Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 206 Regelmäßige Vielecke

2 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke ii Inhalt 1 Regelmäßige Vielecke Das regelmäßige Dreieck Parkette Ganzzahlige Koordinaten der Eckpunkte? Näherungsverfahren mit Falten Falten und Schneiden Das Quadrat Quadrat als Gelenkmodell Das regelmäßige Fünfeck und das Pentagramm Knoten Der Goldene Schnitt Fünfeck und Quadratraster Das regelmäßige Sechseck Das Hexaflexagon Papiersterne Das regelmäßige Siebeneck Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Scherengeometrie Das regelmäßige Achteck Kirchenbau Castel del Monte Oktogon aus DIN A Das regelmäßige Zwölfeck Modul 206 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 1999 Erste Fassung (Einzelblätter) Sommer 2001 Überarbeitung und Erweiterung Sommer 2003 Neue Moduleinteilung, Fehlerbereinigung, Ergänzungen Sommer 2005 Technische Überarbeitung. Ergänzungen und Straffung Sommer 2007 MathType. Geändertes Layout. Erweiterung Frühjahr 2009 Fehlerkorrekturen Frühjahr 2011 Keine Änderung last modified: 2. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel

3 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 1 1 Regelmäßige Vielecke In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten und alle Winkel gleich groß. In einem regelmäßigen n-eck misst ein Außenwinkel 360, demzufolge ein Innenwinkel n und für die Innenwinkelsumme erhalten wir n n ( ). Im folgenden sei s die Seitenlänge, r der Umkreisradius, ρ der Inkreisradius, A der Flächeninhalt eines regelmäßigen n-eckes. Regelmäßige Vielecke 2 Das regelmäßige Dreieck Das regelmäßige Dreieck wird in der Regel als gleichseitiges Dreieck bezeichnet, da seine Winkel automatisch alle gleich groß sind, nämlich 60. (Man beachte, dass ein gleichseitiges Viereck (Rhombus) nicht regelmäßig zu sein braucht!) Im regelmäßigen Dreieck gilt: h = 3 2 s, r = 3 3 s, ρ = 3 6 s, A = 3 4 s2 2.1 Parkette Mit dem regelmäßigen Dreieck kann ein Parkett gemacht werden. Das ist aber nichts besonderes, da man mit jedem Dreieck ein Parkett bauen kann. Dreiecksparkette

4 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke Ganzzahlige Koordinaten der Eckpunkte? Hingegen ist es nicht möglich, ein gleichseitiges Dreieck so in ein Quadratraster einzupassen, dass alle drei Eckpunkte auf Rasterpunkte zu liegen kommen. Es ist also nicht möglich, dass in einem kartesischen Koordinatensystem alle drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreieckes ganzzahlige oder auch nur rationale Koordinaten haben. Der Beweis geht indirekt: Wir nehmen an, es gebe ein solches Dreieck. Bei rationalen Koordinaten müssen wir zunächst mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner multiplizieren. Falls nun nicht schon alle Koordinaten geradzahlig sind, verdoppeln wir das Dreieck. Damit hat auch der Mittelpunkt M c der Seite c ganzzahlige Koordinaten. B C M c A Gezinkte Beweisfigur Nun kann die halbe Dreiecksseite wie auch die Höhe durch die waagrechten beziehungsweise senkrechten Netzlinien je in eine ganze Anzahl gleich langer Teile unterteilt werden. Das heißt nun aber, dass das Verhältnis der Höhe zur halben Seitenlänge rational ist. Dieses Verhältnis ist aber 3, also eine irrationale Zahl. Damit haben wir einen Widerspruch. Aus unserer gezinkten Beweisfigur können wir 3 12 = ablesen, was immerhin 7 eine nicht allzu schlechte Näherung für 3 = ist. 2.3 Näherungsverfahren mit Falten Wir falten einen Papierstreifen beliebig und halbieren dann ebenfalls mit Falten fortlaufend den stumpfen Winkel zwischen dem Streifenrand und der letzten Faltlinie.

