wieder eine natürliche Zahl k N ergibt. Und 51

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1 2 Beweismethoden In diesem Kapitel werden die gängigsten mathematischen Beweismethoden anhand zahlreicher Beispiele erläutert. Hauptsächlich wird es dabei um Aussagen aus der elementaren Zahlentheorie gehen. Die dort zu beweisenden Aussagen lassen sich nämlich sehr einfach formulieren und für den Beweis selbst braucht man meist nur sehr wenig Vorkenntnisse; oftmals genügen schon die aus der Schule bekannten Rechenregeln. Zusätzlich werden jedoch einige grundlegende Fakten über Zahlen und Teilbarkeit benötigt, die wir im nächsten Abschnitt kurz vorstellen. 2.1 Exkurs: Grundwissen über Zahlen Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die unserem Anzahlbegriff entsprechen: 1, 2, 3,... Manche Autoren zählen die Null mit, wir nicht. Die Menge aller natürlichen Zahlen kürzen wir mit N ab. Ist n eine natürliche Zahl, so schreiben wir kurz n N dafür (lies: n ist Element der natürlichen Zahlen ; in Kapitel 3 gehen wir genauer auf die Mengenschreibweise ein). Definition 2.1 Es seien m und n natürliche Zahlen. Man sagt, m teilt n, in Zeichen: m n, wenneseink N gibt, so dass n sich als n = k m schreiben lässt. Man sagt auch: m ist ein Teiler von n bzw. n ist ein Vielfaches von m. Ist1<m<n,soheißtmechter Teiler von n. Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie nur die 1 als gemeinsamen Teiler besitzen, d.h. wenn außer der 1 keine weitere Zahl beide Zahlen teilt. Beachte, dass m = 1 jede Zahl n N teilt, denn es ist n = n 1 (d.h. k = n). Ebenso teilt jede Zahl n sich selbst, denn es ist n =1 n (d.h. k =1).Mannennt 1 und n die trivialen Teiler von n. Will man die Null in der Teilbarkeitsdefinition mit einschließen, so ist jede natürliche Zahl m aufgrund von 0 = 0 m ein Teiler der Null. Beispiel 2.1 m = 17 teilt n = 51, denn es ist 51 = 3 17 (d.h. k =3). Die Teilbarkeitsdefinition ist nur eine Umschreibung der Tatsache, dass beim Dividieren von 51 durch 17 kein Rest bleibt, d.h. dass 51:17 aufgeht, was nichts anderesbedeutet,alsdassderbruch wieder eine natürliche Zahl k N ergibt. Und = k ist eben gleichbedeutend mit 51 = k 17. Die zweite Gleichung hat allerdings den Vorteil, dass sie keinen Bruch mehr enthält und somit besser zum Zahlbereich der natürlichen Zahlen passt. Die Zahlen 3 und 17 sind teilerfremd, da sie außer der 1 keine gemeinsamen Teiler mehr besitzen. Für sie gilt sogar noch mehr: Sie besitzen außer 1 und sich selbst überhaupt keine weiteren Teiler, was zur nächsten Definition führt. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 T. Glosauer, (Hoch)Schulmathematik, DOI / _2

