55. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 7 Lösungen Lösung 10 Punkte Teil b)

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1 55. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 7 Lösungen c 2015 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten Lösung 10 Punkte Teil b) Die Laufzeit von Birgit wird mit x bezeichnet. Aus (1) folgt: Angelas Laufzeit ist x 1,5 s. (8) Aus (2) folgt: Cornelias Laufzeit ist x 0,8 s. (9) Aus (3) und (9) folgt: Dorotheas Laufzeit ist x+1,2 s. (10) Aus (4) und (8) folgt: Evelyns Laufzeit ist x 1,6 s. (11) Aus (5) und (11) folgt: Franziskas Laufzeit ist x 1,2 s. (12) Aus (6) folgt: Gudruns Laufzeit ist x 0,2 s. (13) Die Addition der Laufzeiten aller 7 Teilnehmerinnen ergibt x+x 1,5 s+x 0,8 s+x+1,2 s+x 1,6 s+x 1,2 s+x 0,2 s = 7x 4,1 s. Wegen (7) gilt 7x 4,1 s = 104,4 s. Daraus folgt 7x = 108,5 s und schließlich x = 15,5 s. Somit brauchte Birgit für das Durchlaufen der 100-Meter-Strecke 15,5 s. Für die anderen Mädchen folgt hieraus und aus (8) bis (13): Die Laufzeiten von Angela, Cornelia, Dorothea, Evelyn, Franziska und Gudrun sind in dieser Reihenfolge 14,0 s, 14,7 s, 16,7 s, 13,9 s, 14,3 s und 15,3 s. Teil a) Wie aus dem Ergebnis der Teilaufgabe b) ersichtlich ist, war Evelyn mit 13,9 s die Schnellste der sieben Läuferinnen. Folglich hat Evelyn diesen 100-Meter-Lauf gewonnen. Variante zu Teil a): Folgende Mädchen waren nicht die Schnellste: Birgit wegen (1), Dorothea wegen (3), Angela wegen (4), Franziska wegen (5). Wegen (6) und (2) war Gudrun langsamer als Cornelia, also war sie auch nicht die Schnellste. Übrig bleiben Cornelia und Evelyn. Wegen (1) und (2) war Cornelia langsamer als Angela. Folglich kann nur Evelyn die Schnellste gewesen sein. Da nach Aufgabenstellung eines der Mädchen die Schnellste gewesen sein muss, ist Evelyn die Schnellste gewesen. Der 100-Meter-Lauf wurde folglich von Evelyn gewonnen. 1

2 Lösung 10 Punkte Teil a) Für die Zeichnung siehe Abbildung L ohne den Eintrag der Winkelgrößen. Teil b) Da ABCD nach Voraussetzung ein Quadrat ist, gilt DCB = 90. (1) Da das Dreieck CDE nach Voraussetzung gleichseitig ist, gilt DCE = 60. (2) Nach Konstruktion des Dreiecks CEF liegt der Punkt E innerhalb des Quadrats ABCD und daher im Innern des Winkels DCB, siehe Abbildung L Daher gilt DCB = DCE + ECB. Hieraus und aus (1) und (2) folgt D A E C B L ECB = DCB DCE = = 30. (3) Da das Dreieck BFC nach Voraussetzung gleichseitig ist, gilt BCF = 60. Nach Konstruktion des Dreiecks CEF liegen die Punkte E und F in verschiedenen Halbebenen bezüglich der Geraden BC und es gilt ECF = ECB + BCF. (5) Aus (3), (4) und (5) folgt ECF = = 90, (6) der Winkel ECF ist also ein rechter Winkel. Teil c) Da ABCD nach Voraussetzung ein Quadrat ist, gilt BC = CD. Da die Dreiecke BFC und CDE nach Voraussetzung gleichseitig sind, gilt CE = CD, CF = BC. (8) Aus (7) und (8) folgt CE = BC = CF. Nach Voraussetzung gilt BC = 4 cm. Der Flächeninhalt des Quadrats ist (4 cm 4 cm =) 16 cm 2. Wegen (6) und (9) ist das Dreieck CEF ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit der Kathetenlänge 4 cm. Sein Flächeninhalt hat also die Größe ( cm 4 cm =) 8 cm2. Das Verhältnis vom Flächeninhalt des Dreiecks CEF zum Flächeninhalt des Quadrats ABCD ist folglich (8 cm 2 : 16 cm 2 =) 1 : 2. F (4) (7) (9) 2