5 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 3 Fortlaufendes Winkelhalbierende durch Falten Wie das Beispiel zeigt, kommen wir bald zu Dreiecken, die als Näherungen von gleichseitigen Dreiecken dienen können. Warum ist das so? 2.4 Falten und Schneiden Herstellung von dreieckigem Origami Papier. Ausgegangen wird von einem DIN A4 Papier. Falten und Schneiden

6 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 4 3 Das Quadrat Das regelmäßige Viereck ist das Quadrat, neben dem Kreis wohl die bekannteste und wichtigste geometrische Figur. In ein Quadratraster können schräge Quadrate eingezeichnet werden. Quadrat im Quadratraster 3.1 Quadrat als Gelenkmodell Aus drei Strecken gleicher Länge, die an den Enden gelenkig verbunden werden, ergibt sich ein starres gleichseitiges Dreieck. Aus vier Strecken ergibt sich ein nicht starrer Rhombus. Lässt sich auch ein (starres) Quadrat konstruieren? Im Gelenkmodell der folgenden Figur links (aus [Gardner, p. 54]) sind alle Strecken gleich lang. Das Modell ist starr. Ist der getönte Rhombus ein Quadrat? Ist der Rhombus ein Quadrat? Beweisfigur Das getönte Dreieck in der Figur rechts ist aus Symmetriegründen rechtwinklig. Die Hypotenuse hat die Länge 3, die kurze Kathete die Länge 1. Daraus ergibt sich für die Diagonale des fraglichen Rhombus die Länge 2 ; der Rhombus ist also ein Quadrat.

7 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 5 4 Das regelmäßige Fünfeck und das Pentagramm 4.1 Knoten 4.2 Der Goldene Schnitt Das Pentagon als Knoten Pentagon und Pentagramm

8 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 6 Konstruktion des goldenen Schnittes Konstruktion des goldenen Schnittes Anwendung: Regelmäßiges Zehneck 1 Konstruktion des regelmäßigen Zehneckes und auch des Fünfeckes

9 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke Fünfeck und Quadratraster Es gibt kein regelmäßiges Fünfeck im Quadratraster. Wir führen den Beweis indirekt, indem wir annehmen, es gäbe ein solches Fünfeck, und zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Dazu benötigen wir einen Hilfssatz: Zu zwei Rasterpunkten P und Q gibt es zwei weitere Rasterpunkte R und S derart dass PQRS ein Quadrat wird Zum Beweis denken wir uns ein Koordinatensystem, in welchem die Rasterpunkte genau die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten sind. P Q Einbau eines rechten Winkels Aus PQ = x Q x P y P y Q ergibt sich QR = PQ =. Daraus erhalten wir für den y Q y P x Q x P Punkt R die ganzzahligen Koordinaten R( x Q + y P y Q, y Q + x Q x P ); der Punkt R ist also ebenfalls ein Rasterpunkt. Analog überlegen wir für den vierten Punkt S. Eine Strecke PQ kann also zu einem Quadrat PQRS ergänzt werden. Daraus folgt aber auch, dass eine Strecke PQ zu einem halben Quadrat, also einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck PQR mit rechtem Winkel bei Q ergänzt werden kann. Für unseren indirekten Beweis nehmen wir nun an, wir hätten ein regelmäßiges Fünfeck A 0 A 1 A 2 A 3 A 4, dessen Ecken alle Rasterpunkte sind. Wir ergänzen nun jede Fünfecksseite A i 1 A i zu einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck A i 1 A i B i mit dem rechten Winkel bei A i (Figur). Dadurch erhalten wir ein regelmäßiges Fünfeck B 0 B 1 B 2 B 3 B 4, das ganz im Innern des Fünfeckes A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 liegt, und dessen Ecken ebenfalls Rasterpunkte sind. A 4 A 0 B 4 B 3 B 2 A 3 B 0 B 1 A 1 A 2 Kleineres regelmäßiges Fünfeck

10 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 8 Wir können also zu jedem regelmäßigen Fünfeck in der Rastergeometrie ein kleineres finden, dessen Ecken ebenfalls Rasterpunkte sind. Durch Iteration dieses Verfahrens erhalten wir aber eine Folge von immer kleiner werdenden Fünfecken (Figur), so dass schließlich ein Fünfeck so klein ist, dass es durch die Maschen des Quadratrasters fällt. Dies steht im Widerspruch dazu, dass seine Eckpunkte Rasterpunkte sein müssten. Folge von regelmäßigen Fünfecken Es gibt also kein regelmäßiges Fünfeck im Quadratraster. Dieses Beweisverfahren wird als reductio ad absurdum (Rückführung auf einen Widerspruch) bezeichnet. Dieses Beweisverfahren lässt sich auf alle regelmäßigen Vielecke mit einer Eckenzahl n 5 anwenden. Im Quadratraster können also nur Quadrate gezeichnet werden; Dreiecke haben wir oben schon ausgeschlossen. 5 Das regelmäßige Sechseck 5.1 Das Hexaflexagon Hexaflexagon