2 20 2 Beweismethoden Definition 2.2 Eine natürliche Zahl größer eins, die nur die trivialen Teiler besitzt, also nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl. Eine Zahl heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Hier ist eine Liste der ersten 20 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,... Keiner kann bis heute einen Funktionsterm f(x) angeben, der einem alle Primzahlen ausspuckt, wenn man für x z.b. alle natürlichen Zahlen einsetzt. Die Eigenschaften der Primzahlen und ihre Verteilung innerhalb der natürlichen Zahlen ist intensiver Forschungsgegenstand der sogenannten Zahlentheorie. Hier gibt es noch viele Möglichkeiten, Ruhm und Ehre zu erlangen. So ist z.b. die so schlicht aussehende Goldbach 1 -Vermutung aus dem Jahre 1742 Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen eines der bis heute (2016) offenen Probleme der Zahlentheorie! Als Beispiel ist 4 = 2 + 2; verfahre ebenso für die geraden Zahlen von 6 bis 20. Ist dir auch aufgefallen, dass in obiger Primzahlliste oft Paare wie (3, 5), (5, 7), (11, 13) etc. auftreten, die sich nur um 2 unterscheiden? Die Vermutung, dass es unendlich viele solcher Primzahlzwillinge gibt, ist bis heute ebenfalls unbewiesen. Aber ich schweife ab; zum Schluss notieren wir zwei grundlegende Sätze über Primzahlen, die wir an dieser Stelle ohne Beweis akzeptieren (siehe [Pad] und Beispiel 2.6). Dies (oder unvollständige Beweise) kennzeichnen wir fortan mit dem Zeichen. Satz 2.1 ( Euklidisches Lemma ) Teilt eine Primzahl p ein Produkt a b natürlicher Zahlen, so teilt p einen (oder beide) der Faktoren a oder b. Beispiel 2.2 Die Primzahl 3 teilt 12 = 2 6, also muss sie laut Euklid 2 bereits einen der Faktoren 2 oder 6 teilen, was auch stimmt. Ist p hingegen keine Primzahl, so kann Folgendes passieren: 6 teilt zwar 18 = 2 9, aber 6 teilt keinen der Faktoren, weder a =2nochb =9. Anmerkung: Ein Lemma ist ein Hilfssatz, dem nicht ganz so viel Bedeutung eingeräumt wird wie einem Satz oder gar einem Theorem, d.h. einem Satz von grundlegender Bedeutung. Oftmals enthalten Lemmata Zusammenhänge, die man als wichtige Schritte im Beweis von Sätzenbraucht.Weilmanwährend des Beweises aber nicht durch zu viele technische Details den roten Faden verlieren will, lagert man oft Beweisschritte als Lemmata aus, die dann vor dem eigentlich Beweis gesondert bewiesen werden. 1 Christian Goldbach ( ); deutscher Mathematiker. 2 Euklid von Alexandria (vermutlich 3. Jhdt. v. Chr.). Einer der bedeutendsten Mathematiker der griechischen Antike, der monumentale Beiträge zur Geometrie und Zahlentheorie lieferte.

3 2.2 Direkter Beweis 21 Das Lemma von Euklid ist allerdings so bedeutsam, dass es die Bezeichnung Satz verdient hat. Man benötigt es z.b. zum Beweis der Eindeutigkeitsaussage des nächsten Satzes, den man auch als Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie bezeichnet. Theorem 2.1 ( Eindeutige Primfaktorzerlegung ) Jede natürliche Zahl größer 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und diese Primfaktorzerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Beispiel 2.3 Die Primfaktorzerlegung von 264 lautet = Man kommt auf sie, indem man sukzessive immer Faktoren von 264 abspaltet: 264 = = = = Theorem 2.1 besagt nun, dass man zwar die Reihenfolge der Primfaktoren in dieser Zerlegung ändern kann, etwa 264 = , nicht aber die darin auftretenden Primzahlen samt ihrer Anzahl. 2.2 Direkter Beweis Mathematische Sätze sind meist als A= B formuliert. Lies: Aus A folgt B bzw. A impliziert B. Oder noch etwas präziser: Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Statt A ist wahr schreibt man oft kürzer A gilt. Beim direkten Beweis geht man davon aus, dass A wahr ist und folgert durch eine Kette gültiger Argumente, dass dann auch B wahr ist. Dabei verwendet man logisch korrekte Schlüsse wie z.b. Aus A = C und C = B folgt A = B (klar!) und kann zudem auf bereits bewiesene Sätze wie etwa Theorem 2.1 oder Grundtatsachen (Axiome) zurückgreifen, wie z.b. die Gültigkeit des Distributivgesetzes. Wir demonstrieren dieses Vorgehen an einem ganz simplen Lemma. Mit Zahlen meinen wir in diesem Abschnitt stets natürliche Zahlen. Lemma 2.1 Teilt t die Zahlen a und b, dannteiltt auch deren Summe. Beweis: Am Anfang empfiehlt es sich, den Beweis in drei Teile zu gliedern. (1) Voraussetzung sauber formulieren bzw. umschreiben: Es gilt t a und t b, d.h. es gibt Zahlen k und l mit a = k t und b = l t.

