Beweise und Widerlegungen
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- Arwed Diefenbach
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1 Beweise und Widerlegungen Alberto Abbondandolo Ruhr-Universität Bochum Tag der offenen Tür 2015
2 Einige Polyeder
3 Einige Polyeder V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6
4 Einige Polyeder V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 = 6 V = 9, S = 16, F = 9 V = 16, S = 24, F = 10
5 Einige Polyeder E = 4, K = 6, F = 4 V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 = 6 V = 9, S = 16, F = 9 V = 16, S = 24, F = 10
6 Einige Polyeder E = 4, K = 6, F = 4 E = 8, K = 12, F = 6 V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 = 6 V = 9, S = 16, F = 9 V = 16, S = 24, F = 10
7 Einige Polyeder E = 4, K = 6, F = 4 E = 8, K = 12, F = 6 V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 E = 9, K = 16, F = 9 = 6 V = 9, S = 16, F = 9 V = 16, S = 24, F = 10
8 Einige Polyeder E = 4, K = 6, F = 4 E = 8, K = 12, F = 6 V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 E = 9, K = 16, F = 9 E = 16, K = 24, F = 10 = 6 V = 9, S = 16, F = 9 V = 16, S = 24, F = 10
9 Eulersche Polyederformel
10 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
11 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
12 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
13 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
14 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
15 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
16 Eulersche Polyederformel E K + F = 2
17 Widerlegung I
18 Widerlegung I Die Eulersche Polyederformel ist falsch!
19 Widerlegung I Die Eulersche Polyederformel ist falsch! E = 16, K = 24, F = 12 und damit E K + F = 4. V = 16, S = 24, F = 12
20 Widerlegung I Die Eulersche Polyederformel ist falsch! V = 16, S = 24, F = 12 E = 16, K = 24, F = 12 und damit E K + F = 4. Definition 1. Ein Polyeder ist eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, welche ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird. [Wikipedia, 2015]
21 Widerlegung I Die Eulersche Polyederformel ist falsch! E = 16, K = 24, F = 12 und damit E K + F = 4. V = 16, S = 24, F = 12 Definition 1. Ein Polyeder ist eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, welche ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird. [Wikipedia, 2015] Definition 2. Ein Polyeder ist eine Fläche, die aus Vielecken besteht.
22 Widerlegung II
23 Widerlegung II Die Eulersche Polyederformel ist immer noch falsch!
24 Widerlegung II Die Eulersche Polyederformel ist immer noch falsch! E = 6, K = 11, F = 8 und damit E K + F = 3. V = 6, S = 11, F = 8
25 Widerlegung II Die Eulersche Polyederformel ist immer noch falsch! V = 6, S = 11, F = 8 E = 6, K = 11, F = 8 und damit E K + F = 3. Definition 3. Ein Polyeder ist eine Fläche, die aus Vielecken besteht, so dass jede Kante zu genau zwei Vielecken gehört.
26 Widerlegung III
27 Widerlegung III Die Eulersche Polyederformel ist immer noch falsch!
28 Widerlegung III Die Eulersche Polyederformel ist immer noch falsch! E = 9, K = 16, F = 10 und E K + F = 3. V = 9, S = 16, F = 10
29 Widerlegung III Die Eulersche Polyederformel ist immer noch falsch! E = 9, K = 16, F = 10 und E K + F = 3. V = 9, S = 16, F = 10 Definition 4. Ein Polyeder ist eine Fläche, die aus Vielecken besteht, so dass jede Kante zu genau zwei Vielecken gehört. Ferner muss die folgende Bedingung gelten: es ist möglich zwei beliebige Punkte, die zu zwei Vielecken gehören, durch einen Weg zu verbinden, der durch keine Ecke läuft. [Hilbert, Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, 1932].
30 Widerlegung IV
31 Widerlegung IV Die anschauliche Geometrie kann trügerisch sein:
32 Widerlegung IV Die anschauliche Geometrie kann trügerisch sein: E = 25, K = 48, F = 24 und E K + F = 1. V = 25, S = 48, F = 24
33 Zwei weitere Gegenbeispiele
34 Zwei weitere Gegenbeispiele E = 16, K = 32, F = 16 E = 16, K = 24, F = 11 V = 16, S = 32, F = 16 V = 16, S = 24, F = 11
35 Beweiserzeugte Definitionen
36 Beweiserzeugte Definitionen Definition 5. Ein Polyeder heißt schön, falls es nach der Entfernung eines Vielecks auf der Ebene ausgebreitet werden kann.
37 Beweiserzeugte Definitionen Definition 5. Ein Polyeder heißt schön, falls es nach der Entfernung eines Vielecks auf der Ebene ausgebreitet werden kann.
38 Beweiserzeugte Definitionen Definition 5. Ein Polyeder heißt schön, falls es nach der Entfernung eines Vielecks auf der Ebene ausgebreitet werden kann. Definition 6. Ein Vieleck heißt einfach, falls jede Diagonale es in zwei Teile unterteilt.
39 Beweiserzeugte Definitionen Definition 5. Ein Polyeder heißt schön, falls es nach der Entfernung eines Vielecks auf der Ebene ausgebreitet werden kann. Definition 6. Ein Vieleck heißt einfach, falls jede Diagonale es in zwei Teile unterteilt. Theorem. Besteht ein schönes Polyeder aus einfachen Vielecken, so gilt: E K + F = 2.
40 Lesetipps
41 Lesetipps I. Lakatosh, Beweise und Widerlegungen - Die Logik mathematischer Entdeckungen, 1976 (letzte Aulage: Friedr. Vieweg & Sohn 1990).
42 Lesetipps I. Lakatosh, Beweise und Widerlegungen - Die Logik mathematischer Entdeckungen, 1976 (letzte Aulage: Friedr. Vieweg & Sohn 1990). R. Courant, H. Robbins, Was ist Mathematik?, 1941 (letzte Auflage: Springer-Verlag 2000)
43 Lesetipps I. Lakatosh, Beweise und Widerlegungen - Die Logik mathematischer Entdeckungen, 1976 (letzte Aulage: Friedr. Vieweg & Sohn 1990). R. Courant, H. Robbins, Was ist Mathematik?, 1941 (letzte Auflage: Springer-Verlag 2000) D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, 1932 (letzte Auflage: Springer-Verlag 1996).
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