen aus: S Teil b) Der Roboter ist ( =)45 Schritte bis zur neunten Rechtsdrehung gelaufen. Teil c) Der Roboter ist bis zur 58. Rechtsdrehung Schritte gelaufen. Um die Summe s der natürlichen Zahlen von 1 bis 58 zu berechnen, kann man folgendes Verfahren anwenden: s = s = s = = (58 Summanden) s = = Der Roboter ist also bis zur 58. Rechtsdrehung 1711 Schritte gelaufen Lösung 10 Punkte Teil a) Andreas muss : 400 = 25 Runden laufen. Teil b) Andreas benötigt für einen Kilometer (60 min : 10 = 6 min =)360 s und Klaus (75 min : 10 = 7,5min =)450 s. Teil c) Andreas benötigt 360 s für einen Kilometer und deswegen (360 s : 5 =)72 s für die 200 m zwischen Start und Trainer. Klaus benötigt (450 s : 5 =)90 s für die entsprechende Strecke. 22

2 Folglich vergehen (90 s 72 s =)18 s zwischen dem Vorbeilaufen von Andreas und Klaus. Teil d) Andreas und Klaus können einander nur begegnen, solange sie beide laufen. Da Andreas als der schnellere Läufer nur 60 min benötigt, darf auch nur diese Zeit betrachtet werden. Da 60 min nur 4 der Laufzeit von 75 min sind, legt Klaus auch nur 4 von 10 km, also 8 km, 5 5 zurück. Insgesamt legen sie daher in 60 min (10+8 =)18 km zurück. Zwischen zwei Begegnungen laufen beide zusammen 400 m. Wegen : 400 = 45 begegnen sie sich beim Laufen 45-mal. Lösungsvariante: Zwischen zwei Begegnungen laufen beide zusammen 400 m. Betrachten wir jetzt, welche Strecke beide Läufer zusammen in einer gewissen Zeit zurücklegen. Aus c) ist bekannt, dass die Läufer für 200 m 90 s bzw. 72 s benötigen. Ein gemeinsamer Teiler von 90 und 72 ist 9. Da Andreas in 72 Sekunden 200 m zurücklegt, legt er in (72 s : 8 =)9s eine Strecke von (200 m : 8 =)25 m zurück. Entsprechend kommt Klaus in dieser Zeit (200 m : 10 =)20 m weit. Beide zusammen legen also in 9 Sekunden (25 m+20 m =)45 m zurück und deswegen in einer Sekunde (45 m : 9 =)5m. Also brauchen sie für die Gesamtstrecke von 400 m eine Zeit von (400 : 5 =)80 Sekunden. Da Andreas eine Stunde läuft und das 3600 Sekunden sind, begegnen sie sich (3600 s : 80 s =) 45-mal Lösung 10 Punkte Teil a) Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 3 und 5 ist (2 3 5 =)30. Alle drei Lampen leuchten 30 Sekunden nach dem Einschalten wieder gemeinsam auf. Teil b) Alle drei Farben blinken jeweils bei den Vielfachen von 30 gemeinsam auf; das ist nach 30 s, nach 60 s und nach 90 s der Fall. Die roten (alle 2 s) und die blauen (alle 3 s) Lampen leuchten jeweils bei den Vielfachen der 6 gemeinsam auf. Bis 99 gibt es 16 Vielfache der 6, von denen aber 3 (nämlich die 30, 60 und 90) entfallen, weil dann alle drei Lampen aufleuchten. Nur Rot und Blau leuchten (16 3 =) 13-mal auf. Die roten (alle 2 s) und die grünen (alle 5 s) Lampen leuchten jeweils bei den Vielfachen der 10 gemeinsam auf. Bis 99 gibt es 9 Vielfache der 10, von denen aber wieder 3 (nämlich die 30, 60 und 90) entfallen. Nur Rot und Grün leuchten (9 3 =) 6-mal auf. Die blauen (alle 3 s) und die grünen (alle 5 s) Lampen leuchten jeweils bei den Vielfachen der 15 gemeinsam auf. Bis 99 gibt es 6 Vielfache der 15, von denen aber wieder 3 (nämlich die 30, 60 und 90) entfallen. Nur Blau und Grün leuchten (6 3 =) 3-mal auf. Folglich leuchten genau zwei Lampen ( =) 22-mal innerhalb der ersten 99 Sekunden auf. Auch eine graphische Herangehensweise ist zu akzeptieren. Teil c) Bei dieser Aufgabe suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 2, 3 und 5, dessen um 2 verminderte Zahl ein Vielfaches von 11 ist. Hierzu gehen wir die Vielfachen von 2, 3 und 5 systematisch durch. (30 2 =)28 ist nicht durch 11 teilbar, (60 2 =)58 23