4 22 2 Beweismethoden (2) Behauptung : t (a + b), d.h. wir müssen ein m N finden mit a + b = m t. (3) Der eigentliche Beweis : Die Voraussetzung liefert in Kombination mit dem Distributivgesetz sofort a + b = k t + l t DG =(k + l) t. Also ist a + b = m t mit 3 m := k + l N, wast (a + b) bedeutet. Immer wenn ein Beweis vollständig erbracht ist, freut sich der Mathematiker und macht ein Kästchen (wie auch schon nach dem Beweis von Satz 1.1 geschehen). Um die logische Struktur des Beweises besser zu beleuchten, geben wir ihn nochmals in Kurzform wieder. Voraussetzung: t a t b = k, l N : a = k t b = l t = a + b = k t + l t =(k + l) t mit k + l N = t (a + b) So schreibt man das auf, wenn man sich eine Beweisidee auf einem Schmierblatt überlegt. Beim Niederschreiben des Beweises verlangt jedoch die mathematische Etikette, dass man viel Wert auf Begleittext legt und so wenig Folgepfeile und Junktoren wie möglich verwendet. Nun kommen wir zum Beweis eines echten Klassikers. Beachte, dass der nun folgende Satz nicht in der Form A = B formuliert ist, sondern nur als Aussage B da steht. Der (direkte) Beweis greift zwar unter anderem auf Theorem 2.1 zurück, aber dessen Gültigkeit setzt man hier voraus, und hebt sie nicht gesondert als Voraussetzung A hervor. Satz 2.2 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der wunderschöne Beweis geht auf Euklid zurück und steht (in ähnlicher Form) in seinem berühmtem Werk Elemente. Bearbeite zur Vorbereitung Aufgabe 2.1. Beweis: Wir starten mit einer Liste von n Primzahlen p 1,..., p n (n ist dabei eine beliebige natürliche Zahl) und konstruieren daraus eine weitere Primzahl, die noch nicht in dieser Liste vorkommt. Hat man also n Primzahlen gefunden, dann gibt es mindestens noch eine weitere. Da n beliebig war, muss es unendlich viele 3 Der Doppelpunkt in m := k + l weist darauf hin, dass die Zahl m als k + l definiert wird.

5 2.2 Direkter Beweis 23 Primzahlen geben. Die zentrale Beweisidee besteht nun darin, aus den gegebenen Primzahlen die Zahl m = p 1... p n +1 zu bilden. Für m können zwei Fälle auftreten: 1) m ist bereits prim. Dann ist man fertig, denn man hat eine Primzahl gefunden, die noch nicht in der Liste p 1,...,p n steht, da m ja offenbar größer als alle dort auftretenden Zahlen ist. 2) m ist nicht prim. Nach Theorem 2.1 besitzt m dann einen (echten) Primfaktor, den wir q nennen. Wäre q eine der Zahlen p 1,..., p n,sowürde q das Produkt p 1... p n teilen. Weil q aber m teilt (als Primfaktor von m), müsste q auch die Differenz m p 1... p n =1 teilen (siehe Aufgabe 2.1), was wegen q>1 nicht sein kann 4. Somit ist q eine Primzahl, die von p 1,...,p n verschieden ist. In beiden Fällen haben wir also eine weitere Primzahl gefunden, und die Behauptung des Satzes folgt (wie oben erklärt). Bis heute (2014) war übrigens noch niemand in der Lage zu klären, ob unter Zahlen der Gestalt m = p 1... p n + 1 unendlich viele Primzahlen auftreten. Vorbemerkung: Erfahrungsgemäß tut man sich als Anfänger enorm schwer, erste Beweise selbstständig auszuführen, bzw. überhaupt darauf zu kommen, wie man vorgehen soll. Schaut man dann gleich die komplette Lösung an, so ist der Witz weg und man hat sich der Möglichkeit beraubt, selber zumindest auf Teile des Beweises zu kommen. Deshalb gibt es auf Seite 346 vor den ausführlichen Lösungen Hinweise zu einigen Aufgaben, die als Starthilfe zum Beweis dienen können. Es ist äußerst empfehlenswert, erst nur den Hinweis zu lesen und dann einige Zeit über den auftretenden Problemen zu brüten, bevor man gleich zur vollständigen Lösung blättert. Aufgabe 2.1 Zeige: Teilt t die Zahlen a>b, so auch deren Differenz a b. (Damit a b nicht negativ wird, wir also N nicht verlassen, wird a>bvorausgesetzt. a<bwäre aber auch kein Problem, denn für ganze Zahlen ist Teilbarkeit vollkommen analog definiert.) 4 Dieses Argument ist im Vorgriff auf bereits ein kleines Widerspruchsbeweischen.