3 Lösungsvariante: Das Quadrat ABCD sei wie üblich im mathematisch positiven Drehsinn beschriftet. Teil a) Da das DreieckBFC ein gleichseitiges Dreieck ist, welches über der SeiteBC in Bezug auf das Quadrat ABCD nach außen errichtet ist, entsteht der Punkt F aus dem Punkt B durch Drehung um den Punkt C um 60 im mathematisch positiven Drehsinn. Da das Dreieck CDE ein gleichseitiges Dreieck ist, welches über der Seite CD in Bezug auf das Quadrat ABCD nach innen errichtet ist, entsteht der Punkt E aus dem Punkt D durch Drehung um den Punkt C um 60 im mathematisch positiven Drehsinn. Folglich entsteht das Dreieck CEF aus dem Dreieck BCD durch Drehung um den Punkt C um 60 im mathematisch positiven Drehsinn. Daher gilt ECF = DCB. Da ABCD ein Quadrat ist, gilt DCB = 90, weswegen ECF = 90 folgt. Teil b) Da der Flächeninhalt des Quadrats ABCD durch die Diagonale BD halbiert wird, ist der Flächeninhalt des Dreiecks BCD halb so groß wie der des Quadrats ABCD. Da das Dreieck CEF aus dem Dreieck BCD durch Drehung entsteht, sind sie flächeninhaltsgleich. Folglich ist auch der Flächeninhalt des Dreiecks CEF halb so groß wie der des Quadrats ABCD. Das Verhältnis vom Flächeninhalt des Dreiecks CEF zum Flächeninhalt des Quadrats ABCD ist folglich 1 : Lösung 10 Punkte Teil a) Wir bezeichnen mit t Mo und t Di die am Montag bzw. Dienstag insgesamt benötigte Zeit. Am Montag fuhr Herr Schmitz jeweils die Hälfte der Gesamtstrecke mit dem Auto und dem Fahrrad, also jeweils 36 km. Daher gilt t Mo = 36 km 36 km + 20 km/h 80 km/h = h h = h. Am Dienstag fuhr er ein Drittel der Strecke mit dem Fahrrad. Er fuhr daher ( 1 72 km =) 3 24 km mit dem Fahrrad und (72 km 24 km =) 48 km mit dem Auto. Folglich gilt Wegen t Di = 24 km 48 km + 20 km/h 80 km/h = h h = h. t Mo t Di = h h = 9 h = 9 3 min = 27 min 20 brauchte Herr Schmitz am Montag 27 Minuten mehr als am Dienstag. Teil b) Wir bezeichnen mit t Do die am Donnerstag insgesamt benötigte Zeit. Nach Aufgabenstellung hat er jeweils 1 t 2 Do für die Auto- und die Fahrradstrecke benötigt, weswegen 72 km = 1 2 t Do 80 km/h+ 1 2 t Do 20 km/h gilt. Durch Zusammenfassen und Umformen folgt 72 km = t Do (40 km/h+10 km/h), 72 km t Do = = 1,44 h = 60 1,44 min = 86,4 min. 50 km/h Auf ganze Minuten gerundet benötigte Herr Schmitz am Donnerstag eine Stunde und 26 Minuten. 3