3 ebenfalls nicht, aber (90 2 =)88 ist als kleinste dieser Zahlen durch 11 teilbar. Nach dem Einschalten leuchten alle vier Lampenfarben nach 90 Sekunden das erste Mal gemeinsam auf Lösung 10 Punkte Teil a) Wir bezeichnen die Eckpunkte wie in der Abbildung L a. D 3 cm C 3 cm F x E 8 cm 5 cm A G B L a Wir stellen zunächst fest, dass die Länge der Strecke DE = BC AF = 8 cm 5 cm = 3 cm beträgt. Um den Umfang des Sechsecks berechnen zu können, benötigen wir die Länge der Seite x = EF. Diese Seitenlänge x kann mithilfe des gegebenen Flächeninhalts ermittelt werden. Zerlegt man dazu beispielsweise das Sechseck, wie dargestellt, in die beiden Rechtecke AGEF und GBCD, so können deren Flächeninhalte wie folgt berechnet werden: Der Flächeninhalt des Rechteckes GBCD beträgt (3 cm 8 cm =) 24 cm 2. Für den Flächeninhalt des Rechteckes AGEF bleiben (59 cm 2 24 cm 2 =) 35 cm 2 übrig. Die fehlende Seitenlänge beträgt dann (35 cm 2 : 5 cm =) 7 cm. Der Umfang des Sechsecks folgt nun unmittelbar und beträgt daher ( =)36 cm. Alternative Lösung für das Ermitteln der fehlenden Seitenlänge mit Hilfe einer Gleichung (ohne Einheiten): A = 5 x+3 8. Laut Aufgabenstellung ist der Flächeninhalt 59 cm 2 groß. Folglich muss A = 5 x+3 8 = 59 gelten. Daher gilt auch 5 x = 35 und somit x = 7. Die Seite EF ist also 7 cm lang. Teil b) x 2 cm 4 cm 6 cm L b 24

4 Um den Flächeninhalt berechnen zu können, muss zuerst die Seitenlänge x, die in der Abbildung L b dargestellt ist, ermittelt werden. Auf der rechten Seite beträgt die obere, nicht beschriftete Seitenlänge (6 cm 2 cm =)4cm. Alle jetzt bekannten Seitenlängen auf der rechten Seite betragen zusammen (6 cm + 4 cm + 4 cm+2 cm =)16 cm. Der halbe Umfang des Achtecks beträgt (36 cm : 2 =)18 cm. Die Seite x muss also (18 cm 16 cm =)2cm lang sein. Nun kann der Flächeninhalt für die rechte Hälfte des Achtecks ausgerechnet werden. Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 6 cm und 4 cm (Flächeninhalt: 6 cm 4 cm = 24 cm 2 ) wurde ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm (Flächeninhalt: 2 cm 2 cm = 4 cm 2 ) herausgeschnitten, so dass sich ein Flächeninhalt von (24 cm 2 4cm 2 =)20 cm 2 für das halbe Achteck ergibt. Das ganze Achteck hat dann einen Flächeninhalt von (20 cm 2 2 =)40 cm 2. Alternative Lösung für das Ermitteln der Seitenlänge x mit Hilfe einer Gleichung (ohne Einheiten): Für den Umfang des Achtecks gilt: u = 2 (6+4+(6 2)+x+2) = 36. Vereinfachen und Auflösen der Gleichung nach x ergibt 2 (16+x) = 36, 16+x = 18, x = 2. Demzufolge ist die mit x gekennzeichnete Seite 2 cm lang. 25

5 Punktverteilungsvorschläge Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde. Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehalten. Aufgabe Teil a)... 3 Punkte Teil b)... 2 Punkte Teil c) Korrekte Lösung... 3 Punkte Rechenweg... 2 Punkte Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 2 Punkte Teil c) Punkte Teil d)... 3 Punkte Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 5 Punkte Teil c) Punkte Aufgabe Teil a)... 5 Punkte Teil b)... 5 Punkte 26