6 24 2 Beweismethoden Aufgabe 2.2 Beweise die folgenden Teilbarkeitsregeln. Alle Zahlen seien aus N. a) Ist a ein Teiler von b, und teilt b wiederum c, soistaucha ein Teiler von c. b) Wenn gilt: a teilt c und b teilt d, dann teilt a b das Produkt c d. c) Teilt t die Zahlen a und b, dannteiltt auch m a + n b. Aufgabe 2.3 (Gerade und ungerade Zahlen) Eine natürliche Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist, also die Gestalt k 2 oder kürzer 2k mit k N besitzt. Wegen 0 = 2 0 lassen wir auch die Null (/ N) als gerade Zahl gelten. Der Nachfolger einer geraden Zahl ist ungerade, und hinterlässt bei Division durch 2 einen Rest von 1. Ungerade Zahlen besitzen also die Form 2k +1mitk N 0 (d.h. hier ist auch k = 0 erlaubt, um die 1 zu erhalten). Stelle Vermutungen über Summen bzw. Produkte gerader und ungerader Zahlen auf (ob diese wieder gerade oder ungerade sind) und beweise sie anschließend. Aufgabe 2.4 Zeige: Ist die Quersumme einer Zahl durch 3 (9) teilbar, dann ist auch die Zahl selbst durch 3 (9) teilbar. (Es genügt, die Beweisidee an einem Beispiel zu entwickeln.) Aufgabe 2.5 Starte mit der Liste p 1 = 2 und wende das Verfahren aus Euklids Beweis von Satz 2.2 wiederholt an, um eine Liste mit mindestens 5 Primzahlen zu erhalten. Es gibt auch Sätze, die als A B formuliert sind (lies: A gilt genau dann, wenn B gilt oder Aistäquivalent zu B ), wie z.b. Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel (A) genau dann, wenn C auf einem Kreis mit der Hypotenuse AB als Durchmesser liegt (B). In diesem Fall müssen zum Beweis des Satzes stets beide Implikationen gezeigt werden,alsosowohla= B (hier: Kehrsatz bzw. Umkehrung des Satzes von Thales 5 )alsauchb= A (hier: Satz von Thales). Manchmal ist dies in einem Aufwasch möglich, zu Beginn empfiehlt es sich allerdings, beide Richtungen getrennt voneinander aufzuschreiben. Wir wollen an dieser Stelle nicht in die Schul-Geometrie einsteigen und den Beweis des Satzes und Kehrsatzes von Thales tatsächlich führen, sondern demonstrieren die typische Beweisstruktur nur an einem Trivialbeispiel. In Kapitel 3 werden wir dann interessantere Äquivalenzen beweisen. Beispiel 2.4 Wir beweisen die folgende Äquivalenz (für welche die Bezeichnung Satz oder Lemma stark übertrieben wäre): 5 Thales von Milet ( v.chr.); griechischer Philosoph, Mathematiker und Astronom.

