II. Geometrie. 4. Antike: Die Euklidische Mathematik. 1. Der Satz von Pythagoras.

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1 II. Geometrie. 4. ntike: ie Euklidische Mthemtik. In höchster Ehre stnd bei (den Griechen) weiterhin die Geometrie und folglich gb es uch nichts ngeseheneres ls die Mthemtiker. Wir dgegen hben uns um diese Kunst nur soweit gekümmert, ls sie beim Messen und Rechnen nützlich ist. [icero, Gespräche in Tusculum,rtemis u. Winkler, S. 9] 1. er Stz von Pythgors. Neben der Zhlenlehre hben sich die Pythgoräer uch mit Geometrie beschäftigt. Schließlich ist j der Stz von Pythgors eng mit ihrem Nmen verbunden. er Stz des Pythgors besgt, dss die Summe der Qudrte der Ktheten eines rechtwinkligen reiecks gleich dem Qudrt der Hypothenuse ist. ieser Stz wr bei den Pythgoräern prominent, ber er wurde mit Sicherheit nicht von Pythgors entdeckt. Ttsächlich gibt es viele eweise für den Stz des Pythgors. Hier ist ein kurzer eweis (ndere eweise sehen wir später): b c c b b c c b Ein eweis des Stzes von Pythgors us dem obigen igrm entnimmt mn c 2 + 2b = ( + b) 2 c 2 + 2b = 2 + 2b + b 2 c 2 = 2 + b 2

2 2 I. Elementre Mthemtik 1 Somit gilt in einem rechtwinkligen reieck 2 + b 2 = c 2. Wenn mn nun = b setzt erhält mn den Spezilfll. 2 2 = c 2. emerkung. ies besgt, dss mn in der Geometrie ein Qudrt verdoppeln knn. Für die Verdopplung eines Qudrts in der Geometrie betrchte mn die folgende Sequenz von Figuren: Mn entnimmt dem mittleren Qudrt, dss ds linke Qudrt us zwei reiecken besteht. Ebenso sieht mn, dss sich ds rechte Qudrt us vier reiecken zusmmensetzt. lso ist ds rechte Qudrt doppelt so gross wie ds linke Qudrt. s Qudrt ist somit verdoppelt. ies ist nders ls in der Steinchen rithmetik. enn wir wir wissen, dss sich ein (Steinchen) Qudrt nicht zu einem (Steinchen) Qudrt verdoppeln lässt. In der Geometrie geht dies schon, wie wir gerde gesehen hben. ies wr eins der Motive eine theoretische Geometrie zu entwickeln. iese Geometrie sollte us eweisen bestehen, die lle geometrieschen Sätze durch rein logische Schritte uf ein pr Grundsätze zurückführt. iese (endlich vielen) Grundsätze sollten so selbstevident sein, dss sie niemnd bezweifeln konnte. Mn nnnte sie Propositionen. Heute nennt mn sie xiome und die zugehörige Geometrie eine xiomtische Geometrie. Es ist die Euklidische Geometrie wie sie im uch [Euklid] überliefert ist. Grundobjekte sind Strecken und Kreise. Strecken können beliebig verlängert, ber nicht zu gnzen Gerden zusmmengesetzt werden. mit folgt ds Euklidische Lehrbuch der Philosophie des ristoteles, der ds ktul-unendliche blehnte. nfng des 20. Jhrhunderts ht Hilbert eine moderne xiomtische Geometrie ufgestellt, die dem Euklidischen nstz folgte. llerdings knnte seine Geometrie nur Strecken und Gerden, ber keine Kreise.

3 2. ie Geometrische Wechselwegnhme. 4 Pythgoräische Geometrie 3 Neben dem Qudrt wr für die Pythgoräer ds Pentgon von besonderer Wichtigkeit (mn erinnere sich n den Zusmmenhng von Pentgon und rusenstern). Hier entdeckten sie zwei wichtige geometrische Eigenschften: die Existenz einer unendlichen geometrischen Wechselwegnhme und die Existenz des Goldenen Schnittes. ie Pythgoräer hben entdeckt, dss (im rechten Pentgon) die beiden einml gestrichenen Strecken gleich sind (Euklid, XIII,8): E F G Wechselwegnhme im Pentgon Stz. = eweis. E = E = 2 E F G = 2 E = 2 E = =. Hier hben wir llerdings die Ttsche benutzt, dss die Winkelsumme im reieck gleich zwei Rechte ist (wo?). er obige Stz führt zu folgender geometrischen Wechselwegnhme im Pentgon: E F Wechselwegnhme im Pentgon