4 Lösung 10 Punkte Teil a) Die Quersumme einer dreistelligen, durch 9 teilbaren Zahl ist 9, 18 oder 27. Die Zahl 999 ist die einzige dreistellige, durch 9 teilbare Zahl mit QS(z) = 27. Daher hat Lisa Recht, Bernd aber nicht. Teil b) Es sei z eine dreistellige, durch 9 teilbare Zahl. Es gelte also 100 z 999, 9 z. Weiter gelte QS(z +9) = 2 QS(z). Wegen der Bedingung (1) ist z +9 eine durch 9 teilbare Zahl mit 109 z Daher ist z +9 wie z eine durch 9 teilbare, dreistellige Zahl oder es gilt z +9 = Folglich gilt QS(z) {9,18,27}, QS(z +9) {9,18,27}. (3) Aus der Bedingung (2) und den Beziehungen (3) folgt QS(z) = 9. Wir machen eine Fallunterscheidung bezüglich der Einerziffer von z. Fall 1: Die Einerziffer von z ist 0. Wegen Bedingung (1) und Gleichung (4) kann dann z nur eine der Zahlen 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810, 900 (5) sein. Jede dieser Zahlen ist tatsächlich eine dreistellige, durch 9 teilbare Zahl, welche der Bedingung (2) genügt. Fall 2: Die Einerziffer von z ist nicht 0. Wegen Gleichung (4) kann die Zehnerziffer von z nicht 9 sein. Die Einerziffer von z+9 ist um 1 kleiner als die von z. Die Zehnerziffer von z+9 ist wegen des Zehnerübertrags und da die Zehnerziffer von z keine 9 ist, um 1 größer als die von z. Die Hunderterziffer von z +9 ist gleich der Hunderterziffer von z. Daher haben z + 9 und z die gleiche Quersumme. Dies widerspricht wegen Gleichung (4) der Bedingung (2). Folglich sind nur die 9 in (5) genannten Zahlen dreistellige, durch 9 teilbare Zahlen, welche der Bedingung (2) genügen. Die gesuchte Anzahl ist hier also 9. Teil c) Es sei z eine dreistellige, durch 9 teilbare Zahl. Es gelten also wieder die Bedingung (1) und daher die Beziehungen (3). Weiter gelte nun (1) (2) (4) QS(z +9) = 1 2 QS(z). (6) Aus den Beziehungen (3) und der Gleichung (6) folgt QS(z) = 18. Wir machen eine Fallunterscheidung bezüglich der Einerziffer von z. Fall 1: Die Einerziffer von z ist 0. Dann ist 9 die Einerziffer von z +9, während die Zehnerund Hunderterziffer von z +9 gleich der entsprechenden Ziffer von z sind. Es gilt daher QS(z +9) = QS(z)+9. Dies und Gleichung (7) widerspricht der Bedingung (6). (7) 4

5 Fall 2: Die Einerziffer von z ist nicht 0. Wenn die Zehnerziffer von z nicht 9 ist, dann haben z und z + 9 die gleiche Quersumme, wie in Fall 2 in Teil b) zu sehen war. Wegen der Bedingung (6) und der Gleichung (7) muss daher 9 die Zehnerziffer von z sein. Wegen Bedingung (1) und Gleichung (7) kann dann z nur eine der Zahlen 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891 (8) sein. Jede dieser Zahlen ist tatsächlich eine dreistellige, durch 9 teilbare Zahl, welche der Bedingung (6) genügt. Folglich sind nur die 8 in (8) genannten Zahlen dreistellige, durch 9 teilbare Zahlen, welche der Bedingung (6) genügen. Die gesuchte Anzahl ist hier also 8. 5

6 Punktverteilungsvorschläge Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde. Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehalten. Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b) Mathematische Umsetzung der Aussagen (1) bis (7)... 6 Punkte Korrektes Ergebnis Punkte Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 5 Punkte Teil c) Punkte Aufgabe Teil a)... 5 Punkte Teil b)... 5 Punkte Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 4 Punkte Teil c) Punkte 6