7 2.3 Indirekter Beweis 25 Die Gleichung a x = b mit a, b N ist genau dann in N lösbar, wenn b ein Vielfaches von a ist. Beweis: Da es sich um eine Äquivalenz handelt, müssen wir beide Implikationen beweisen, was wir hier in zwei getrennten Schritten aufschreiben. Wir setzen voraus, dass es eine Lösung x N der Gleichung a x = b gibt, und folgern, dass dann b ein Vielfaches von a ist. Das steht aber schon da, denn b = a x bedeutet ja aufgrund von x N nichts anderes, als dass b das x-fache von a ist. Sei umgekehrt b ein Vielfaches von a, alsob = k a mit einem k N. Dann ist die Gleichung a x = b in N lösbar, denn x = k ist eine (die) natürliche Lösung. Zum Abschluss noch einige Sprechweisen. Gilt die Implikation A= B, so nennt man A eine hinreichende Bedingung für B, da aus der Gültigkeit von A zwangsläufig auch die Gültigkeit von B folgt (es reicht für die Wahrheit von B also bereits, dass A erfüllt ist). Betrachte als Beispiel die Aussagen A: n ist ein Vielfaches von 4 und B: n ist gerade für eine natürliche Zahl n. Es gilt offenbar A = B (da n =4 k =2 (2k) miteinemk N), d.h. wenn n =4k ist, muss zwangsläufig auch n gerade sein. Gilt A= B, so nennt man B eine notwendige Bedingung für A. In vorigem Beispiel kann nicht der Fall eintreten, dass B falsch wäre (d.h. n ungerade), Aaberwahr(n =4k). Die Gültigkeit von B ist somit zwingend erforderlich (notwendig) dafür, dass A überhaupt gelten kann. Hinreichend für A ist B in diesem Beispiel allerdings nicht, da es gerade Zahlen wie z.b. 2 gibt, die kein Vielfaches von 4 sind. Es gilt also nicht auch B= A. Ist beides erfüllt, A = B (d.h. B ist notwendig für A) und B= A (d.h. B ist auch hinreichend für A), so sind A und B äquivalent: A B. 2.3 Indirekter Beweis Hat man Schwierigkeiten, einen direkten Beweis für einen Satz der Gestalt A = B zu finden, so kann oftmals ein Umweg enorme Vorteile bieten Kontraposition Will man den Satz A = B beweisen, so kann man auch seine Kontraposition B = A

8 26 2 Beweismethoden beweisen. Wir demonstrieren dies zunächst an einem Beispiel und begründen danach allgemein, wieso dieser Beweis der Kontraposition äquivalent zum Beweis der ursprünglichen Aussage ist. Lemma 2.2 Wenn n 2 gerade ist (für ein n N), dann ist auch n gerade. Für einen direkten Beweis müssten wir das euklidische Lemma 2.1 heranziehen (das wir nicht bewiesen haben): Aus 2 n 2 = n n folgt 2 n, da2eineprimzahl ist. Der Beweis durch Kontraposition kommt dagegen ganz ohne solche Mittel aus. Formulieren wir zunächst die Kontraposition: Da ungerade die Negation von gerade ist, lautet B= Ahier Wenn n ungerade ist, dann ist auch n 2 ungerade. Beweis der Kontraposition: Als ungerade Zahl lässt sich n als n =2k +1 mit einem k N darstellen (siehe Aufgabe 2.3). Für das Quadrat von n folgt daher n 2 =(2k +1) 2 =4k 2 +4k +1=2(2k 2 +2k)+1=2k +1, wobei wir k =2k 2 +2k gesetzt haben. Somit ist n 2 ungerade. Verblüffend einfach! Außer der Definition einer ungeraden Zahl, der ersten binomischen Formel und dem Distributivgesetz ging nichts weiter in den Beweis ein. Logische Analyse Kurz gesagt: Äquivalent zum Nachweis von A = B, also dass der Fall A wahr und B falsch nicht auftreten kann, ist der Nachweis von aus B falsch folgt A falsch. Letzteres ist gleichbedeutend mit aus nicht-b wahr folgt nicht-a wahr, sprich B= A. Wem das so noch nicht einleuchtet, kann sich auf die Aussagenlogik berufen. Dazu brauchen wir den folgenden Zusammenhang 6 zwischen der inhaltlichen Implikation = und dem aussagenlogischen Subjunktor. Erinnern wir uns an die Wahrheitstafel der Subjunktion (die dritte und vierte Zeile können wir ignorieren, da uns hier nur die Fälle interessieren, in denen A wahr ist): A B A B w w w w f f f w w f f w Tabelle Sich nur auf Wahrheitstafeln bzw. die aussagenlogische Kontrapositions-Regel zu stützen, erscheint mir etwas zu knapp, da die aussagenlogische Subjunktion eben doch etwas anderes als der inhaltliche Folgepfeil = ist.