4 4 I. Elementre Mthemtik 1 (E,) (E,) (E,) (E,) (E, E) (E, ) (E,) (,) (,) (F,) Erklärung: Nch dem obigen Stz wissen wir, dss im vorigen Pentgon gilt: =. Weiter sind lle vier (im vorigen Pentgon) eingezeichneten Winkel gleich, denn (wie wir später sehen werden) teilen die igonlen jeden Winkel des Fünfecks in drei gleiche Teile. emnch bildet F ein gleichschenkliges reieck. Insbesondere ist: = F. Resultt: ie geometrische Wechselwegnhme von (igonle,seite) des großen Fünfecks führt so zur Wechselwegnhme von (igonle,seite) des kleinen Fünfecks. er Prozess wie- derholt sich und kommt niemls zum Hlten. Er findet lso kein gemeinsmes Mß. Es folgt, dss igonle und Seite des Fünfecks kein gemeinsmes Mß hben können; ihr Verhältnis ist irrtionl. Mn glubt, dss die Pythgoräer uf diese Weise ds Irrtionle entdeckt hben. Philosophische Konsequenz: ie Existenz der Irrtionlen konnten die griechischen Philosophen nun hernziehen, um zu beweisen, dss eine tomlehre, wie etw die von emokrit, nicht richtig sein knn, denn die Existenz von Irrtionlen schließt die Existenz von kleinsten usdehnungen (tome) us. Um dies ber uf ein wissenschftliches Fundment zu stellen, muss mn die Existenz des Fünfecks beweisen. Wnn existiert ds Fünfeck. ntwort der Pythgoräer: Wenn es mit Zirkel und Linel konstruiert werden knn.

5 4 Pythgoräische Geometrie 5 3. Goldener Schnitt. er Goldene Schnitt tucht in der Ntur uf. Im folgenden sehen wir ihn im Pentgon. Stz. In der folgenden Figur des Pentgons gilt die Proportion: E : EH = EH : H. E H er Goldene Schnitt im Pentgon eweis. [Euklid XIII, 8] Es ist E = (d E = und E = ). Weiter ist E =, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winke entsprechen gleich. lso ist = E. Es folgt HE = 2 H ( ) (wir verschieben den eweis dieser ussge uf den nächsten Stz). ber uch lso ist HE = HE. Folglich HE = E =. Weiter ist E = 2 (d ogen E = 2 ogen ). E = E (d = E). Wir wissen ber, dss lso Nun ist der Winkel lso uch E = H E = H E beiden reiecken E und H gemeinsm. E = H mit ist bewiesen, dss die reiecke E und H winkelgleich sind.

6 6 I. Elementre Mthemtik 1 lso stehen in Proportion E = : H lso E : EH = EH : H (d = EH). er Stz folgt lso, wenn wir den eweis des nächsten Stzes nchtrgen). Stz [Euklid I, 32] n jedem reieck ist der bei Verlängerung einer Seite entstehende ussenwinkel den beiden gegenüberliegenden Innenwinkel zusmmen gleich. E eweis. urch punkt ziehe mn E prllel zur Strecke.,E prllel sind und sie von geschnitten werden, sind die Wechselwinkel = E Ebenso ist E = (d,e prllel sind und sie von geschnitten werden. Wie oben bewiesen ist uch E =. lso ist ies beweist den Stz. = +. ufgbe. Mn berechne ds Verhältnis von Seite (und igonle) zum Rdius des Umkreises des regulären 5-Ecks. Lösung.

7 4 Pythgoräische Geometrie 7 Mn setze d := igonle := Seite r := Rdius des Inkreises R := Rdius des Umkreises d R R r d- Zur erechnung der igonle em Pentgon, mit seinen igonlen, entnehme mn die folgenden Gleichungen: d = d (1) ( ) 2 R 2 = r 2 + (2) 2 ( ) 2 d 2 = (r + R) 2 (3) 2 Lösen der qudrtischen Gleichung (1) liefert d = 2 (1 + 5) mit ist ds Verhältnis d : durch 1 2 (1 + 5) gegeben (und somit ist 1 2 (1 + 5) = 1, der Goldene Schnitt). us Gleichung (3) und der obigen erechnung von d erhält mn r + R = In diese Gleichung setzt mn die erechnung von r us Gleichung (2) ein und erhält: R = R 2

8 8 I. Elementre Mthemtik 1 Nch dem Qudrieren beider Seiten, ist ds Weitere eine Sche von elementren Umformungen: R = 2 4 ( ) 2R R 2 2 R = ( ) R = 2 4 ( ) R = 2 (3 + 5) Hierus lässt sich ds Verhältnis : R leicht blesen. ies Verhältnis, zusmmen mit dem oben bestimmten Verhältnis d :, ergibt ds Verhältnis d : R mittels der Formel d R = R d.

