58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen

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1 eolympiadeklass5 58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen c 2018 Aufgabenausschuss für die Mathematik-Olympiade in Deutschland Alle Rechte vorbehalten Lösung 10 Punkte Jede 5. Seitenzahl ist durch 5 teilbar. Folglich müssen 52 der Seitenzahlen durch 5 teilbar sein, da 264 : 5 = 52 Rest 4 gilt. Für die Seitenzahlen von 1 bis 9 gibt es 5 Seitenzahlen, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen; dies sind die Seitenzahlen 1, 3, 5, 7 und 9. Für die Seitenzahlen von 10 bis 99 gibt es (5 5 =)25 derartige Seitenzahlen, da es für die Einer- und für die Zehnerziffer jeweils fünf verschiedene ungerade Ziffern gibt. Für die Seitenzahlen von 100 bis 199 ist die Hunderterziffer ungerade. Deshalb gibt es in diesem Bereich ebenfalls (1 5 5 =)25 Seitenzahlen, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen. Für die Seitenzahlen von 200 bis 264 gibt es keine weiteren Möglichkeiten, da die Hunderterziffer immer gerade ist. Deshalb bestehen ( =) 55 Seitenzahlen nur aus ungeraden Ziffern. Beschreibe x die Seitenzahl für die erste fehlende Seite, dann gilt: x+(x+1)+(x+2)+(x+3) = 170, Probe: = x+6 = 170, 4x = 164, x = 41. Folglich fehlen die Buchseiten 41 bis 44. Lösungsvariante: Wegen 170 : 4 = 42,5 (42 Rest 2) können nur die beiden kleineren und die beiden größeren natürlichen Zahlen 41, 42 und 43, 44 die gegebenen Bedingungen erfüllen. Probe: = Lösung 10 Punkte Das (8 12)-Rechteck hat die Seitenlängen 8 und 12. Davon ist nur die 12 durch 6 teilbar und die 8 ist durch 4 teilbar. Es ist nur die folgende Auslegung mit den (4 6)- Rechtecken möglich: (Die Begründung wird nicht verlangt.) Die 18 ist durch 6, aber nicht durch 4 teilbar. Eine Lösung ergibt sich, wenn man die 18 durch 3 6 bildet und die 12 durch

2 Nimmt man die rechts übereinander angeordneten (4 6)-Rechtecke weg, so bleibt ein Quadrat mit Kästchen übrig, das man auch um 90 nach links oder rechts drehen kann. Man erhält eine zweite Lösung, bei der sechs der Rechtecke aufrecht stehen und die drei Rechtecke rechts liegend angeordnet bleiben (siehe Zeichnung). Die drei liegenden Rechtecke können auch weiter nach links zwischen die aufrecht stehenden Rechtecke gelegt werden. Für das (72 96)-Rechteck gilt, dass sowohl die 72 als auch die 96 jeweils durch 4 und 6 teilbar sind. Deshalb gibt es mindestens zwei verschiedene einfache Auslegungen. Wenn entlang der 72 Kästchenlängen die Kästchenlänge 4 liegt, dann passen (72 : 4 =)18 Rechtecke nebeneinander. Die 96 Kästchenlängen müssen dann von den anderen Seitenlängen gebildet werden. Dort liegen (96 : 6 =) 16 Rechtecke nebeneinander. Insgesamt sind das (18 16 =) 288 (4 6)-Rechtecke Lösung 10 Punkte Da die 3 cm Zuckerschnur von Emma die andere Hälfte dessen ist, von dem Dana die eine Hälfte genommen hat, hat folglich Dana auch 3 cm Zuckerschnur gegessen und Dana hat (3 cm+3 cm =)6cm Zuckerschnur vorgefunden. Demzufolge hat Clemens (6 cm 2 =)12 cm Zuckerschnur vorgefunden, wovon er die Hälfte gegessen hat. Ben hat wiederum die doppelte Länge, also (12 cm 2 =)24 cm Zuckerschnur vorgefunden. Daraus folgt, dass die Länge der Zuckerschnur ganz zu Beginn (24 cm 2 =)48 cm betrug. Probe: Länge der Schnur, Länge des Teils der Schnur, die das Kind vorgefunden hat das das Kind gegessen hat Amelie 48 cm 24 cm Ben 24 cm 12 cm Clemens 12 cm 6 cm Dana 6 cm 3 cm Emma 3 cm 3 cm 17

3 Die Kinder haben folgende Mengen gegessen: Länge von der ersten Schnur Länge von der zweiten Schnur Gesamtlänge Amelie 24 cm 3 cm 27 cm Ben 12 cm 3 cm 15 cm Clemens 6 cm 6 cm 12 cm Dana 3 cm 12 cm 15 cm Emma 3 cm 24 cm 27 cm Folglich hat Clemens am wenigsten abbekommen Lösung 10 Punkte Alle Angaben beziehen sich auf die dritte Ziffer der vierstelligen PIN, deshalb bezeichnen wir die dritte Ziffer mit x. Die weiteren Ziffern lassen sich dann, wie in der Tabelle dargestellt, beschreiben. Ziffer Term erste 3 x zweite x+2 dritte vierte x 2 x+2 Die Summe der vier Ziffern beträgt 25, folglich muss 3x +(x + 2) + x +(2x + 2) = 25 gelten. Durch Zusammenfassen und Umformen erhält man 7x+4 = 25, Folglich gilt: 7x = 21, x = 3. Ziffer Term Ergebnis erste 3 x 3 3 = 9 zweite x = 5 dritte x 3 vierte 2 x = 8 Damit ist gezeigt, dass nur die vierstellige Zahl 9538 die gestellten Bedingungen erfüllt. Mögliche Überprüfung (wird nicht verlangt): Die erste Ziffer ist dreimal so groß wie die dritte, denn 9 = 3 3. Die vierte Ziffer ist so groß wie die zweite und dritte zusammen, denn 8 = 5+3, und die zweite Ziffer ist um 2 größer als die dritte, denn 5 = Die Summe der Ziffern beträgt = 25. Damit sind alle Bedingungen erfüllt. Die Lösungsfindung über Probieren ist auch möglich, muss aber vollständig und systematisch erfolgen und eine Überprüfung enthalten. 18

4 Punktverteilungsvorschläge Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde. Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehalten. Aufgabe Begründung... 1 Punkt Begründung... 2 Punkte Begründung / Überprüfung... 1 Punkt Aufgabe Punkte Erste Lösung... 2 Punkte Zweite Lösung Punkte Ergebnis... 2 Punkte Herleitung... 2 Punkte 19

5 Aufgabe Ergebnis... 3 Punkte Herleitung... 3 Punkte Überprüfung... 1 Punkt Lösung (die evtl. folgerichtig zu der Lösung aus a) gefunden wurde)... 2 Punkte Begründung... 1 Punkt Aufgabe Korrekte Lösung... 4 Punkte Herleitung und Bestätigung der Eindeutigkeit / systematisches Probieren... 6 Punkte 20