11 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 9 Hexaflexagone wurden 1939 von Arthur H. STONE entdeckt [Gardner 1959]. In [Hilton/Pedersen 1994] und [Hilton/Pedersen/Walser ] finden sich Beschreibungen und Bauanleitungen verschiedener Flexagone. Das Hexaflexagon wird aus einem Papierstreifen mit 10 gleichseitigen Dreiecken hergestellt. Die Faltlinien zwischen den Dreiecken wechseln zwischen Talfalten und Bergfalten. Bergfalt Talfalt Der Streifen Der Streifen wird nun gemäß den Faltrichtungen zum Hexaflexagon gefaltet und an den beiden überlappenden Enden verklebt. Schülerinnen und Schüler zeichnen gleich Dekorationen auf das Hexaflexagon, welche sich beim Flexen verändern. 5.2 Papiersterne Aus dreieckigem Origami-Papier können Sechseckssterne hergestellt werden. 6 Das regelmäßige Siebeneck Papiersterne Regelmäßiges Siebeneck

12 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Das regelmäßige Siebeneck kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. GAUSS, FERMAT, C. F. GAUSS ( ) hat bewiesen, dass jedes regelmäßige n-eck, das einem Kreis mit dem Radius r einbeschrieben werden soll, allein mit Zirkel und Lineal genau dann konstruierbar ist, wenn n eine Zweierpotenz oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und/oder verschiedenen FERMATschen Primzahlen ist. FERMATsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form: ( ) F k = 2 2k +1 Dabei gibt es nicht für jedes k eine Primzahl. Es ist: F 0 = 3 F 1 = 5 F 2 =17 F 3 = 257 F 4 = Primzahl Primzahl Primzahl Primzahl Primzahl F 5 = = = , die Fermatsche Zahl F 5 ist also keine Primzahl (EULER). Mithilfe ausgedehnter Computerrechnung konnte gezeigt werden, dass auch F 6 bis F 32 nicht prim sind. Es ist unbekannt, ob weitere FERMATsche Zahlen F k Primzahlen sind.

13 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 11 Danach sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar das regelmäßige Dreieck Quadrat Fünfeck 15-Eck Sechseck Achteck Zehneck 30-Eck Zwölfeck 16-Eck 20-Eck 60-Eck 24-Eck 32-Eck 40-Eck 120-Eck 48-Eck 64-Eck 80-Eck 240-Eck 96-Eck 128-Eck 160-Eck 480-Eck usw. usw. usw. usw. Die nächsten Folgen von regelmäßigen Vielecken, die mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, beginnen mit dem 17-Eck, dem 51-Eck, dem 85-Eck und dem 255-Eck. Nicht konstruierbar sind demnach das regelmäßige Siebeneck, Neuneck, Elfeck, 13- Eck, 14-Eck, 18-Eck usw. 6.2 Scherengeometrie Zwei Strecken der Länge eins werden an zwei inneren Punkten gelenkig verbunden. Die folgende Figur zeigt links eine symmetrische, rechts eine asymmetrische Schere. Scheren Wir setzen nun symmetrische Scheren gelenkig zusammen, die beiden Anfangspunkte setzen wir variabel auf eine vertikale Schiene.

14 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 12 Zusammensetzung von symmetrischen Scheren Bewegen wir einen der beiden Anfangspunkt auf der Schiene, wird das Gelenkmodell in horizontaler Richtung geradlinig verlängert oder verkürzt. Es gibt verschiedene technische Anwendungen solcher Scheren, etwa bei Greifarmen oder Hebebühnen. Bei Verwendung von asymmetrischen Scheren krümmt sich das Gelenkmodell. Krümmung bei asymmetrischen Scheren Wir können nun die Anfangspunkt so weit zusammendrücken, bis sich das Gelenkmodell schließt. Durch Verbinden der Anfangs- und Endpunkte ergibt sich eine starre regelmäßige Sternfigur. Die Figur zeigt die Version für einen Siebenstern, bei welcher sieben Scheren benötigt werden. Das Beispiel ist darum bemerkenswert, weil in der

