2 Der Beweis. Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises

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1 2 Der Beweis Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises

2 Satz und Beweis Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer Behauptung.

3 Satz und Beweis Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Der Beweis des Satzes besteht aus einer Folge von wahren Aussagen, deren letzte die Behauptung ist.

4 Beispiel Man zeige für a, b 0 a+b 2 ab.

5 Beispiel Man zeige für a, b 0 a+b 2 ab. Das geschieht häufig so a+b 2 ab (a+b) 2 4ab Was ist daran falsch? a 2 2ab + b 2 0 (a b) 2 0.

6 Beispiel Man zeige für a, b 0 a+b 2 ab. Das geschieht häufig so a+b 2 ab (a+b) 2 4ab Was ist daran falsch? a 2 2ab + b 2 0 (a b) 2 0. Korrekt ist natürlich die umgekehrte Reihenfolge.

7 Der indirekte Beweis Aus den Wahrheitstafeln folgt A B A B und entsprechend (A B) A B

8 Der indirekte Beweis Aus den Wahrheitstafeln folgt A B A B und entsprechend (A B) A B Im indirekten Beweis zeigen wir daher, dass A B falsch ist. Dazu nehmen wir die Verneinung der Behauptung als wahr an und zeigen, dass nicht gleichzeitig die Voraussetzung wahr ist.

9 Beispiel Man zeige für a, b 0 a+b 2 ab.

10 Beispiel Man zeige für a, b 0 a+b 2 ab. Als Voraussetzung können wir hier (a b) 2 0 nehmen. Dann folgt aus der Annahme a+b 2 < ab,

11 Beispiel Man zeige für a, b 0 a+b 2 ab. Als Voraussetzung können wir hier (a b) 2 0 nehmen. Dann folgt aus der Annahme a+b 2 < ab, dass a+b < 2 ab (a+b) 2 < 4ab a 2 2ab + b 2 < 0 (a b) 2 < 0. mit Widerspruch zur Voraussetzung.

12 Die Kontraposition Aus der Wahrheitstafel für die Implikation folgt (A B) ( B A). Man nennt B A die Kontraposition zu A B.

13 Beispiel Man zeige: Kontraposition: Wenn n 2 gerade ist, so ist auch n gerade. Wenn n ungerade ist, so ist auch n 2 ungerade.

14 Beispiel Man zeige: Wenn n 2 gerade ist, so ist auch n gerade. Kontraposition: Wenn n ungerade ist, so ist auch n 2 ungerade. Beweis der Kontraposition: n = 2k + 1 n 2 = 4k 2 + 4k + 1.

15 Kritik des indirekten Beweises In der intuitionistischen Denkrichtung der Mathematik ist nur der Beweis eines Satzes die Quelle seiner Wahrheit. A A bedeutet daher, dass A oder A beweisbar ist.

16 Kritik des indirekten Beweises In der intuitionistischen Denkrichtung der Mathematik ist nur der Beweis eines Satzes die Quelle seiner Wahrheit. A A bedeutet daher, dass A oder A beweisbar ist. Im Gegensatz zur klassischen Logik ist damit der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, also A A, keine Tautologie mehr und ein indirekter Beweis nicht erlaubt.

17 Kritik des indirekten Beweises In der intuitionistischen Denkrichtung der Mathematik ist nur der Beweis eines Satzes die Quelle seiner Wahrheit. A A bedeutet daher, dass A oder A beweisbar ist. Im Gegensatz zur klassischen Logik ist damit der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, also A A, keine Tautologie mehr und ein indirekter Beweis nicht erlaubt. Auch wenn man nicht dieser Auffassung ist: Erst einmal direkt versuchen. Das ist schöner und verständlicher!

18 Der Satz vom Widerspruch lautet in formaler Schreibweise (A A), es kann nicht gleichzeitig eine Aussage und ihr Gegenteil wahr sein. Er wurde im westlichen Kulturkreis zum ersten Mal vom Philosophen Aristoteles (384 v. Chr v. Chr.) formuliert.

19 Der Satz vom Widerspruch lautet in formaler Schreibweise (A A), es kann nicht gleichzeitig eine Aussage und ihr Gegenteil wahr sein. Er wurde im westlichen Kulturkreis zum ersten Mal vom Philosophen Aristoteles (384 v. Chr v. Chr.) formuliert. Die Intuitionisten erkennen diesen Satz an, nicht aber den Satz vom ausgeschlossenen Dritten A A, der durch die Anwendung der Wahrheitstafeln aus ihm folgt. Alle von uns formulierten Schlussregeln beruhen auf der zweiwertigen Logik der Wahrheitstafeln.

20 Der Satz vom Widerspruch lautet in formaler Schreibweise (A A), es kann nicht gleichzeitig eine Aussage und ihr Gegenteil wahr sein. Er wurde im westlichen Kulturkreis zum ersten Mal vom Philosophen Aristoteles (384 v. Chr v. Chr.) formuliert. Die Intuitionisten erkennen diesen Satz an, nicht aber den Satz vom ausgeschlossenen Dritten A A, der durch die Anwendung der Wahrheitstafeln aus ihm folgt. Alle von uns formulierten Schlussregeln beruhen auf der zweiwertigen Logik der Wahrheitstafeln. Von Siddhartha Gautama (um 350 v. Chr.) ist überliefert: Die Wahrheit kann nicht gelehrt werden. Denn das, was wahr ist, dessen Gegenteil ist ebenfalls wahr. Offenbar hat auch er den Satz vom Widerspruch gekannt.

21 Beispiel: Die Goldbachsche Vermutung Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.

22 Beispiel: Die Goldbachsche Vermutung Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen. Die Vermutung wird widerlegt, indem man eine gerade Zahl angibt, die sich nicht als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt.

23 Beispiel: Die Goldbachsche Vermutung Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen. Die Vermutung wird widerlegt, indem man eine gerade Zahl angibt, die sich nicht als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt. Ist die Vermutung wahr, so kann es sein, dass man kein Verfahren für die Konstruktion der beiden Primzahlen angeben kann. Die Vermutung kann daher wahr, aber unbeweisbar sein.

24 Zum Schluss ein Gedicht von Friedrich Wille: Oh wundervolles Theorem, so lernsympatisch, schreibbequem, ich singe froh dir Lob und Preis, doch falsch ist leider dein Beweis.