Logik in der Schule. Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen. Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden

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1 1 Nr Logik in der Schule Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden

2 2 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziel 1 Lernziel: Der Sch. weiß, dass ein mathematischer (Lehr-)Satz die Form Wenn [A], dann [B] hat. A: Voraussetzung B: Behauptung

3 3 Die Form Wenn [A], dann [B] erhellt die logische Struktur Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter. 1. Wenn die Ecke C eines Dreiecks auf dem Halbkreis über AB liegt, dann gilt γ = 90. Wahr 2. Wenn in einem Dreieck γ = 90 ist, dann liegt die Ecke C auf dem Halbkreis über AB. wahr

4 4 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziel 2 Der Sch. soll Für alle... - Es gibt... Aussagen unterscheiden können bzw. aus dem Kontext entnehmen, was gemeint ist. Beispiel: Ist die Aussage wahr? Wenn 2 n, dann 4 n Schüler: Manchmal, kommt auf die Zahlen an. Klarer ist: 1. Für alle nat. Zahlen gilt: Wenn 2 n, dann 4 n. Falsch 2. Es gibt eine nat. Zahl, so dass gilt: Wenn 2 n, dann 4 n. Wahr

5 5 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziele 3 und 4 Der Sch. soll zu einem Satz die Umkehrung bilden können. Satz: Wenn x > 0, dann x^2 > 0. Wahr Umkehrung: Wenn x^2 > 0, dann x > 0. Falsch Satz: Wenn x = 0, dann x^2 = 0. Wahr Umkehrung: Wenn x^2 = 0, dann x = 0. Wahr Der Sch. weiß, dass man von der Wahrheit eines Satzes nicht auf die Wahrheit der Umkehrung schließen kann.

6 6 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziel 5 Der Sch. soll die logische Bedeutung von notwendig und hinreichend erläutern können. Sei f beliebig oft differenzierbar. Satz: Wenn f bei a eine Extremstelle hat, dann ist f (a)=0. wahr f (a)=0 ist notwendig für eine Extremstelle bei a. wahr Eine Extremstelle bei a ist ausreichend für f (a) = 0. wahr!

7 7 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziel 6 Lernziel: Der Sch. soll wissen, dass a) die Richtigkeit einer es gibt Aussage mit der Angabe eines Beispiels bewiesen ist. b) die Falschheit einer für alle Aussage mit der Angabe eines Gegenbeispiels bewiesen ist.

8 8 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziel 6 Richtig oder falsch? Beweis mit Beispiel/Gegenbeispiel? a) Es gibt eine Zahl n mit n^2 = 12n. b) Jedes Viereck ist achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch. c) Wenn n^2 gerade, dann n gerade.

9 9 Elementare Regeln und Gesetze der Logik Didaktik: Lernziel 7 Lernziel: Der Sch. soll wissen, dass es Aussagen gibt, die man nicht durch ein Beispiel bzw. ein Gegenbeispiel beweisen kann. Wie dann? Beweismethoden

10 10 Vorwissen zu Teilbarkeit Definition für m teilt n, kurz m n (m,n,k aus N\{0}) m n genau dann, wenn ex. k mit m k = n. Definition für gerade/ungerade Zahl n gerade genau dann, wenn ex. k mit n = 2 k n ungerade genau dann, wenn ex. k mit n = 2 k+1 (k 0) Begründungsbasis: 1. Rechnen in N, alle Rechenregeln 2. Eindeutige Primfaktorzerlegung

11 11 Der direkte Beweis Satz: Wenn 6 n, dann 3 n. Beweis: 6 n, also n = 6 k ; Defini\on teilt also n = 2 3 k ; elementares Rechnen also n = 3 (2 k); Rechenregeln also n = 3 j mit j=2k also 3 n ; Definition teilt Die Umkehrung ist falsch.

12 12 Der direkte Beweis Aussagenlogische Analyse [A ᴧ (A B)] B ist Tautologie. Weiter: [B ᴧ (B C)] C [C ᴧ (C D)] D usw.

13 13 Die Kontraposition Alltagslogik: Das sind äquivalente Aussagen Wenn Fred am in Stuttgart einen Mord verübt hat, dann war er am in Stuttgart. Wenn Fred am nicht in Stuttgart war, dann hat er am in Stuttgart keinen Mord verübt.

14 14 Die Kontraposition Aussagenlogische Analyse Beweis: A B ist äquivalent B A

15 15 Die Kontraposition 1. A B und B A sind logisch äquivalent 2. B A heißt Kontraposi\on zu A B 3. Staa A B zu beweisen ist es gleichwer\g B A zu beweisen. Beachte: Umkehrung von A B ist B A. Das ist nicht die Kontraposition

16 16 Die Kontraposition Zeige: Wenn n² gerade, dann n gerade. Beweis mit Kontraposition. Zu zeigen: Wenn n ungerade, dann n² ungerade. n ungerade, also n = 2 k+1 ; Def. ungerade also n² = 4k²+4k+1 ; Algebra also n² = 2(2k²+2k)+1 ; Algebra also n² = 2 j+1 mit j=2k²+2k also n² ungerade

17 17 Beweis durch Widerspruch (Kontradiktion) Ein historisches Beispiel in der Vorlesung Aussagenlogische Form dieses Beweisschemas: [ A (Bᴧ B)] A Beweis mit Wahrheitstafel: Zeige [ A (Bᴧ B)] A ist Tautologie.

18 18 Beispiel: Beweis durch Widerspruch Zeige A: 2 kann man nicht als Bruch a/b schreiben (a,b aus Z) Beweis mit Widerspruch: Annahme: 2 = a/b dann 2 = a²/b² dann 2b² = a² Wie geht der Beweis weiter?

19 19 Beweisen in der Schule Didaktische Fragen: Soll man immer beweisen? Welche Gründe würden dagegen sprechen? Welches sind die Beweismittel (Begründungsbasis)? Reicht ein exemplarischer Beweis? Usw.