9 4. ie Klssiker: Winkelsätze m Kreis. Stz. [ Euklid, III, 20 ] In der folgenden Figur ist 4 Pythgoräische Geometrie 9 E = 2. E F er Mittelpunktswinkel ist ds oppelte jedes Umfngswinkels eweis. Wir hben 180 o = E + EF und 180 o = ( E + E) + E = 2 E + E (d E = E) lso 180 o = 2 E + (180 o EF) und so 2 E = EF. Stz. [ Euklid, III, 21 ] Umfngswinkel über derselben Sehne sind gleich. lle Umfngswinkel sind gleich eweis. ie Umfngswinkel und ) sind beide hlb so groß wie der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne (nch Euklid, III, 20]. mit sind die Umfngswinkel gleich, d.h. =.

10 10 I. Elementre Mthemtik 1 Stz. ie igonlen teilen die Innenwinkel des Pentgons in prweis gleiche Winkel. igonlen teilen Innenwinkel in gleiche Teile eweis. Jeder Mittelpunktswinkel der obigen Figur ist ds oppelte desjenigen Umfngswinkels, der zu der Sehne des Mittelpunktwinkels gehört. lle Mittelpunktswinkel sind prweise gleich und somit sind lle Umfngswinkel über den isehnen gleich, die Seiten des Pentgons sind. ber die igonlen zerlegen jeden Innenwinkel des Pentgons in solche Umfngswinkel. lso zerlegen die igonlen die Innenwinkel des Pentgons in gleiche Winkel. Stz. [Euklid, III, 22] Für jedes Viereck im Kreis ist die Summe von gegenüberliegenden Winkeln 180 o. Winkelsummen gegenüberliegender Winkel sind gleich zwei Rechte eweis. Wir hben + + = 180 o Weiter gilt (nch Euklid, III, 21]) = = und somit = + = + + = + + = 180 o

11 4 Pythgoräische Geometrie 11 Stz. [Euklid, III, 29] Sehnen gegenüber gleichen Umfngswinkeln in gleichen Kreisen sind gleich, d.h. = =. Gleiche Sehnen bei gleichen Winkeln eweis. Sei = und seien, die Mittelpunkte der (gleichen) Kreise. nn hben wir = und = und = und so (nch dem Kongruenzstz SWS). lso insbesondere = =.

12 12 I. Elementre Mthemtik 1 5. Klssische Tngentenkonstruktionen. 1. ufgbe. Sei k ein Kreis in der Euklidischen Ebene und sei Punkt P ein Punkt ußerhlb von k. Konstruiere die Gerde die P enthält und tngentil zu k ist. 1. Konstruktion. m k P Sei der Mittelpunkt der Strecke P. Tngente von einem Punkt n einen Kreis Sei m der Kreis mit Mittelpunkt und Rdius P. Sei einer der beiden Schnittpunkte der Kreise k und m. nn ist die Gerde durch P und die gesuchte Tngente von P. enn nch dem Thles Stz (bzgl. des Kreises m ist die Strecke senkrecht uf der Strecke P. Somit steht die Gerde durch P und senkrecht zum Rdius des Kreises k. iese Gerde ist somit die gesuchte Tngente. 2. Konstruktion. [Euklid,III, 17] k P inoch einml: Tngente von einem Punkt n einen Kreis Mn ziehe die Senkrechte in und verbinde den Schnittpunkt mit dem Mittelpunkt. ie Verbindungslinie schneidet den Kreis k in. ie Gerde von P durch ist die gesuchte Tngente. enn: P = (Kongruenzstz SSW) und somit P =. lso ist der Winkel bei ein Rechter.