15 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 13 EUKLIDischen Geometrie das regelmäßige Siebeneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Allgemein ergibt sich mit n Scheren ein regelmäßiger n-stern. 7 Das regelmäßige Achteck Siebenteilige Sternfigur 7.1 Kirchenbau Das regelmäßige Achteck erscheint häufig im Kirchenbau. Decke der Kirche Wilchingen Die Wilchinger Kirche ist eine ganz und gar reformierte Kirche. Im Erbe der Reformation hat es hier auch keine Bilder oder irgendwelche Kunstwerke, die man den Besuchern und Besucherinnen zeigen könnte, und doch ist da etwas, das die Aufmerksamkeit auf sich zieht, und das ist die große Holzdecke mit ihrer Struktur der beiden Achtecke. Es sind nicht nur zwei Achtecke, die das Maß unserer oktogonalen Kirche darstellen, sondern es sind zweimal acht Achtecke, und es ist als Bild wiederum eine große 8, die da über dieser Kirche liegt. Woher kommt die Achtzahl und was bedeutet sie? Ein Vers aus der Bibel hilft uns weiter (1. Petrus 3,20): «In der Arche wurden nur wenige, nämlich acht Menschen, durch

16 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 14 das Wasser gerettet. Dem entspricht die Taufe, die jetzt euch rettet.» Mitten im Untergang der Sintflut gibt es eine Rettung, und diese steht unter dem Zeichen der Acht und wird in der Taufe den Menschen zugesprochen. Damit erinnert die Taufe an die Beschneidung im Alten Testament, die am achten Tag vorgenommen wurde. Doch eigentlich liegt der Ursprung der Achtzahl noch weiter zurück: In der Schöpfungsgeschichte wird erzählt vom Rhythmus der sieben Tage, in denen die ganze Welt erschaffen wird. Und diese sieben Tage wiederholen sich dann immer wieder, bis einmal die Zeit erfüllt ist und der ewige, der achte Tag kommen kann, der uns erlöst aus dem Kreislauf der Zeit. Wer die sieben Tage seines Lebens hinter sich gebracht hat, geht ein in den achten Tag, der kein Ende hat. Weil die Acht als Zeichen auch kein Ende hat, wurde sie in der Mathematik das Symbol für die Unendlichkeit, wenn man sie liegend zeichnet. Gleichzeitig sind es zwei Pole, die einander gegenüberstehen und in der Mitte durch das Kreuz verbunden sind, wie diese und jene Welt. Und so wird der Sonntag in der Kirche gefeiert als der Tag der Auferstehung, als der achte Tag. (Markus Sieber, Pfarrer in Wilchingen) 7.2 Castel del Monte Wir treffen das regelmäßige Achteck aber auch im Festungsbau an, zum Beispiel im Castel del Monte [Götze 1986], [Götze 1991]. 7.3 Oktogon aus DIN A4 Ein regelmäßiges Achteck lässt sich auch durch Falten aus einem Papier vom Format DIN A4 herstellen? Faltvorgang Wir beginnen mit einem leeren Papier vom Format DIN A4 (oder einem anderen DIN A Format) im Querformat. DIN A4 Dann falten wir die senkrechte Mittellinie und falten wieder zurück.

17 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 15 Mittellinie senkrecht Nun falten wir alle vier Ecken an diese Mittellinie und falten wieder zurück. Ecken einbiegen und wieder zurückfalten Als nächstes falten wir zwei zur Mittellinie parallele Linien durch die Schnittpunkte der Faltlinien des letzten Schrittes. Parallelen durch die Schnittpunkte Diese Parallelen bilden zusammen mit Oberkante und Unterkante des Papiers ein Quadrat. Das Quadrat liegt eingemittet auf dem Papier. Nun falten wir die waagerechte Mittellinie. Waagerechte Mittellinie Wir falten alle vier Ecken an diese waagerechte Mittellinie und falten wieder zurück.

18 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 16 Ecken einbiegen und wieder zurückfalten Damit haben wir das Oktogon. Oktogon Durch geeignetes Einbiegen oder durch Abschneiden erhalten wir das materielle Oktogon. Ansicht von beiden Seiten 2 Das Seitenverhältnis des DIN A Formates ist wesentlich. Aus einem Rechteck mit 1 einem anderen Seitenverhältnis ergibt sich ein Achteck, das zwar gleichwinklig ist, aber nicht gleichseitig.

19 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 17 Falsche Seitenverhältnisse bei den Rechtecken Das lässt sich wie folgt einsehen. Wir verwenden ein Ausgangsrechteck mit der Länge a und der Breite b. Die gleichwinkligen, aber eben nicht gleichseitigen Achtecke haben in jedem Fall eine vierstrahlige Drehsymmetrie. a b d Abstände zwischen den Seiten Es geht jetzt noch darum, ob die Abstände b zwischen den Seiten parallel zu den Papierseiten gleich groß sind wie die Abstände d zwischen den schrägen Seiten. Es ist: d = a 2 Die Bedingung d = b führt auf a = b 2, also das DIN A Format.

20 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke 18 8 Das regelmäßige Zwölfeck Regelmäßiges Zwölfeck