9 2.3 Indirekter Beweis 27 Hier sind A und B noch beliebige Aussagen. Stehen nun aber die Inhalte von A und B in Beziehung zueinander, und haben wir A = B auf inhaltlicher Ebene bewiesen (wie z.b. n =4k = n gerade), dann wissen wir, dass in diesem Fall A B nicht falsch sein kann, d.h. dass die zweite Zeile (A wahr und B falsch) nicht auftreten kann. Wissen wir umgekehrt, dass A Bfür bestimmte Aussagen A, B nicht falsch sein kann, dann gilt auch A = B, denn im Falle A wahr und B falsch wäre A Bfalsch. In diesem Sinne ist also A = Bäquivalent dazu, dass A B nicht falsch sein kann. Nun besagt aber die Kontrapositions-Regel (Satz 1.1), dass A B aussagenlogisch äquivalent zu B A ist, d.h. dass beide Subjunktionen dieselbe Wahrheitstafel besitzen. Statt zu prüfen, dass A B nie falsch wird, kann man dies also ebenso gut für B A tun, was äquivalent zum Beweis von B= Aist. Anmerkung: Beachte unbedingt, dass A = B weder zu A= Bnoch zum Kehrsatz B= Aäquivalent ist (siehe Aufgabe 2.8). Aufgabe 2.6 Beweise durch Kontraposition, dass zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen teilerfremd sind. Aufgabe 2.7 Beweise durch Kontraposition: Ist eine Zahl gerade, so ist ihre letzte Ziffer (im Zehnersystem) gerade. Aufgabe 2.8 Finde Beispiele für einen wahren Satz A = B, für den weder A= B noch sein Kehrsatz B= A wahr sind (warum ist eine der beiden Forderungen überflüssig?). Überzeuge dich zudem davon, dass die Kontraposition des Satzes wahr ist Widerspruchsbeweis Ein Beweis durch Widerspruch ist eine der schärfsten mathematischen Waffen (G.H. Hardy 7 ). Man geht davon aus, dass die zu beweisende Aussage falsch ist und führt dies zu einem Widerspruch, z.b. zu einem absurden Resultat wie 1 < 0, oder etwa dass gleichzeitig A und A wahr ist. Somit erweist sich die Annahme, die zu beweisende Aussage sei falsch, als nicht haltbar, woraus die Wahrheit der Aussage folgt. Auch hier demonstrieren wir das Vorgehen zunächst an einem Beispiel und betrachten erst danach die zugrunde liegende Logik ausführlicher. 7 Godfrey Harold Hardy ( ); berühmter britischer Zahlentheoretiker.

10 28 2 Beweismethoden Zum Einstieg bringen wir den Klassiker schlechthin: Den Beweis für die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2. Der angeführte Beweis gilt als der erste Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik und geht wie sollte es anders sein auf Euklid zurück. Satz ist eine irrationale Zahl, also nicht als Bruch darstellbar. Beweis: Wir nehmen an, die Aussage des Satzes sei falsch, also dass 2doch rational ist und sich somit als (positiver) Bruch m n mit m, n N darstellen lässt: 2= m n ( ). Zudem nehmen wir an, dass m und n teilerfremd sind, der Bruch also vollständig gekürzt wurde (z.b statt 10 ). Nach Definition der Quadratwurzel folgt durch Quadrieren von ( ) ( m ) 2 2 = 2 =2 bzw. m 2 =2n 2. n Nun ist offenbar 2n 2 eine gerade Zahl, also muss auch m 2 gerade sein. Nach Lemma 2.2 ist dies nur möglich, wenn bereits m selbst gerade ist, d.h. m =2k mit einem k N. Eingesetzt in obige Gleichung liefert dies 2n 2 = m 2 =(2k) 2 =4k 2, und Teilen durch 2 ergibt n 2 =2k 2, woraus wie eben folgt, dass n gerade ist. Somit besitzen m und n die 2 als gemeinsamen Teiler, was aber ihrer Teilerfremdheit widerspricht. Die Annahme, 2 sei eine rationale Zahl, führt also auf einen Widerspruch, sie muss demnach falsch gewesen sein. Folglich ist die Behauptung, dass 2 irrational ist, bewiesen. Logische Analyse Um zu sehen, auf welcher aussagenlogischen Äquivalenz obiges Vorgehen fußt, bringen wir zunächst den Satz 2 ist irrational auf die Form A = B: Wenn m n ein vollständig gekürzter Bruch ist (A), dann kann nicht m n = 2gelten(B). Im obigen Beweis haben wir A als wahr und B als wahr vorausgesetzt, nämlich dass doch m n = 2 gilt. Dann haben wir daraus den Widerspruch gefolgert, dass auch A wahr ist (da m und n nicht teilerfremd waren, m n also nicht vollständig gekürzt), d.h. wir haben A B = A

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