13 4 Pythgoräische Geometrie ufgbe. Seien k,m zwei Kreise die sich nicht einnder enthlten. Konstruiere eine Gerde die tngentil zu beiden Kreisen ist. Konstruktion. k m P Tngenten n zwei Kreisen Wir sollen die Punkte P,, konstruieren. ie Konstruktion benutzt einen Trick, der drin besteht, einen Strhlenstz zweiml nzuwenden. Seien, die Mittelpunkte der Kreise k,m. Seien die Rdien und senkrecht uf der Gerden durch die Mittelpunkte und. Sei P der Schnittpunkt der Gerden durch, mit der Gerden durch,. Konstruiere nch (ufgbe 1) die Tngente von P n den Kreis m. Wir behupten, dss dnn diese Tngente n m uch die Tngente n den Kreis k ist. Zum eweis sei der ufpunkt des Lots von uf die Gerde durch P,. Wir müssen zeigen, dss ein Rdius von k ist. Wir beweisen dies indem wir zeigen, dss =. Nch dem Strhlenstz ist: Weiter ist nch dem gleichen Strhlenstz: Schließlich ist : = P : P : = P : P =, d diese Strecken beide Rdien des Kreises k sind. lso folgt insgesmt =

14 14 I. Elementre Mthemtik 1 5. Ein Tngentenkriterium. Stz. [Euklid, III, 36] Sei Strecke in einer Tngente und sei die Strecke durch den Mittelpunkt des Kreises. nn gilt: = 2. P Eine Tngenten Eigenschft eweis. 2 = P 2 P 2 = (P + P) (P P) = (P + P) (P P) =. Stz. [Euklid, III, 36b] = F 2. P F K Eine verllgemeinerte Tngenten Eigenschft eweis. = (K + K) (K K) = K 2 K 2.

15 4 Pythgoräische Geometrie 15 + K 2 = K 2 + (K 2 + KP 2 ) = K 2 + KP 2 + P 2 = P 2 + PF 2 = P 2 + PF 2 = F 2 + PF 2 = F 2. Stz. [Euklid, III, 36c] Seien, und, die Schnittpunkte zweier Gerden, die durch den Punkt gehen, mit dem Kreis. nn gilt =. F Eine Invrinte m Kreis eweis. = F 2 =. Stz. [Tngentenkriterium] [ Euklid, III, 37 ] In der unteren Figur gilt = 2 ist tngentil zum Kreis. F E s Tngenten Kriterium

16 16 I. Elementre Mthemtik 1 eweis. [ Euklid, III, 37 ] Wir ziehen, ls Hilfslinie, die Tngente von nch E. nn ist = E 2 (Euklid, III, 36) = 2 (nch Vorussetzung) und so lso E = FE = F (nch Kongruenzstz SSS). Insbesondere F = EF = 90 o. 6. Konstruktion des Pentgons. ie Konstruktion des Pentgons (= 5-Eck) ist äquivlent zur Konstruktion des sisdreiecks, d.h. zur Konstruktion eines gleichschenkligen reiecks (,, ) dessen siswinkel n den Ecken, doppelt so groß sind wie der Winkel n der Spitze : M denn dnn ist: s sisdreieck für ds Fünfeck 5 = R = Winkelsumme im reieck. weiter der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfngswinkel, hben wir 5 M = 10 = 2R. lso muss die Seite des Pentgons sein.

17 7. Konstruktion des sisdreiecks. 4 Pythgoräische Geometrie 17 (1) Konstruiere den Kreis mit Rdius. (2) Konstruiere uf mit = 2 (= Konstruktion des Goldenen Schnitts) (3) Konstruiere die Sehne mit =. Konstruktion des sisdreiecks eh. s reieck ist ein sisdreieck. eweis. [Euklid, IV, 10] Wir beweisen den Stz unter der Winkelnnhme: = und somit: + = 2R = + + = + = + = = und so =. ber dnn ist = = (letzteres nch Konstruktion) und so =. weiter (wieder nch Winkelnnhme) =, folgt 2 = 2 = + = =.

18 18 I. Elementre Mthemtik 1 6. ie Winkelnnhme. Wir trgen jetzt den noch fehlenden eweis der Winkelnnhme nch. Stz. [ Euklid, III, 32 ] E =. eweis. Wir hben E F F + E = 2R = + (gegenüberliegende Winkel im Viereck sind zusmmen 2R) und F = (die Schenkel der Winkel stehen prweise ufeinnder senkrecht). lso insgesmt F + E = + = F + emnch E =. Stz. [Winkelnnhme] = 2 = 2 =. eweis. Zum eweis konstruieren wir den Kreis durch die drei Punkte,,. Nch Vorussetzung ist = 2 = 2. Somit ist ist Tngente zum Kreis (nch dem Tngenten Kriterium [Euklid, III, 37]) und die Winkelnnhme folgt us dem vorstehenden Stz [Euklid, III, 32].